Równanie Beltramiego

Nie mylić z równaniem Laplace'a – Beltramiego .

W matematyce równanie Beltramiego , nazwane na cześć Eugenio Beltramiego , jest równaniem różniczkowym cząstkowym

${\ Displaystyle {\ częściowe w \ ponad \ częściowe {\ overline {z}}} = \ mu {\ częściowe w \ ponad \ częściowe z}.}$

dla w zespolonego rozkładu zmiennej zespolonej z w pewnym zbiorze otwartym U , z pochodnymi, które są lokalnie L ² , gdzie μ jest daną funkcją zespoloną w L ^∞ ( U ) o normie mniejszej niż 1, zwaną współczynnikiem Beltramiego , oraz gdzie $i$ _ $_$ _ _ _ Klasycznie to równanie różniczkowe było używane przez Gaussa do udowodnienia istnienia lokalnie współrzędnych izotermicznych na powierzchni z analityczną metryką riemannowską. Opracowano różne techniki rozwiązywania równania. Najpotężniejszy, opracowany w latach pięćdziesiątych XX wieku, zapewnia globalne rozwiązania równania na C i opiera się na teorii L ^p transformaty Beurlinga , pojedynczego operatora całkowego zdefiniowanego na L ^p ( C ) dla wszystkich 1 < p < ∞. Ta sama metoda jest równie dobrze stosowana na dysku jednostkowym i górnej połowie płaszczyzny i odgrywa fundamentalną rolę w teorii Teichmüllera i teorii odwzorowań quasikonformalnych . Za pomocą równania można udowodnić różne twierdzenia o uniformizacji , w tym mierzalne twierdzenie Riemanna o odwzorowaniu i twierdzenie o równoczesnej uniformizacji . Istnienie spoin konforemnych można również wyprowadzić za pomocą równania Beltramiego. Jednym z najprostszych zastosowań jest twierdzenie Riemanna o mapowaniu dla prostych, ograniczonych domen otwartych na płaszczyźnie zespolonej. Gdy domena ma gładką granicę, regularność eliptyczna równania może być wykorzystana do pokazania, że ​​mapa uniformizacji od dysku jednostkowego do dziedziny rozciąga się na funkcję C ^∞ od zamkniętego dysku do domknięcia domeny.

Metryki w domenach planarnych

Rozważmy dwuwymiarową rozmaitość Riemanna , powiedzmy z układem współrzędnych ( x , y ). Krzywe stałej x na tej powierzchni zwykle nie przecinają się prostopadle z krzywymi stałej y . Nowy układ współrzędnych ( u , v ) nazywamy izotermicznym , gdy krzywe stałej u przecinają się prostopadle z krzywymi stałej v , a ponadto odstępy między parametrami są takie same — to znaczy dla wystarczająco małego h mały obszar z ${\ Displaystyle a \ równoważnik u \ równoważnik a + h}$ i ${\ Displaystyle b \ równoważnik v \ równoważnik b + h}$ jest prawie kwadratowy, a nie tylko prawie prostokątny. Równanie Beltramiego to równanie, które należy rozwiązać, aby skonstruować izotermiczne układy współrzędnych.

Aby zobaczyć, jak to działa, niech S będzie zbiorem otwartym w C i niech

${\ Displaystyle \ Displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \ ,dy^{2}}$

być gładką metryką g na S . Pierwsza podstawowa forma g

$&F \\ F&G \ koniec {pmatrix}}}$

jest dodatnią macierzą rzeczywistą ( E > 0, G > 0, EG - F ² > 0), która zmienia się płynnie wraz z x i y .

Współczynnik Beltramiego metryki g jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (x, y) = {EG + 2iF \ ponad E + G +$

Współczynnik ten ma moduł dokładnie mniejszy niż jeden od tożsamości

${\ Displaystyle \ Displaystyle (E -G+2iF)(EG-2iF)=(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})(E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}} )}$

implikuje to

${\ Displaystyle \ Displaystyle |\ mu | ^ {2} = {E + G-2 {\ sqrt {EG -F^{2}}} \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}<1.}$

Niech f ( x , y ) = ( u ( x , y ), v ( x , y )) będzie gładkim dyfeomorfizmem S na inny zbiór otwarty T w C . Mapa f zachowuje orientację tylko wtedy, gdy jej Jakobian jest dodatni:

${\ Displaystyle \ Displaystyle u_ {x} v_ {y} -v_ {x} u_ {y}> 0.}$

A użycie f do cofnięcia do S standardowej metryki euklidesowej ds ² = du ² + dv ² na T indukuje metrykę na S określoną przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle ds ^ {2} = du ^ {2} + dv ^ {2} = (u_ {x} ^ {2} + v_ {x} ^ {2}) \, dx ^{2}+2(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})\,dx\,dy+(u_{y}^{2}+v_{y}^{2}) \,dy^{2},}$

metryka, której pierwszą formą podstawową jest

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} u_ {x} ^ {2} + v_ {x} ^ {2} i u_ {x} u_ {y} + v_ {x} v_ {y} \\ u_ {x }u_{y}+v_{x}v_{y}&u_{y}^{2}+v_{y}^{2}\end{pmacierz}}.}$

Kiedy f zarówno zachowuje orientację, jak i indukuje metrykę, która różni się od pierwotnej metryki g tylko dodatnim, płynnie zmieniającym się współczynnikiem skali r ( x , y ), nowe współrzędne u i v określone na S przez f nazywane są współrzędnymi izotermicznymi .

Aby określić, kiedy to się dzieje, reinterpretujemy f jako funkcję zmiennej zespolonej o wartościach zespolonych f ( x +i y ) = u ( x +i y ) + i v ( x +i y ), abyśmy mogli zastosować Wirtingera pochodne :

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ częściowe _ {z} = {1 \ ponad 2} (\ częściowe _ {x} -i \ częściowe _ {y}), \, \, \ częściowe _ {\ overline {z}} = {1 \over 2}(\częściowe _{x}+i\częściowe _{y});\,\,\,\,dz=dx+i\,dy,\,\,d{\overline {z }}=dx-i\,dy.}$

Od

${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {z} = ((u_ {x} + v_ {y}) + ja (v_ { x} -u_ {y}})/2}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle f _ {\ overline {z}} =((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y}))/2,}$

metryka indukowana przez f jest dana przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle ds ^ {2} = | f_ {z} \, dz + f_ {\ overline {z}} d {\ overline {z}} | ^ {2} = | f_ {z} | ^ { 2}\,\left|dz+{f_{\overline {z}} \over f_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2}.}$

Iloraz Beltramiego $_$ jako _

Iloraz Beltramiego ${\ Displaystyle f _ {\ overline {z}} / f_ {z}} z$ fa $\ Displaystyle f}$ jest równy współczynnikowi Beltramiego ${\ Displaystyle \ mu (z)}$ oryginalnej metryki g tylko kiedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle ((u_ {x} + v_ {y}) + ja (v_ {x } -u_ {y})) {\bigl (}E-G+2iF{\bigr )}}$

${\ Displaystyle = ((u_ {x} -v_ {y}) + i (v_ {x} + u_ {y})} {\ bigl (} E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2 }}}{\bigr )}.}$

Rzeczywiste i urojone części tej tożsamości są liniowo powiązane ${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {y}}$${\ displaystyle v_ {x}}$ i ${\ Displaystyle v_ {y},}$ i rozwiązywanie dla ${\ Displaystyle u_ {y}}$ i ${\ Displaystyle v_ {y}}$ daje

${\ Displaystyle \ Displaystyle u_ {y} = {\ Frac {Fu_ {x} - {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \, v_ {x}} {E}} \ quad {\ tekst {i }}\quad v_{y}={\frac {{\sqrt {EG-F^{2}}}\,u_{x}+Fv_{x}}{E}}.}$

Wynika z tego, że metryką indukowaną przez f jest wtedy r ( x , y ) sol ( x , y ), gdzie $E,}$${\ displaystyle r = (u_ {x} ^ { 2} + v_ {x} ^ {2})$${\ Displaystyle r {\ sqrt {EG-F ^ {2}} },}$ co jest dodatnie, podczas gdy jakobian f jest wtedy co również jest dodatnie. Tak więc, gdy nowy układ współrzędnych określony przez f jest izotermiczny, gdy ${\ displaystyle f _ {\ overline {z}}/f_ {z} = \ mu (z)}$

I odwrotnie, rozważ dyfeomorfizm f , który daje nam współrzędne izotermiczne. Mamy wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (z) ={\frac {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})-(u_{y}+v_{y})^{2}+2i(u_{x}u_{y }+v_{x}v_{y})}{(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})+(u_{y}^{2}+v_{y})^{ 2}+2{\sqrt {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})-(u_{ x}u_{y}+v_{x}v_{y})^{2}}}}},}$

gdzie współczynnik skali r ( x , y ) spadł, a wyrażenie wewnątrz pierwiastka kwadratowego jest idealnym kwadratem ${\ Displaystyle u_ {x} ^ {2} v_ {y} ^ {2} -2u_ {x} v_ {x} u_ {y} v_ {y} + v_ {x} ^ {2} u_ {y} ^ {2}.}$ Ponieważ f musi zachować orientację, aby uzyskać współrzędne izotermiczne, jakobian ${\ Displaystyle u_ {x} v_ {y} -v_ {x} u_ {y}}$ jest dodatni pierwiastek kwadratowy; więc mamy

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (z) = {\ Frac {{\ bigl (} (u_ {x} + iu_ {y}) + i (v_ {x} + iv_ {y}) {\ bigr)} \bigl (}(u_{x}+iu_{y})-i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}}{{\bigl (}(u_{x}+v_{y} )+i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+v_{y})-i(v_{x}-u_{y}){\ większy )}}}.}$

Czynniki po prawej stronie w liczniku i mianowniku są równe, a ponieważ jakobian jest dodatni, ich wspólna wartość nie może wynosić zero; więc ${\ Displaystyle \ mu (z) = f _ {\ overline {z}}/f_ {z}.}$

Zatem lokalny układ współrzędnych określony przez dyfeomorfizm f jest izotermiczny właśnie wtedy, gdy f rozwiązuje równanie Beltramiego dla ${\ Displaystyle \ mu (z).}$

Współrzędne izotermiczne dla metryk analitycznych

Gauss udowodnił istnienie współrzędnych izotermicznych lokalnie w przypadku analitycznym, redukując Beltramiego do zwykłego równania różniczkowego w dziedzinie zespolonej. Oto książka kucharska przedstawiająca technikę Gaussa.

Izotermiczny układ współrzędnych, powiedzmy w sąsiedztwie początku ( x , y ) = (0, 0), jest dany przez rzeczywistą i urojoną część funkcji zespolonej f ( x , y ), która spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f _ {\ overline {z}} \ ponad f_ {z}} = \ mu (z) = {\ Frac {EG + 2iF} {E + G + 2 {\ sqrt {EG- F^{2}}}}}.}$

Niech będzie taką $funkcją$ i niech $będzie$ funkcją o wartościach zespolonych zmiennej zespolonej, która jest i której pochodna nigdzie nie wynosi zero Ponieważ każda funkcja holomorficzna ma identycznie zero, mamy $\ psi _ {\ overline {z}}}$$Displaystyle$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {(\ psi \ circ f) _ {\ overline {z}}} {(\ psi \ circ f) _ {z}}} & = {\ frac {( \psi _{z}\circ f)f_{\overline {z}}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{\overline {z}}}}}{ (\psi _{z}\circ f)f_{z}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{z}}}}}={\frac {f_{ \overline {z}}}{f_{z}}}=\mu (z).\end{aligned}}}$

Zatem układ współrzędnych określony przez rzeczywistą i urojoną $.$ izotermiczny Rzeczywiście, jeśli ustalimy, aby dać $współrzędnych$ , wówczas wszystkie możliwe izotermiczne układy współrzędnych są podane przez różne holomorficzne ${\ displaystyle \ psi \ circ f}$${\ displaystyle \ } psi }$ z niezerową pochodną.

Kiedy E , F i G $_ u (x, y) + iv (x, y)}$ określony ten, który wybrał, jest tym z ${\ Displaystyle h (x, 0) = x}$ dla wszystkich x . Tak więc oś u jego izotermicznego układu współrzędnych pokrywa się z osią x oryginalnych współrzędnych i jest parametryzowana w ten sam sposób. Wszystkie inne izotermiczne układy współrzędnych mają zatem postać holomorficzną z niezerową pochodną. $psi \ circ h$$displaystyle \$

Gauss pozwala q ( t ) być pewną zespoloną funkcją zmiennej rzeczywistej t , która spełnia następujące równanie różniczkowe zwyczajne:

$\ Displaystyle \ Displaystyle q' (t) = {\ Frac {-Fi {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}{E}}(q(t),t),}$

gdzie E , F i G są tutaj oceniane przy y = t i x = q ( t ). Jeśli określimy wartość q ( s ) dla pewnej wartości początkowej s , to równanie różniczkowe określa wartości q ( t ) dla t mniejsze lub większe od s . $)$ Gauss definiuje swój izotermiczny układ współrzędnych h , ustawiając h ( x , y tak, aby się wzdłuż ścieżki rozwiązania tego równania różniczkowego, które przechodzi przez punkt ( x , y , a zatem ma q ( y ) = x .

Ta reguła ustawia h ( x , 0) na , ponieważ warunkiem początkowym jest wtedy $q$ ( 0) = x Bardziej ogólnie, załóżmy, że poruszamy się o nieskończenie mały wektor ( dx , dy ) od pewnego punktu ( x , y ), gdzie dx i dy spełniają

${\ Displaystyle \ Displaystyle E \, dx + (F + i {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \,) \, dy=0.}$

Ponieważ ${\ Displaystyle q' (t) = dx/dy}$ , wektor ( dx , dy ) jest wtedy styczny do krzywej rozwiązania równania różniczkowego, która przechodzi przez punkt ( x , y ). Ponieważ zakładamy, że metryka jest analityczna, wynika z tego

${\ Displaystyle \ Displaystyle dh = c (x, y) {\ bigl (} E \, dx + ( F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy{\bigr )}}$

dla pewnej gładkiej funkcji o wartościach zespolonych ${\ Displaystyle c (x, y) = a (x, y) + ib (x, y).}$ Mamy zatem

$Displaystyle h_ {z} = ((aE +bF+a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE-aF+b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2}$

$\ Displaystyle \ Displaystyle h _ {\ overline {z}} =((aE-bF-a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE+aF-b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/ 2.}$

Tworzymy iloraz ${\ displaystyle h _ {\ overline {z}}/h_ {z}},$ a następnie mnożymy licznik i mianownik przez ${\ Displaystyle {\ overline {h_ {z}}} }$ , który jest złożonym koniugatem mianownika. Upraszczając wynik, stwierdzamy, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {h _ {\ overline {z}} \ ponad h_ {z}} = {\ Frac {(a ^ {2} + b ^ {2}) E \; (EG + 2iF)} {(a^{2}+b^{2})E\;(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}={\frac {E-G+2iF} {E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}=\mu (z).}$

Funkcja Gaussa h daje zatem pożądane współrzędne izotermiczne.

Rozwiązanie w L ² dla gładkich współczynników Beltramiego

W najprostszych przypadkach równanie Beltramiego można rozwiązać tylko za pomocą technik przestrzennych Hilberta i transformaty Fouriera. Metoda dowodu jest prototypem ogólnego rozwiązania wykorzystującego przestrzenie L ^p , chociaż Adrien Douady wskazał metodę obsługi przypadku ogólnego przy użyciu tylko przestrzeni Hilberta: metoda opiera się na klasycznej teorii odwzorowań quasi-konforemnych w celu ustalenia szacunków Höldera, które są automatyczne w teorii L ^p dla p > 2. Niech T będzie transformatą Beurlinga na L ² ( C ) zdefiniowaną na transformacie Fouriera funkcji L 2 ^f jako operator mnożenia:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ widehat {Tf}} (z) = {{\ overline {z}} \ ponad z} {\ widehat {f}} (z).}$

Jest to operator unitarny i jeśli f jest rozkładem temperowanym na C z pochodnymi cząstkowymi w L ^{2 ,} to wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle T (f _ {\ overline {z}}) = f_ {z},}$

gdzie indeksy dolne oznaczają złożone pochodne cząstkowe.

Podstawowe rozwiązanie operatora

${\ Displaystyle D = \ częściowe _ {\ overline {z}}}$

jest dana przez dystrybucję

${\ Displaystyle \ Displaystyle {E (z) = {1 \ ponad \ pi z},}}$

lokalnie całkowalna funkcja na C . Zatem na funkcjach Schwartza f

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {\ overline {z}} (E \ gwiazda f) = f.}}$

To samo dotyczy rozkładów kompaktowego wsparcia na C . W szczególności, jeśli f jest funkcją L ² ze zwartym nośnikiem, to jej transformata Cauchy'ego , zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Cf = E \ gwiazda f,}}$

jest lokalnie całkowalny do kwadratu. Powyższe równanie można zapisać

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(Cf) _ {\ overline {z}} = f.}}$

Co więcej, nadal traktując f i Cf jako rozkłady,

${\ Displaystyle \ Displaystyle (Cf) _ {z} = Tf.}$

Rzeczywiście, operator D jest podany na transformatach Fouriera jako mnożenie przez iz /2, a C jako mnożenie przez jego odwrotność.

Teraz w równaniu Beltramiego

${\ Displaystyle \ Displaystyle f _ {\ overline {z}} = \ mu f_ {z},}$

gdzie μ jest gładką funkcją zwartego podparcia, zestaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle g (z) = f (z) -z}$

i załóżmy, że pierwszymi pochodnymi g są L ² . Niech h = g _z = f _z – 1. Wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle h = g_ {z} = T (g_ { \overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu }$

Jeśli A i B są operatorami zdefiniowanymi przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {AF = T \ mu F, \, \, \, \, BF = \ mu TF}}$

wtedy ich normy operatorskie są dokładnie mniejsze niż 1 i

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(IA) h = T \ mu.}}$

Stąd

${\ Displaystyle \ Displaystyle {h = (IA) ^ {- 1} T \ mu, \, \, \, T^{*}h=(IB)^{-1}\mu }}$

gdzie prawe strony można rozwinąć jako szereg Neumanna . Wynika, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g _ {\ overline {z}} = T ^ {*} h,}}$

ma takie samo wsparcie jak μ i g . Stąd f jest dane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (z) = CT ^ {*} h (z) + z.}}$

Regularność eliptyczna może być teraz wykorzystana do wywnioskowania, że ​​f jest gładka.

W rzeczywistości poza wsparciem μ ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ częściowe _ {\ overline {z}} f = 0,}$

więc z lematu Weyla f jest nawet holomorficzne dla | z | > r . Ponieważ f = CT*h + z , wynika z tego, że f dąży do 0 równomiernie jak | z | dąży do ∞.

Argument regularności eliptycznej mający udowodnić gładkość jest jednak wszędzie taki sam i wykorzystuje teorię przestrzeni L ² Sobolewa na torusie. Niech ψ będzie gładką funkcją zwartej podpory na C , identycznie równą 1 na sąsiedztwie podpory μ i przyjmijmy F = ψ f . Podpora F leży w dużym kwadracie | x |, | y | ≤ R , więc identyfikując przeciwległe boki kwadratu, F i μ można uważać za rozkład i funkcję gładką na torusie T ² . Z konstrukcji F jest w L ² ( T ² ). Jako rozkład na T ² spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle F _ {\ overline {z}} = \ mu F_ {z} + GF,}$

gdzie G jest gładkie. Na podstawie kanonicznej em z L ² ( T ² ) z m w Z + i _Z , zdefiniuj

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Ue_ {m} = {{\ overline {m}} \ nad m} e_ {m} \, \, (m \ neq 0), Ue_ {0} = e_ {0}.}}$

Zatem U jest jednostką i na wielomianach trygonometrycznych lub gładkich funkcjach P

${\ Displaystyle \ Displaystyle {U (P _ {\ overline {z}}) = P_ {z}.}}$

Podobnie rozciąga się na unitarną na każdej przestrzeni Sobolewa H _k ( T ² ) o tej samej własności. Jest to odpowiednik na torusie transformaty Beurlinga. Standardowa teoria operatorów Fredholma pokazuje, że operatory odpowiadające I – μ U oraz I – U μ są odwracalne na każdej przestrzeni Sobolewa. Z drugiej strony,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {z} (jm \ mu) F = UG.}}$

Skoro UG jest gładkie, to i ( I – μU ) F , a więc i F .

Zatem pierwotna funkcja f jest gładka. Uważany za odwzorowanie C = R2 w sobie, Jakobian jest dany ^przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle {J (f) = | f_ {z} | ^ {2} - | f_ {\ overline {z}} | ^ {2} = | f_ {z} | ^ {2} (1- |\mu |^{2}).}}$

Ten jakobian nigdzie nie znika według klasycznego argumentu Ahlforsa (1966) . W rzeczywistości z formalnego zapisu f _z = e ^k wynika, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {k _ {\ overline {z}} = \ mu k_ {z} + \ mu _ {z}.}}$

To równanie dla k można rozwiązać tymi samymi metodami, co powyżej, dając rozwiązanie dążące do 0 w ∞. Przez niepowtarzalność h + 1 = e ^k tak, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {J (f) = (1- |\ mu | ^ {2}) | e ^ {2k}|}}$

nigdzie nie znika. Ponieważ f indukuje w sobie gładką mapę sfery Riemanna C ∪ ∞, która jest lokalnie dyfeomorfizmem, f musi być dyfeomorfizmem. W rzeczywistości f musi być na przez spójność sfery, ponieważ jej obraz jest podzbiorem otwartym i zamkniętym; ale wtedy, jako mapa pokrywająca , f musi pokrywać każdy punkt kuli taką samą liczbę razy. Ponieważ tylko ∞ jest wysyłane do ∞, wynika z tego, że f jest jeden do jednego.

Rozwiązaniem f jest quasikonformalny dyfeomorfizm konforemny. Tworzą one grupę, a ich współczynniki Beltramiego można obliczyć zgodnie z następującą regułą:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu _ {g \ circ f ^ {-1}} \ circ f = {f_ {z} \ ponad {\ overline {f_ {z}}}} {\ mu _ {g} - \mu _{f} \ponad 1-{\overline {\mu _{f}}}\mu _{g}}.}}$

Ponadto, jeśli f (0) = 0 i

${\ Displaystyle \ Displaystyle {g (z) = f (z ^ {- 1}) ^ {- 1},}}$

Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu _ {g} (z) = {z ^ {2} \ ponad {\ overline {z}} ^ {2}} \ mu _ {f} (z ^ {-1}) .}}$

Ten wzór odzwierciedla fakt, że na powierzchni Riemanna współczynnik Beltramiego nie jest funkcją. Przy holomorficznej zmianie współrzędnej w = w ( z ) współczynnik jest przekształcany na

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ widetilde {\ mu}} (w) = (w ^ {\ pierwsza} / {\ overline {w ^ {\ pierwsza}}}) \ cdot \ mu (z).}}$

Definiując gładki współczynnik Beltramiego na kuli w ten sposób, jeśli μ jest takim współczynnikiem, to przyjmując gładką funkcję wypukłości ψ równą 0 w pobliżu 0, równą 1 dla | z | > 1 i spełniając 0 ≤ ψ ≤ 1, μ można zapisać jako sumę dwóch współczynników Beltramiego:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu = \ psi \ mu + (1- \ psi) \ mu = \ mu _ {0} + \ mu _ {\ infty}.}}$

Niech g będzie quasikonformalnym dyfeomorfizmem sfery ustalającej 0 i ∞ ze współczynnikiem μ _∞ . Niech λ będzie współczynnikiem zwartej podpory Beltramiego na C określonym przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda (z) = \ lewo [{\ mu _ {0} \ ponad 1- \ mu {\ overline {\ mu _ {\ infty}}}} {g_ {z} \ ponad {\ overline {g_{z}}}}\right]\circ g^{-1}(z).}$

Jeśli f jest quasi-konformalnym dyfeomorfizmem sfery ustalającej 0 i ∞ ze współczynnikiem λ, to powyższe wzory transformacji pokazują, że f ∘ g ^-1 jest quasi-konformalnym dyfeomorfizmem kuli ustalającej 0 i ∞ ze współczynnikiem μ .

Rozwiązania równania Beltramiego ograniczają się do dyfeomorfizmów górnej półpłaszczyzny lub dysku jednostkowego, jeśli współczynnik μ ma dodatkowe właściwości symetrii; ponieważ te dwa regiony są powiązane transformacją Möbiusa (transformacją Cayleya), oba przypadki są zasadniczo takie same.

Dla górnej półpłaszczyzny Im z > 0, jeśli μ spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (z) = {\ overline {\ mu ({\ overline {z}})}}}$

wtedy przez niepowtarzalność rozwiązanie f równania Beltramiego spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle f (z) = {\ overline {f ({\ overline {z}})}}}$

więc pozostawia rzeczywistą oś, a tym samym niezmienną górną półpłaszczyznę.

Podobnie dla dysku jednostkowego | z | < 1, jeśli μ spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (z) = {z ^ {2} \ ponad {\ overline {z}} ^ {2}} {\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}},}$

wtedy przez niepowtarzalność rozwiązanie f równania Beltramiego spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (z) = {\ overline {f ({\ overline {z}} ^ {- 1})}} ^ { -1},}}$

więc pozostawia okrąg jednostkowy, a tym samym dysk jednostkowy niezmienny.

I odwrotnie, współczynniki Beltramiego określone na zamknięciach górnej półpłaszczyzny lub dysku jednostkowego, które spełniają te warunki na granicy, można „odzwierciedlić” za pomocą powyższych wzorów. Jeśli funkcje rozszerzone są gładkie, można zastosować poprzednią teorię. W przeciwnym razie rozszerzenia będą ciągłe, ale ze skokiem w pochodnych na granicy. wymagana jest bardziej ogólna teoria mierzalnych współczynników μ , która jest najbardziej bezpośrednio obsługiwana w ramach teorii ^Lp .

Twierdzenie o gładkim odwzorowaniu Riemanna

Zobacz także: Twierdzenie o odwzorowaniu Riemanna

Niech U będzie otwartą prosto spójną domeną na płaszczyźnie zespolonej z gładką granicą zawierającą 0 w swoim wnętrzu i niech F będzie dyfeomorfizmem dysku jednostkowego D na U rozciągającym się płynnie do granicy i tożsamością w sąsiedztwie 0. Załóżmy, że w dodatkowo metrykę indukowaną na zamknięciu dysku jednostkowego można odzwierciedlić w okręgu jednostkowym, aby zdefiniować gładką metrykę na C . Odpowiedni współczynnik Beltramiego jest zatem gładką funkcją na C znikającą w pobliżu 0 i ∞ i satysfakcjonującą

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mu (z) = {z ^ {2} \ ponad {\ overline {z}} ^ {2}} {\ overline {\ mu ({\ overline {z}} ^ {-1} )}}^{-1}.}$

Quasiconformal dyfeomorfizm h C spełnia

${\ Displaystyle \ Displaystyle {h _ {\ overline {z}} = \ mu (z) h_ {z}}}$

zachowuje okrąg jednostkowy wraz z jego wnętrzem i zewnętrzem. Ze wzorów składu na współczynniki Beltramiego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu _ {F \ circ h ^ {- 1}} = 0,}}$

tak że f = F ∘ h ⁻¹ jest gładkim dyfeomorfizmem między domknięciami D i U , który jest holomorficzny we wnętrzu. Zatem, jeśli można skonstruować odpowiedni dyfeomorfizm F , odwzorowanie f dowodzi gładkiego twierdzenia odwzorowania Riemanna dla dziedziny U .

Aby wytworzyć dyfeomorfizm F o powyższych właściwościach, można założyć po transformacji afinicznej, że granica U ma długość 2π i że 0 leży w U . Gładka wersja twierdzenia Schoenfliesa daje gładki dyfeomorfizm G od domknięcia D do domknięcia u równego tożsamości w sąsiedztwie 0 iz wyraźną postacią w cylindrycznym sąsiedztwie okręgu jednostkowego. W rzeczywistości biorąc współrzędne biegunowe ( r , θ ) w R ² i pozwalając ( x ( θ ), y ( θ )) ( θ w [0,2 π ]) być parametryzacją ∂ U przez długość łuku, G ma postać

${\ Displaystyle \ Displaystyle G (r, \ teta) = (x (\ teta) - (1-r) y ^ {\ pierwsza} (\ teta), y (\ teta) + (1-r) x ^ { \prime } (\ teta )).}$

Przyjmując t = 1 - r jako parametr, indukowana metryka w pobliżu okręgu jednostkowego jest dana przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle ds ^ {2} = (1 + t \ kappa (\ teta)) ^ {2} d \ theta ^{2}+dt^{2},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ kappa (\ teta) = y ^ {\ pierwsza \ pierwsza} (\ theta )x^{\prime }(\theta )-x^{\prime \prime }(\theta )y^{\prime }(\theta )}$

jest krzywizną krzywej płaskiej ( x ( θ ) , y ( θ )).

Pozwalać

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ alfa = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ teta) \, d \ teta, \, \, \, h (\ teta )=\kappa (\theta)-\alpha.}$

Po zmianie zmiennej we współrzędnej t i konforemnej zmianie metryki, metryka przyjmuje postać

${\ Displaystyle \ Displaystyle ds ^ {2} = (1 + t \ psi (t) h (\ teta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

t o wartościach rzeczywistych :

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ psi (t) = 1 + a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + \ cdots}$

Formalny dyfeomorfizm wysyłający ( θ , t ) do ( f ( θ , t ), t ) można zdefiniować jako formalny szereg potęgowy w t :

${\ Displaystyle \ Displaystyle f (\ teta, t) = \ teta + f_{1}(\theta)t+f_{2}(\theta)t^{2}+\cdots =\theta +g(\theta,t)}$

gdzie współczynniki f _n są gładkimi funkcjami na okręgu. Współczynniki te można zdefiniować przez powtarzalność, tak aby przekształcona metryka miała tylko parzyste potęgi t we współczynnikach. Warunek ten jest narzucony przez wymaganie, aby w formalnym rozwinięciu szeregów potęgowych nie występowały nieparzyste potęgi t :

${\ Displaystyle \ lewo [1 + t \ psi (t) \ lewo (\ suma _ {n \ geq 0} h ^ {(n)} g ^ {n} / n! \ prawo) \ prawo] \ cdot \ left[(1+g^{\prime })\,d\theta +\left(\sum _{n\geq 1}nf_{n}t^{n-1}\right)\,dt\right] .}$

Na mocy lematu Borela , istnieje dyfeomorfizm określony w sąsiedztwie koła jednostkowego, t = 0, dla którego formalne wyrażenie f ( θ , t ) jest rozwinięciem szeregu Taylora w zmiennej t . Wynika z tego, że po złożeniu z tym dyfeomorfizmem rozszerzenie metryki otrzymanej przez odbicie w linii t = 0 jest gładkie.

Ciągłość rozwiązań Höldera

Douady i inni wskazali sposoby rozszerzenia teorii L ² , aby udowodnić istnienie i jednoznaczność rozwiązań, gdy współczynnik Beltramiego μ jest ograniczony i mierzalny z normą L ^∞ k ściśle mniejszą od jedności. Ich podejście obejmowało teorię odwzorowań quasi-konforemnych w celu bezpośredniego ustalenia rozwiązań równania Beltramiego, gdy μ jest gładkie, a ustalone zwarte podparcie jest jednostajnie ciągłe Höldera . W ^Lp ciągłość Höldera wynika automatycznie z teorii operatorów.

Teoria L ^p , gdy μ jest gładkim zwartym nośnikiem, przebiega jak w przypadku L ² . Z teorii Calderóna-Zygmunda wiadomo, że transformata Beurlinga i jej odwrotność są ciągłe dla normy ^Lp . Twierdzenie Riesza -Thorina o wypukłości implikuje, że normy C ^p są ciągłymi funkcjami p . W szczególności Cp dąży do 1, gdy _p dąży do 2.

W równaniu Beltramiego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f _ {\ overline {z}} = \ mu f_ {z},}}$

gdzie μ jest płynną funkcją zwartego podparcia, zestaw

${\ Displaystyle \ Displaystyle g (z) = f (z) -z}$

i załóżmy, że pierwszymi pochodnymi g są L ^p . Niech h = g _z = f _z – 1. Wtedy

${\ Displaystyle \ Displaystyle {h = g_ {z} = T (g _ {\ overline {z}}) = T (f _ {\ overline {z}}) = T (\ mu f_ {z}) = T (\ mu h)+T\mu .}}$

Jeśli A i B są operatorami zdefiniowanymi przez AF = TμF i BF = μTF , to ich normy operatorów są dokładnie mniejsze niż 1 i ( I − A ) h = T μ. Stąd

${\ Displaystyle \ Displaystyle h = (IA) ^ {- 1} T \ mu, \, \, \, T ^{-1}=(IB)^{-1}\mu }$

gdzie prawe strony można rozwinąć jako szereg Neumanna . Wynika, że

$\ Displaystyle \ Displaystyle g _ {\ overline {z}} = T ^ {- 1} h,}$

ma takie samo wsparcie jak μ i g . Stąd, aż do dodania stałej, f jest dane przez

${\ Displaystyle \ Displaystyle f (z) = CT ^ {- 1} h (z) + z.}$

Zbieżność funkcji ze stałym zwartym nośnikiem w normie L ^p dla p > 2 implikuje zbieżność w L ² , więc te wzory są zgodne z teorią L ² , jeśli p > 2.

Transformata Cauchy'ego C nie jest ciągła na L ² , z wyjątkiem odwzorowania na funkcje znikającej średniej oscylacji . Na L ^p jego obraz jest zawarty w funkcjach ciągłych Höldera z wykładnikiem Höldera 1 − 2 p ⁻¹ po dodaniu odpowiedniej stałej. W rzeczywistości dla funkcji f zwartego wsparcia zdefiniuj

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Pf (w) & = Cf (w) + \ pi ^ {-1} \ iint _ {\ mathbf {C}} {f (z) \ ponad z} \, dx \ ,dy\\[4pt]&=-{1 ​​\over \pi }\iint _{\mathbf {C}}f(z)\left({1 \over zw}-{1 \over z}\right) \,dx\,dy=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }{f(z)w \over z(zw)}\,dx\,dy.\end{wyrównane} }}$

Należy zauważyć, że stała jest dodawana w taki sposób, że Pf (0) = 0. Ponieważ Pf różni się od Cf tylko o stałą, wynika dokładnie tak, jak w teorii L ² , że

${\ Displaystyle \ Displaystyle (Pf) _ {\ overline {z}} = f, \, \, \, (Pf) _ {z} = Tf.}$

Co więcej, P można użyć zamiast C do wytworzenia rozwiązania:

${\ Displaystyle \ Displaystyle f (z) = PT ^ {- 1} h (z) + z.}$

Z drugiej strony całka definiująca Pf jest w L ^q , jeśli q ⁻¹ = 1 − p ⁻¹ . Nierówność Höldera implikuje , że Pf jest ciągła Höldera z wyraźnym oszacowaniem:

${\ Displaystyle \ Displaystyle | Pf (w_ {1}) -Pf (w_ {2}) | \ równoważnik K_ {p} \ | f \ | _ {p} | w_ {1} -w_ {2}|^{1-2/p},}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle K_ {p} = \| z ^ {-1} (z-1) ^ {-1} \|_ {q}/\ pi.}$

Dla dowolnego p > 2 wystarczająco bliskiego 2, C _p k <1. Stąd szeregi Neumanna dla ( I - A ) ^-1 i ( I - B ) ^-1 są zbieżne. Oszacowania Höldera dla P dają następujące jednolite oszacowania dla znormalizowanego rozwiązania równania Beltramiego:

${\ Displaystyle \ Displaystyle | f (w_ {1}) -f (w_ {2}) | \ równoważnik {K_ {p} \ ponad 1- \ | \ mu \| _ {\ infty} C_ {p}} \ |\mu \|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p}+|w_{1}-w_{2}|.}$

Jeśli μ jest obsługiwane w | z | ≤ R , zatem

${\ Displaystyle \ Displaystyle \|\ mu \|_ {p} \ równoważnik (\ pi R ^ {2}) ^ {1/p} \|\ mu \|_ {\ infty}.}$

Przyjmując w ₁ = z iw ₂ = 0, wynika, że ​​dla | z | ≤ r

$(z) | \ równoważnik \ lewo [1 + {K_ { p}\pi ^{1/p}\|\mu \|_{\infty } \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\right]\cdot R=CR, }$

gdzie stała C > 0 zależy tylko od normy L ^∞ μ . Tak więc współczynnik Beltramiego f ⁻¹ jest gładki i obsługiwany w z | ≤ CR . Ma taką samą normę L ^∞ jak norma f . Tak więc odwrotne dyfeomorfizmy również spełniają jednolite oszacowania Höldera.

Rozwiązanie dla mierzalnych współczynników Beltramiego

Istnienie

Teorię równania Beltramiego można rozszerzyć na mierzalne współczynniki Beltramiego μ . Dla uproszczenia rozważona zostanie tylko specjalna klasa μ — odpowiednia dla większości zastosowań — a mianowicie te funkcje, które są gładkim zbiorem otwartym Ω (zbiór regularny) z dopełnieniem Λ zbiorem domkniętym o mierze zero (zbiór osobliwy). Zatem Λ jest zbiorem zamkniętym, który zawiera się w zbiorach otwartych o dowolnie małej powierzchni. Dla mierzalnych współczynników Beltramiego μ ze zwartym wsparciem w | z | < R , rozwiązanie równania Beltramiego można otrzymać jako granicę rozwiązań dla gładkich współczynników Beltramiego.

W rzeczywistości w tym przypadku zbiór osobliwy Λ jest zwarty. Weźmy gładkie funkcje φ _n o zwartej podporze z 0 ≤ φ _n ≤ 1, równe 1 w sąsiedztwie Λ i 0 w nieco większym sąsiedztwie, zmniejszając się do Λ wraz ze wzrostem n . Ustawić

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu _ {n} = (1- \ varphi _ {n}) \ cdot \ mu.}}$

μ _{n są gładkie} z kompaktowym wsparciem w | z | < R i

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|\ mu _ {n} \| _ {\ infty} \ równoważnik \|\ mu \|_ {\ infty}.}}$

μ _n ma tendencję do μ w dowolnej normie L ^{p z} p < ∞.

Odpowiednie znormalizowane rozwiązania f _n równań Beltramiego i ich odwrotności g _n spełniają jednolite oszacowania Höldera. Są zatem równociągłe na dowolnym zwartym podzbiorze C ; są nawet holomorficzne dla | z | > r . Tak więc na podstawie twierdzenia Arzelà-Ascoli , przechodząc w razie potrzeby do podciągu, można założyć, że zarówno f _​​n , jak i g _n zbiegają się jednostajnie na kompaktach do f i g . Granice będą spełniać te same oszacowania Höldera i będą holomorficzne dla | z | > r . Relacje f _n ∘ g _n = id = g _n ∘ f _n implikują, że w granicy f ∘ g = id = g ∘ f , więc f i g są homeomorfizmami.

• Granice f i g są słabo różniczkowalne. W rzeczywistości niech

${\ Displaystyle \ Displaystyle {u_ {n} = \ częściowe _ {\ overline {z}} f_ {n}, \, \,v_{n}=\partial _{z}f_{n}-1.}}$

Leżą one w L ^p i są jednostajnie ograniczone:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|u_ {n} \|_ {p}, \, \, \| v_ {n} \|_ {p} \ równoważnik {\|\ mu _ {n} \|_ { p} \over 1-\|\mu _{n}\|_{\infty }}.}}$

Przechodząc w razie potrzeby do podciągu, można założyć, że ciągi te mają słabe granice u i v w L ^p . Są to dystrybucyjne pochodne f ( z ) – z , ponieważ jeśli ψ jest gładkim zwartym nośnikiem

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ iint u \ cdot \ psi = \ lim \ iint u_ {n} \ cdot \ psi = - \ lim \ iint f_ {n} \ cdot \ częściowe _ {\ overline {z} }\psi =-\iint f\cdot \partial _{\overline {z}}\psi ,}}$

i podobnie dla v . Podobny argument dotyczy g, wykorzystując fakt, że współczynniki Beltramiego g _n są obsługiwane w nieruchomym dysku zamkniętym.

• f spełnia równanie Beltramiego ze współczynnikiem Beltramiego μ . W rzeczywistości relacja u = μ ⋅ v + μ wynika ciągłością z relacji u _n = μ _n ⋅ v _n + μ _n . Wystarczy pokazać, że μ _n ⋅ v _n dąży słabo do μ ⋅ v . Różnicę można zapisać

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu v- \ mu _ {n} v_ {n} = \ mu (vv_ {n}) + (\ mu - \ mu _ {n}) v_ {n}.}}$

Pierwszy wyraz dąży słabo do 0, podczas gdy drugi wyraz jest równy μ φ _n v _n . Wyrazy są jednostajnie ograniczone w L ^p , więc aby sprawdzić słabą zbieżność do 0 wystarczy sprawdzić iloczyny wewnętrzne z gęstym podzbiorem L ² . Iloczyny wewnętrzne z funkcjami zwartej podpory w Ω są równe zeru dla wystarczająco dużego n .

• f przenosi domknięte zbiory miary zero na domknięte zbiory miary zero. Wystarczy to sprawdzić dla zwartego zbioru K o mierze zero. Jeśli U jest ograniczonym zbiorem otwartym zawierającym K i J oznacza jakobian funkcji, to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A (f_ {n} (U)} & = \ iint _ {U} J (f_ {n}) \, dx \, dy = \ iint _ {U} | \ częściowe _{z}f_{n}|^{2}-|\częściowe _{\overline {z}}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\\[4pt]&\leq \iint _{U}|\częściowe _{z}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\leq \|\częściowe _{z}f_{n}|_{U}\|_{p }^{2}\,A(U)^{1-2/p}.\end{aligned}}}$

Zatem jeśli A ( U ) jest małe, to A ( f _n ( U ) też jest małe). Z drugiej strony f _n ( U ) ostatecznie zawiera f ( K ), dla zastosowania odwrotności g _n , U ostatecznie zawiera g _n ∘ f ( K ), ponieważ g _n ∘ f dąży jednostajnie do identyczności na kompaktach. Stąd f ( K ) ma miarę zero.

• f jest gładka na regularnym zbiorze Ω μ . Wynika to z wyników regularności eliptycznej w L ² .
• ₀ f ma tam nieznikający Jakobian. W szczególności f _z ≠ 0 na Ω. W rzeczywistości dla z w Ω, jeśli n jest wystarczająco duże

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {\ overline {z}} (f \ circ g_ {n}) = 0}}$

₀₀₀ blisko z ₁ = fa _n ( z ). Zatem h = f ∘ g _n jest holomorficzne w pobliżu z ₁ . Ponieważ jest to lokalnie homeomorfizm, h ' ( z ₁ ) ≠ 0. Skoro f = h ∘ f _n . wynika z tego, że jakobian f jest różny od zera w z . Z drugiej strony J ( f ) = | f _z | ² (1 − |μ| ² ), więc fa _z ≠ 0 w z .

• g spełnia równanie Beltramiego ze współczynnikiem Beltramiego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mu ^ {\ pierwsza} (f (z)) = - { f_ {z} \over {\overline {f_{z}}}}\cdot \mu (z)}}$

lub równoważnie

${\ displaystyle \ displaystyle {\ mu ^ {\ prime} (w) = - {{\ overline {g_ {w}}} \ over g_ {w}} \ cdot \ mu (g (w))}} na zwykłym$

zestawie Ω ' = f (Ω), z odpowiednim zestawem osobliwym Λ ' = f (Λ).

• g spełnia równanie Beltramiego dla μ ′. W rzeczywistości g ma słabe pochodne dystrybucyjne w 1 + L ^p i L ^p . W połączeniu z gładkimi funkcjami zwartego wsparcia w Ω pochodne te pokrywają się z rzeczywistymi pochodnymi w punktach Ω. Ponieważ Λ ma miarę zero, pochodne dystrybucyjne są równe rzeczywistym pochodnym w L ^p . Zatem g spełnia równanie Beltramiego, ponieważ rzeczywiste pochodne to robią.
• Jeśli f * i f są rozwiązaniami skonstruowanymi jak wyżej dla μ * i μ , to f * ∘ f ⁻¹ spełnia równanie Beltramiego dla

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ nu (f (z)) = {f_ {z} \ ponad {\ overline {f_ {z}}}}\,{\mu ^{*}-\mu \over 1-{\overline {\mu}}\mu ^{*}},} zdefiniowane na Ω ∩ Ω*$

. Słabe pochodne f * ∘ f ⁻¹ są dane przez rzeczywiste pochodne na Ω ∩ Ω*. W rzeczywistości wynika to z aproksymacji f * i g = f ^-1 przez f * _n i g _n . Pochodne są jednostajnie ograniczone w 1 + L ^p i L ^p , tak jak przed słabymi granicami dają pochodne dystrybucyjne f * ∘ f ⁻¹ . W połączeniu z gładkimi funkcjami kompaktowego wsparcia w Ω ∩ Ω*, zgadzają się one ze zwykłymi pochodnymi. Zatem pochodne dystrybucyjne są dane zwykłymi pochodnymi poza Λ ∪ Λ*, zbiorem miary zero.

Stwierdza to istnienie homeomorficznych rozwiązań równania Beltramiego w przypadku współczynników Beltramiego zwartej podpory. Pokazuje również, że homeomorfizmy odwrotne i homeomorfizmy złożone spełniają równania Beltramiego i że wszystkie obliczenia można wykonać, ograniczając się do zbiorów regularnych.

Jeśli nośnik nie jest zwarty, można zastosować tę samą sztuczkę, co w gładkim przypadku, do skonstruowania rozwiązania w kategoriach dwóch homeomorfizmów związanych ze zwarto obsługiwanymi współczynnikami Beltramiego. Należy zauważyć, że ze względu na założenia dotyczące współczynnika Beltramiego można zastosować transformację Möbiusa rozszerzonej płaszczyzny zespolonej, aby zwarty zbiór osobliwy współczynnika Beltramiego. W takim przypadku jeden z homeomorfizmów można wybrać jako dyfeomorfizm.

Wyjątkowość

Istnieje kilka dowodów na jednoznaczność rozwiązań równania Beltramiego z danym współczynnikiem Beltramiego. Ponieważ zastosowanie transformacji Möbiusa płaszczyzny zespolonej do dowolnego rozwiązania daje inne rozwiązanie, rozwiązania można znormalizować tak, aby ustalały 0, 1 i ∞. Metoda rozwiązania równania Beltramiego za pomocą transformaty Beurlinga dostarcza również dowodu jednoznaczności dla współczynników zwartego podparcia μ , dla których pochodne dystrybucyjne są w 1 + L ^p i L ^p . Relacje

${\ Displaystyle \ Displaystyle (P \ psi) _ {\ overline {z}} = \ psi, \, \, \, (P \ psi) _{z}=T\psi}$

dla funkcji gładkich ψ o zwartym nośniku są również ważne w sensie dystrybucyjnym dla funkcji L ^p h , ponieważ można je zapisać jako L ^p od ψ _n 's. Jeśli f jest rozwiązaniem równania Beltramiego z f (0) = 0 i f _z - 1 w L ^p to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F = fP (f _ {\ overline {z}})}}$

zadowala

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ częściowe _ {\ overline {z}} F = 0.}}$

Zatem F jest słabo holomorficzny. Stosując lemat Weyla można stwierdzić, że istnieje funkcja holomorficzna G , która jest równa F prawie wszędzie. Nadużywanie notacji przedefiniowanie F:=G . Warunki F '(z) − 1 leżą w L ^p i F (0) = 0 siła F ( z ) = z . Stąd

${\ Displaystyle \ Displaystyle {P (f _ {\ overline {z}}) = f (z) + z}}$

i tak różnicujący

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {z} = T (\ mu f_ {z}) + 1.}}$

Jeśli g jest innym rozwiązaniem, to

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {z} -g_ {z} = T (\ mu (f_ {z} -g_ {z})).}}$

Ponieważ T μ ma normę operatora na L ^p mniejszą niż 1, to wymusza

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {z} = g_ {z}.}}$

Ale potem z równania Beltramiego

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f _ {\ overline {z}} = g _ {\ overline {z}}.}}$

Stąd f - g jest zarówno holomorficzne, jak i antyholomorficzne, więc jest stałą. Ponieważ f (0) = 0 = g (0), wynika z tego, że f = g . Zauważ, że ponieważ f jest holomorficzne poza wsparciem μ i f (∞) = ∞, warunki, w których pochodne są lokalnie w L ^{p ,} działają

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {z} -1, \, \, f _ {\ overline {z}} \ w L ^ {p} (\ mathbf {C}).}}$

Dla ogólnego f spełniającego równanie Beltramiego io pochodnych dystrybucyjnych lokalnie w L ^p , po zastosowaniu transformacji Möbiusa można założyć, że 0 nie należy do zbioru osobliwego współczynnika Beltramiego μ . Jeśli g jest gładkim dyfeomorfizmem g ze współczynnikiem Beltramiego λ obsługiwanym w pobliżu 0, współczynnik Beltramiego ν dla f ∘ g ⁻¹ można obliczyć bezpośrednio za pomocą wzoru zmiany zmiennych dla pochodnych dystrybucyjnych:

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ nu (g (z)) = {g_ {z} \ ponad {\ overline {g_ {z}}}} \, {\ mu - \ lambda \ ponad 1- {\ overline {\ lambda }}\mu}.}$

λ można wybrać tak, aby ν znikało w pobliżu zera. Zastosowanie mapy z ⁻¹ daje rozwiązanie równania Beltramiego ze współczynnikiem Beltramiego zwartego podparcia. Pochodne kierunkowe są nadal lokalnie w L ^p . Współczynnik ν zależy tylko od μ , λ i g , więc dowolne dwa rozwiązania pierwotnego równania dadzą rozwiązania bliskie 0 z pochodnymi dystrybucyjnymi lokalnie w L ^p i tym samym współczynnikiem Beltramiego. Są więc równi. Stąd rozwiązania pierwotnego równania są równe.

Uniformizacja wielokrotnie połączonych domen planarnych

Metodę zastosowaną do udowodnienia twierdzenia o gładkim odwzorowaniu Riemanna można uogólnić na mnożenie połączonych obszarów planarnych z gładką granicą. Współczynnik Beltramiego w tych przypadkach jest gładki na zbiorze otwartym, którego dopełnienie ma miarę zero. Wymagana jest zatem teoria równania Beltramiego z mierzalnymi współczynnikami.

Podwójnie połączone domeny. Jeśli Ω jest podwójnie spójnym obszarem planarnym, to istnieje dyfeomorfizm F pierścienia r ≤ |z| ≤ 1 na zamknięciu Ω, tak że po zmianie konforemnej indukowana metryka na pierścieniu może być płynnie kontynuowana przez odbicie w obu granicach. Pierścień jest podstawową domeną dla grupy generowanej przez dwa odbicia, które odwracają orientację. Obrazy domeny podstawowej pod grupą wypełniają C z usuniętym 0, a współczynnik Beltramiego jest tam gładki. Rozwiązanie kanoniczne h równania Beltramiego na C , według teorii Lp, ^jest homeomorfizmem. Jest gładki w kierunku od 0 dzięki regularności eliptycznej. Dzięki wyjątkowości zachowuje on krąg jednostkowy wraz z jego wnętrzem i zewnętrzem. Wyjątkowość rozwiązania implikuje również, że odbicie istnieje sprzężona transformacja Möbiusa g taka, że ​​h ∘ R = g ∘ h gdzie R oznacza odbicie w | z | = r . Komponując z transformacją Möbiusa, która ustala koło jednostkowe, można przyjąć, że g jest odbiciem w okręgu | z | = s gdzie s < 1. Wynika z tego, że F ∘ h ₋₁ jest gładkim dyfeomorfizmem pierścienia s ≤ | z | ≤ 1 na zamknięciu Ω, holomorficzny we wnętrzu.

₀₀₀₀ Pomnóż połączone domeny. W przypadku regionów o wyższym stopniu łączności k + 1 wynikiem jest zasadniczo uogólnienie Bersa twierdzenia o retrosekcji . Istnieje gładki dyfeomorfizm F obszaru Ω ₁ , dany przez dysk jednostkowy z usuniętymi k dyskami otwartymi, na domknięciu Ω. Można założyć, że 0 leży we wnętrzu dziedziny. Ponownie, po modyfikacji dyfeomorfizmu i zmianie konforemnej w pobliżu granicy, można założyć, że metryka jest zgodna z odbiciem. Niech G będzie grupą generowaną przez odbicia w okręgach granicznych Ω ₁ . Wnętrze Ω ₁ jest dziedziną podstawową dla G . Ponadto indeks dwóch normalnych podgrup G składający się z odwzorowań zachowujących orientację jest klasyczną grupą Schottky'ego . Jego domena podstawowa składa się z pierwotnej domeny podstawowej z dodanym jej odbiciem w okręgu jednostkowym. Jeśli odbiciem jest R , jest to grupa swobodna z generatorami R _i ∘ R , gdzie R _i są odbiciami w okręgach wewnętrznych w domenie pierwotnej. Obrazy pierwotnej domeny przez G lub równoważnie domeny odbitej przez grupę Schottky'ego wypełniają regularny zestaw dla grupy Schottky'ego. Działa tam właściwie nieciągle. Uzupełnieniem jest zbiór graniczny G . Ma miarę zero. Metryka indukowana na Ω ₁ rozciąga się przez odbicie na zbiór regularny. Odpowiedni współczynnik Beltramiego jest niezmienny dla grupy odbicia generowanej przez odbicia R _i dla i ≥ 0. Ponieważ zbiór graniczny ma miarę zero, współczynnik Beltramiego rozciąga się jednoznacznie na ograniczoną mierzalną funkcję na C . gładki na zwykłym zestawie. Znormalizowane rozwiązanie równania h Beltramiego jest gładkim dyfeomorfizmem domknięcia Ω ₁ na siebie z zachowaniem okręgu jednostkowego, jego zewnętrza i wnętrza. Koniecznie h ∘ R _ja = S _ja ∘ godz . gdzie S _i jest odbiciem w innym okręgu na dysku jednostkowym. Patrząc na punkty stałe, okręgi powstające w ten sposób dla różnych i muszą być rozłączne. Wynika z tego, że F ∘ h ⁻¹ definiuje gładki dyfeomorfizm dysku jednostkowego z wnętrzem tych okręgów usuniętym na domknięcie Ω, które jest holomorficzne we wnętrzu.

Jednoczesna uniformizacja

Zobacz także: Twierdzenie o równoczesnej uniformizacji

Bers (1961) wykazał, że dwie zwarte 2-rozmaitości Riemanna M ₁ , M ₂ rodzaju g > 1 mogą być jednocześnie uniformizowane.

Ponieważ przestrzenie topologiczne M ₁ i M ₂ są homeomorficzne ze stałym ilorazem górnej połowy płaszczyzny H przez dyskretną kozwartą podgrupę Γ PSL(2, R ). Γ można utożsamiać z podstawową grupą rozmaitości, a H jest uniwersalną przestrzenią pokrywającą . Homeomorfizmy można wybrać tak, aby były odcinkowo liniowe na odpowiednich triangulacjach. Wynik Munkresa (1960) sugeruje, że homeomorfizmy można dostosować w pobliżu krawędzi i wierzchołków triangulacji, aby uzyskać dyfeomorfizmy. Metryka na M ₁ indukuje metrykę na H , która jest Γ-niezmienna. Niech μ będzie odpowiednim współczynnikiem Beltramiego na H . Można go rozszerzyć do C przez odbicie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ widehat {\ mu}} (z) = \ mu (z) \, \, (z \ in \ mathbf {H}), \, \, {\ widehat {\ mu}} ( z)=0\,\,(z\in \mathbf {R} ),\,\,{\widehat {\mu}}(z)={\overline {\mu ({\overline {z}}) }}\,\,({\overline {z}}\in \mathbf {H}).}$

Spełnia właściwość niezmienniczości

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ widehat {\ mu}} (g (z)) = {{\ overline {g_ {z}} } \ponad g_{z}}\,{\widehat {\mu}}(z),}$

dla g w Γ. Rozwiązanie f odpowiedniego równania Beltramiego definiuje homeomorfizm C , zachowując rzeczywistą oś oraz górną i dolną półpłaszczyznę. Koniugacja elementów grupowych przez f ⁻¹ daje nową podgrupę kozwartą Γ ₁ PSL(2, R ). Komponując oryginalny dyfeomorfizm z odwrotnością f , otrzymujemy zero jako współczynnik Beltramiego. Zatem metryka indukowana na H jest niezmienna pod Γ ₁ i zgodna z metryką Poincarégo na H . Dlatego musi być dana przez pomnożenie przez dodatnią funkcję gładką, która jest Γ ₁ -niezmiennikiem. Każda taka funkcja odpowiada gładkiej funkcji na M ₁ . Dzielenie metryki na M ₁ przez tę funkcję daje konforemnie równoważną metrykę na M ₁ , która jest zgodna z metryką Poincarégo na H / Γ ₁ . W ten sposób M ₁ staje się zwartą powierzchnią Riemanna , tj. jest ujednolicona i dziedziczy naturalną złożoną strukturę.

Dzięki tej konforemnej zmianie metryki M ₁ można utożsamiać z H / Γ ₁ . Dyfeomorfizm między na M ₂ indukuje inną metrykę na H , która jest niezmienna pod Γ ₁ . Definiuje współczynnik Beltramiego λ omn H , który tym razem jest rozszerzany do C przez zdefiniowanie λ jako 0 z H . Rozwiązanie h równania Beltramiego jest homeomorfizmem C , który jest holomorficzny na dolnej połowie płaszczyzny i gładki na górnej połowie płaszczyzny. Obrazem osi rzeczywistej jest krzywa Jordana dzieląca C na dwie składowe. Koniugacja Γ ₁ przez h ⁻¹ daje quasi-fuchsowską podgrupę Γ ₂ PSL(2, C ). Pozostawia niezmienną krzywą Jordana i działa odpowiednio nieciągle na każdy z dwóch składników. _Iloraz dwóch składowych przez Γ2 _{jest naturalnie utożsamiany} z M1 i M2 . Ta identyfikacja jest zgodna z naturalnymi złożonymi strukturami zarówno na M _1, jak i na M ₂ .

Spawanie konformalne

Zobacz także: Spawanie konformalne i rozszerzenie Douady – Earle

, że zachowujący orientację homeomorfizm f koła jest quasi-symetryczny , jeśli istnieją stałe dodatnie aib takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{{| f (z_ {1}) -f (z_ {2}) | \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\równoważnik a\cdot {|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_ {3}|^{b}}}.}}$

Jeśli

$\ Displaystyle \ Displaystyle {| z_ {1} -z_ {2} | = | z_ {1} -z_ {3} |,}}$

wtedy staje się warunek

${\ Displaystyle \ Displaystyle {a ^ {- 1} \ równoważnik {| f (z_ {1}) -f (z_ {2}) | \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\równik a.}}$

I odwrotnie, jeśli ten warunek jest spełniony dla wszystkich takich trójek punktów, to f jest quasi-symetryczne.

Pozornie słabszym warunkiem homeomorfizmu f koła jest to, że jest to quasi-Möbius , czyli istnieją stałe c , d > 0 takie, że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {| (f (z_ {1}), f (z_ {2}); f (z_ {3}), f (z_ {4})} | \ równoważnik c | (z_ { 1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(z_ {1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2} -z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}$

oznacza stosunek krzyżowy . W rzeczywistości, jeśli f jest quasi-symetryczne, to jest również quasi-Möbiusem, gdzie c = a ² i d = b : następuje to przez pomnożenie pierwszej powyższej nierówności dla ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) i ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ).

I odwrotnie, jeśli f jest homeomorfizmem quasi-Möbiusa, to jest również quasi-symetryczny. Rzeczywiście, jest natychmiastowe, że jeśli f jest quasi-Möbiusem, to jest też jego odwrotnością. Wynika z tego, że f (a więc f ⁻¹ ) jest ciągłe Höldera . Aby to zobaczyć, niech S będzie zbiorem pierwiastków sześciennych jedności, tak że jeśli a ≠ b w S , to | a - b | = 2 grzech π /3 = √ 3 . Aby udowodnić oszacowanie Höldera, można założyć, że x – y jest jednostajnie małe. Wtedy zarówno x , jak i y są większe niż ustalona odległość od a , b w S z a ≠ b , więc oszacowanie następuje przez zastosowanie nierówności quasi-Möbiusa do x , a , y , b . Aby sprawdzić, że f jest quasi-symetryczna, wystarczy znaleźć jednolitą górną granicę dla | fa ( x ) - fa ( y )| / | fa ( x ) - fa ( z )| w przypadku trójki z | x - z | = | x - y |, jednolicie małe. W tym przypadku punkt w znajduje się w odległości większej niż 1 od x , yiz . Zastosowanie nierówności quasi-Möbiusa do x , w , yiz daje wymaganą górną granicę .

Homeomorfizm f koła jednostkowego można rozszerzyć na homeomorfizm F zamkniętego dysku jednostkowego, który jest dyfeomorfizmem w jego wnętrzu. Douady i Earle (1986) , uogólniając wcześniejsze wyniki Ahlforsa i Beurlinga, stworzyli takie rozszerzenie z dodatkowymi własnościami, że komutuje ono z działaniem SU(1,1) przez transformacje Möbiusa i jest quasikonformalne, jeśli f jest quasi-symetryczne. (Mniej elementarna metoda została również znaleziona niezależnie przez Tukię (1985) : Podejście Tukii ma tę zaletę, że można ją zastosować również w wyższych wymiarach.) Gdy f jest dyfeomorfizmem koła, rozszerzenie Aleksandra zapewnia inny sposób rozszerzenia f :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (r, \ teta) = r \ exp [i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

gdzie ψ jest gładką funkcją o wartościach w [0,1], równych 0 blisko 0 i 1 blisko 1, oraz

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (e ^ {i \ teta}) = e ^ {ig (\ teta)},}}$

gdzie sol ( θ + 2 π ) = sol ( θ ) + 2 π . Partyka, Sakan i Zając (1999) przedstawiają przegląd różnych metod rozszerzania, w tym wariantów rozszerzenia Ahlforsa-Beurlinga, które są gładkie lub analityczne w otwartym dysku jednostkowym.

W przypadku dyfeomorfizmu rozszerzenie Aleksandra F można kontynuować na dowolnym większym dysku | z | < R z R > 1. Odpowiednio w jednostce dysku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|\ mu \| _ {\ infty <1, \, \, \, \ mu (z) = F _ {\ overline {z}} / F_ ​​{z}.}}$

Dotyczy to również innych rozszerzeń, gdy f jest tylko quasi-symetryczne.

Teraz rozszerz μ do współczynnika Beltramiego na całe C , ustawiając go na 0 dla | z | ≥ 1. Niech G będzie odpowiednim rozwiązaniem równania Beltramiego. Niech fa ₁ ( z ) = sol ∘ fa ^-1 ( z ) dla | z | ≤ 1 i fa ₂ ( z ) = sol ( z ) dla | z | ≥ 1. Zatem F ₁ i F ₂ są jednowartościowymi holomorficznymi mapami | z | < 1 i | z | > 1 po wewnętrznej i zewnętrznej stronie krzywej Jordana. Rozciągają się one w sposób ciągły do ​​homeomorfizmów _fi okręgu jednostkowego na krzywą Jordana na granicy. Konstrukcyjnie spełniają konforemny warunek spawania :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f = f_ {1} ^ {-1} \ circ f_ {2}.}}$

Zobacz też

• Odwzorowanie quasikonformalne
• Mierzalne twierdzenie o odwzorowaniu Riemanna
• Współrzędne izotermiczne

Notatki

• Ahlfors, Lars V. (1955), Zgodność w odniesieniu do metryk riemannowskich , Ann. Acad. nauka Fenn. Ser. AI, tom. 206
• Ahlfors, Lars V. (1966), Wykłady o odwzorowaniach quasikonformalnych , Van Nostrand
•   Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe i odwzorowania quasi-konformalne na płaszczyźnie , Princeton Mathematical Series, tom. 48, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13777-3
•   Beltrami, Eugenio (1867), „Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (Esej o interpretacji geometrii nieeuklidesowej)” (PDF) , Giornale di Mathematica (w języku włoskim), 6 , JFM 01.0275.02 angielskie w Stillwell (1996)
• Bers, Lipman (1958), powierzchnie Riemanna , Courant Institute
•   Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Równania różniczkowe cząstkowe, z dodatkami Larsa Gȧrdinga i AN Milgrama , Wykłady z matematyki stosowanej, tom. 3A, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-0049-3 , Rozdział VI.
• Bers, Lipman (1961), „Uniformizacja według równań Beltramiego”, Comm. czysta aplikacja Matematyka , 14 (3): 215–228, doi : 10,1002/cpa.3160140304
• Douady, Adrien; Earle, Clifford J. (1986), „Konformalnie naturalne rozszerzenie homeomorfizmów koła”, Acta Math. , 157 : 23–48, doi : 10.1007/bf02392590
• Douady, Adrien ; Buff, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des structure presque complexes. [Twierdzenie o całkowalności dla prawie złożonych struktur] , London Math. soc. Notatka z wykładu Ser., tom. 274, Uniwersytet Cambridge Prasa, s. 307–324
• Glutsyuk, Alexey A. (2008), „Proste dowody twierdzeń o uniformizacji”, Fields Inst. Komuna. , 53 : 125–143
•    Hubbard, John Hamal (2006), teoria Teichmüllera i zastosowania w geometrii, topologii i dynamice. Tom. 1 , Matrix Editions, Ithaca, NY, ISBN 978-0-9715766-2-9 , MR 2245223
•   Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), Wprowadzenie do przestrzeni Teichmüllera , Springer-Verlag, ISBN 0-387-70088-9
•    Iwaniec Tadeusz; Martin, Gaven (2008), Równanie Beltramiego , Memoirs of the American Mathematical Society, tom. 191, doi : 10.1090/memo/0893 , ISBN 978-0-8218-4045-0 , MR 2377904
•   Kreyszig, Erwin (1991), Geometria różniczkowa , Dover, ISBN 0-486-66721-9
• Lehto, Olli; Virtanen, KI (1973), Odwzorowania kwazikonformalne w płaszczyźnie , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 126 (wyd. 2), Springer-Verlag
•   Lehto, Olli (1987), Funkcje jednowartościowe i przestrzenie Teichmüllera , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 109, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96310-3
•    Morrey, Charles B. (1936), „O rozwiązaniach quasi-liniowych eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych”. , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 42 (5): 316, doi : 10.1090 / S0002-9904-1936-06297- X , ISSN 0002-9904 , JFM 62.0565.02
•    Morrey, Charles B. Jr. (1938), „O rozwiązaniach quasi-liniowych eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JSTOR 1989904 , Zbl 0018.40501
•   Munkres, James (1960), „Przeszkody w wygładzaniu fragmentarycznie różniczkowalnych homeomorfizmów” , Ann. z matematyki. , 72 (3): 521–554, doi : 10.2307/1970228 , JSTOR 1970228
•   Papadopoulos, Athanase, wyd. (2007), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. I, IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, 11, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, doi : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6 , MR 2284826
•   Papadopoulos, Athanase, wyd. (2009), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. II, IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, 13, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, doi : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , MR 2524085
•   Papadopoulos, Athanase, wyd. (2012), Podręcznik teorii Teichmüllera. Tom. III, IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, 19, Europejskie Towarzystwo Matematyczne (EMS), Zurych, doi : 10.4171/103 , ISBN 978-3-03719-103-3
• Partyka, Dariusz; Sakan, Ken-Ichi; Zając, Józef (1999), "Operatory rozszerzeń harmonicznych i quasikonformalnych", Banach Center Publ. , 48 : 141–177, doi : 10.4064/-48-1-141-177
• Sibner, Robert J. (1965), „Uniformizacja symetrycznych powierzchni Riemanna przez grupy Schottky'ego”, Trans. Amer. Matematyka soc. , 116 : 79–85, doi : 10.1090/s0002-9947-1965-0188431-2
•   Spivak, Michael (1999), Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej. Tom. IV (wyd. 3), Publish or Perish, ISBN 0-914098-70-5
•    Stillwell, John (1996), Źródła geometrii hiperbolicznej , Historia matematyki, tom. 10, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-0529-9 , MR 1402697
• Tukia, P.; Väisälä, J. (1980), „Quasisymetryczne osadzenie przestrzeni metrycznych”, Ann. Acad. nauka Fenn. Ser. Matematyka SI. , 5 : 97–114, doi : 10.5186/aasfm.1980.0531
• Tukia, Pekka (1985), „Quasikonformalne rozszerzenie odwzorowań quasi-symetrycznych zgodne z grupą Möbiusa”, Acta Math. , 154 (3–4): 153–193, doi : 10.1007/bf02392471
•   Väisälä, Jussi (1984), „Mapy quasi-Möbiusa”, Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi : 10.1007/bf02790198 , S2CID 189767039
• Vekua, IN (1962), Uogólnione funkcje analityczne , Pergamon Press