grupa Schottky'ego

Podstawowa dziedzina 3-generatorowej grupy Schottky'ego

W matematyce grupa Schottky'ego jest szczególnym rodzajem grupy Kleinowskiej , którą po raz pierwszy zbadał Friedrich Schottky ( 1877 ).

Definicja

Ustalmy jakiś punkt p na kuli Riemanna . Każda krzywa Jordana, która nie przechodzi przez p, dzieli sferę Riemanna na dwie części, a część zawierającą p nazywamy „zewnętrzną” krzywą, a drugą jej „wnętrzem”. Załóżmy, że istnieją 2 g rozłącznych krzywych Jordana A ₁ , B ₁ ,..., A _g , B _g w sferze Riemanna z rozłącznymi wnętrzami. Jeśli tam są Transformacje Möbiusa T _i przenoszące zewnętrzną stronę A _i do wnętrza B _i , to grupa generowana przez te transformacje jest grupą Kleinowską . Grupa Schottky'ego to dowolna grupa Kleinowska, którą można skonstruować w ten sposób.

Nieruchomości

Według pracy Maskita (1967) skończenie generowana grupa Kleinowska jest Schottky'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie generowana , swobodna , ma niepustą domenę nieciągłości, a wszystkie nietrywialne elementy są loxodromiczne .

Podstawową dziedziną działania grupy Schottky'ego G na jej punkty regularne Ω( G ) w sferze Riemanna jest określona przez definiującą ją zewnętrzną część krzywych Jordana. Odpowiednia przestrzeń ilorazowa Ω( G )/ G jest dana przez połączenie parami krzywych Jordana, podobnie jak zwarta powierzchnia Riemanna rodzaju g . To jest granica trójwymiarowej rozmaitości, biorąc iloraz ( H ∪Ω ( G ))/ G trójwymiarowej hiperbolicznej przestrzeni H plus zbiór regularny Ω ( G ) przez grupę Schottky'ego G , która jest kierownicą rodzaju g . I odwrotnie, dowolną zwartą powierzchnię Riemanna rodzaju g można otrzymać z pewnej grupy Schottky'ego rodzaju g .

Klasyczne i nieklasyczne grupy Schottky'ego

Grupę Schottky'ego nazywamy klasyczną , jeśli wszystkie rozłączne krzywe Jordana odpowiadające pewnemu zestawowi generatorów można wybrać jako okręgi. Marden ( 1974 , 1977 ) podał pośredni i niekonstruktywny dowód na istnienie nieklasycznych grup Schottky'ego, a Yamamoto (1991) podał jednoznaczny przykład takiej grupy. Doyle (1988) wykazał , że wszystkie skończenie generowane klasyczne grupy Schottky'ego mają zbiory graniczne wymiaru Hausdorffa ograniczone powyżej stałą uniwersalną mniejszą niż 2. I odwrotnie, Hou (2010) udowodnił, że istnieje uniwersalna dolna granica wymiaru Hausdorffa zbiorów granicznych wszystkich nieklasycznych grup Schottky'ego.

Zbiory graniczne grup Schottky'ego

Granica grupy Schottky'ego (Kleinowskiego) ustalona na płaszczyźnie

Zbiór graniczny grupy Schottky'ego, dopełnienie Ω ( G ), zawsze ma miarę Lebesgue'a zero, ale może mieć dodatnią d - wymiarową miarę Hausdorffa dla d < 2. Jest doskonały i nigdzie nie jest gęsty z dodatnią pojemnością logarytmiczną.

Stwierdzenie dotyczące miar Lebesgue'a wynika dla klasycznych grup Schottky'ego z istnienia szeregu Poincarégo

${\ Displaystyle \ Displaystyle {P (z) = \ suma (c_ {i} z + d_ {i}) ^ {- 4}.}}$

Poincaré wykazał, że szereg | c _ja | ⁻⁴ można zsumować po elementach nietożsamościowych grupy. W rzeczywistości, biorąc zamknięty dysk we wnętrzu domeny podstawowej, jego obrazy pod różnymi elementami grupowymi są rozłączne i zawarte w stałym dysku około 0. Zatem sumy obszarów są skończone. Ze wzoru na zmiany zmiennych pole jest większe niż stała razy | c _ja | ⁻⁴ .

Podobny argument implikuje, że zbiór graniczny ma miarę Lebesgue'a zero. Zawiera się bowiem w dopełnieniu unii obrazów obszaru podstawowego elementami grupowymi o długości słowa ograniczonej przez n . Jest to skończona suma okręgów, więc ma skończoną powierzchnię. Obszar ten jest ograniczony z góry przez stałą pomnożoną przez wkład do sumy Poincarégo elementów o długości słowa n , więc zmniejsza się do 0.

Przestrzeń Schottky'ego

Przestrzeń Schottky'ego (niektórego rodzaju g ≥ 2) jest przestrzenią zaznaczonych grup Schottky'ego rodzaju g , innymi słowy przestrzenią zbiorów g elementów PSL ₂ ( C ) generujących grupę Schottky'ego, aż do równoważności pod transformacjami Möbiusa ( Bers 1975 ). Jest to złożona rozmaitość o złożonym wymiarze 3 g −3. Zawiera klasyczną przestrzeń Schottky'ego jako podzbiór odpowiadający klasycznym grupom Schottky'ego.

Przestrzeń Schottky'ego rodzaju g nie jest ogólnie po prostu spójna, ale jej uniwersalna przestrzeń pokrycia może być utożsamiana z przestrzenią Teichmüllera zwartych powierzchni Riemanna rodzaju g .

Zobacz też

• Równanie Beltramiego
• Kawałek Rileya

Notatki

• Akaza, Tohru (1964), „Serie Poincaré theta i pojedyncze zbiory grup Schottky'ego”, Nagoya Math. J. , 24 , s. 43–65
•    Bers, Lipman (1975), „Formy automorficzne dla grup Schottky'ego”, Advances in Mathematics , 16 : 332–361, doi : 10.1016/0001-8708 (75) 90117-6 , ISSN 0001-8708 , MR 0377044
•     Chuckrow, Vicki (1968), „O grupach Schottky'ego z zastosowaniami do grup kleinowskich”, Annals of Mathematics , Second Series, 88 : 47–61 , doi : 10.2307/1970555 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970555 , MR 0227403
•   Doyle, Peter (1988), „Na nutę basową grupy Schottky'ego”, Acta Mathematica , 160 : 249–284, doi : 10.1007 / bf02392277 , MR 0945013
•    Fricke, Robert; Klein, Felix (1897), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zespół Erstera; Die gruppentoretischen Grundlagen. (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner, ISBN 978-1-4297-0551-6 , JFM 28.0334.01
•    Fricke, Robert; Klein, Felix (1912), Vorlesungen über die Theorie der automorphen Functionen. Zweiter Band: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1. Lieferung: Engere Theorie der automorphen Funktionen. (w języku niemieckim), Lipsk: BG Teubner., ISBN 978-1-4297-0552-3 , JFM 32.0430.01
• Gilman, Jane , badanie grup Schottky'ego (PDF)
• Hou, Yong (2010), „Kleinowskie grupy o małym wymiarze Hausdorffa to klasyczne grupy Schottky'ego I”, Geometry & Topology , 14 : 473–519, arXiv : math/0610458 , doi : 10.2140/gt.2010.14.473
• Hou, Yong, Wszystkie skończenie generowane grupy Kleinowskie o małym wymiarze Hausdorffa są klasycznymi grupami Schottky'ego , arXiv : 1307.2677 , Bibcode : 2013arXiv1307.2677H
•    Jørgensen, T.; Marden, A.; Maskit, Bernard (1979), „Granica klasycznej przestrzeni Schottky'ego” , Duke Mathematical Journal , 46 (2): 441–446, doi : 10.1215 / s0012-7094-79-04619-2 , ISSN 0012-7094 , MR 0534060
•   Lehner, Joseph (1964), Grupy nieciągłe i funkcje automorficzne , Ankiety matematyczne i monografie, tom. 8, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-1508-3
•      Marden, Albert (1974), „Geometria skończenie generowanych grup kleinowskich”, Annals of Mathematics , Second Series, 99 : 383–462, doi : 10.2307/1971059 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1971059 , MR 0349992 , Zbl 0282.30 014
•    Marden, A. (1977), „Geometrycznie skończone grupy Kleinowskie i ich przestrzenie deformacji”, w Harvey, WJ (red.), Discrete groups and automorphic functions (Proc. Conf., Cambridge, 1975) , Boston, MA: Academic Press , s. 259–293, ISBN 978-0-12-329950-5 , MR 0494117
•    Maskit, Bernard (1967), „Charakterystyka grup Schottky'ego”, Journal d'Analyse Mathématique , 19 : 227–230, doi : 10.1007/BF02788719 , ISSN 0021-7670 , MR 0220929
•    Maskit, Bernard (1988), grupy Kleinowskie , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 287, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-17746-3 , MR 0959135
•   David Mumford , Caroline Series i David Wright, Perły Indry: Wizja Felixa Kleina , Cambridge University Press , 2002 ISBN 0-521-35253-3
•   Schottky, F. (1877), "Ueber die Conforme Abbildung mehrfach zusammenhängender ebener Flächen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 83 : 300-351, doi : 10.1515/crll.1877.83.300 , ISSN 0075-4102
•    Yamamoto, Hiro-o (1991), „Przykład nieklasycznej grupy Schottky'ego”, Duke Mathematical Journal , 63 (1): 193–197, doi : 10.1215 / S0012-7094-91-06308-8 , ISSN 0012-7094 , MR 1106942

Linki zewnętrzne

• Trzy transformacje generujące grupę Schottky'ego z ( Fricke & Klein 1897 , s. 442).