Mapowanie quasikonformalne

W matematycznej analizie złożonej odwzorowanie quasikonformalne , wprowadzone przez Grötzscha (1928) i nazwane przez Ahlforsa (1935) , jest homeomorfizmem między domenami płaskimi , które w pierwszym rzędzie sprowadzają małe okręgi do małych elips o ograniczonym mimośrodzie .

Intuicyjnie niech f : D → D ′ będzie orientacją -zachowującą homeomorfizm pomiędzy zbiorami otwartymi na płaszczyźnie. Jeśli f jest różniczkowalna w sposób ciągły , to jest K -quasikonforemny, jeśli pochodna f w każdym punkcie odwzorowuje okręgi na elipsy z mimośrodem ograniczonym przez K.

Definicja

Załóżmy, że f : D → D ′ gdzie D i D ′ są dwiema dziedzinami w C . Istnieje wiele równoważnych definicji, w zależności od wymaganej gładkości f . Jeśli zakłada się, że f ma ciągłe pochodne cząstkowe , to f jest quasikonformalne, pod warunkiem, że spełnia równanie Beltramiego

 

 

 

 

()

dla jakiegoś zespolonego mierzalnego Lebesgue’a μ spełniającego sup |μ| < 1 ( Bers 1977 ). Równanie to dopuszcza interpretację geometryczną. Wyposaż D w tensor metryczny

gdzie Ω( z ) > 0. Wtedy f spełnia ( 1 ) dokładnie wtedy, gdy jest transformacją konforemną z D wyposażonego w tę metrykę do dziedziny D ′ wyposażonej w standardową metrykę euklidesową. Funkcję f nazywamy wówczas μ-konformalną . Mówiąc bardziej ogólnie, ciągłą różniczkowalność f można zastąpić słabszym warunkiem, że f znajduje się w przestrzeni Sobolewa W 1,2 ( D ) funkcji, których pierwszego rzędu pochodne dystrybucyjne znajdują się w L 2 ( D ) . W tym przypadku f musi być słabym rozwiązaniem ( 1 ). Gdy μ prawie wszędzie wynosi zero, każdy homeomorfizm w W 1,2 ( D ), który jest słabym rozwiązaniem ( 1 ), jest konforemny.

Bez odwoływania się do metryki pomocniczej, rozważ wpływ cofnięcia się pod f zwykłej metryki euklidesowej. Wynikowa metryka jest następnie podawana przez

który w stosunku do tła metryka euklidesowa ma {

Wartości własne reprezentują odpowiednio kwadrat długości głównej i małej osi elipsy otrzymanej przez odciągnięcie wzdłuż koła jednostkowego w płaszczyźnie stycznej.

z tym dylatacja f w punkcie z jest określona przez

(Podstawowe) supremum K ( z ) jest dane przez

i nazywa się dylatacją f .

Definicja oparta na pojęciu długości ekstremalnej jest następująca. Jeśli istnieje skończone K takie, że dla każdego zbioru Γ krzywych w D długość ekstremalna Γ jest co najwyżej K razy większa od długości ekstremalnej { fo γ: γ ∈ Γ }. Wtedy f jest K -quasikonformalne.

Jeśli f jest K -quasikonformalne dla pewnego skończonego K , to f jest quasikonformalne.

Kilka faktów na temat odwzorowań quasikonformalnych

Jeśli K > 1, to obie mapy x + iy ↦ Kx + iy i x + iy ↦ x + iKy są quasikonformalne i mają stałą dylatację K .

Jeżeli s > −1 to mapa quasikonformalny (tutaj z liczbą zespoloną) i ma stałą dylatację. . Gdy s ≠ 0, jest to przykład homeomorfizmu quasikonformalnego, który nie jest gładki. Jeśli s = 0, jest to po prostu mapa tożsamości.

Homeomorfizm jest 1-quasikonformalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest konforemny. Stąd mapa tożsamości jest zawsze 1-quasikonformalna. Jeśli f : D → D ′ jest K -quasikonformalny i g : D ′ → D ′′ jest K ′-quasikonformalny, to g o f jest KK ′-quasikonformalny. Odwrotnością k- quasikonformalnego homeomorfizmu jest K -quasikonforemny. Zbiór 1-quasikonformalnych map tworzy grupę podlegającą kompozycji.

Przestrzeń K-quasikonformalnych odwzorowań z płaszczyzny zespolonej na samą siebie, odwzorowujących trzy różne punkty na trzy dane punkty, jest zwarta.

Mierzalne twierdzenie mapujące Riemanna

Centralne znaczenie w teorii odwzorowań quasikonformalnych w dwóch wymiarach ma mierzalne twierdzenie o odwzorowaniu Riemanna , udowodnione przez Larsa Ahlforsa i Lipmana Bersa. Twierdzenie to uogólnia twierdzenie Riemanna o mapowaniu z homeomorfizmu konforemnego do homeomorfizmu quasikonformalnego i jest sformułowane w następujący sposób. Załóżmy, że D jest dziedziną po prostu spójną w C , która nie jest równa C i załóżmy, że μ : D → C jest mierzalne w Lebesgue'u i spełnia . Następnie zachodzi quasikonformalny homeomorfizm f od D do dysku jednostkowego, który znajduje się w przestrzeni Sobolewa W 1,2 ( D ) i spełnia odpowiednie równanie Beltramiego ( 1 ) w sensie dystrybucyjnym . Podobnie jak w przypadku twierdzenia o mapowaniu Riemanna, to f jest unikalne aż do 3 rzeczywistych parametrów.

Obliczeniowa geometria quasi-konforemna

Ostatnio geometria quasi-konformalna przyciągnęła uwagę różnych dziedzin, takich jak matematyka stosowana, wizja komputerowa i obrazowanie medyczne. Opracowano obliczeniową geometrię quasi-konformalną, która rozszerza teorię quasi-konformalną na układ dyskretny. Znalazł różne ważne zastosowania w analizie obrazów medycznych, wizji komputerowej i grafice.

Zobacz też

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Quasiconformal_mapping&oldid=1136383550 ”