Współrzędne izotermiczne

W matematyce , szczególnie w geometrii różniczkowej , współrzędne izotermiczne na rozmaitości riemannowskiej są współrzędnymi lokalnymi, w których metryka jest zgodna z metryką euklidesową . Oznacza to, że we współrzędnych izotermicznych metryka Riemanna lokalnie ma postać

${\ Displaystyle g = \ varphi (dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {n} ^ {2}),}$

gdzie jest $gładką$ funkcją . (Jeśli rozmaitość Riemanna jest zorientowana, niektórzy autorzy twierdzą, że układ współrzędnych musi zgadzać się z tą orientacją, aby był izotermiczny).

Współrzędne izotermiczne na powierzchniach zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Gaussa . Korn i Lichtenstein udowodnili, że współrzędne izotermiczne istnieją wokół dowolnego punktu dwuwymiarowej rozmaitości Riemanna.

Dla kontrastu, większość wielowymiarowych rozmaitości nigdzie nie przyjmuje współrzędnych izotermicznych; to znaczy, że zwykle nie są lokalnie konforemnie płaskie . W wymiarze 3 metryka Riemanna jest lokalnie konforemnie płaska wtedy i tylko wtedy, gdy znika jej tensor Cottona . W wymiarach > 3 metryka jest lokalnie konforemnie płaska wtedy i tylko wtedy, gdy jej tensor Weyla znika.

Współrzędne izotermiczne na powierzchniach

W 1822 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił istnienie współrzędnych izotermicznych na dowolnej powierzchni za pomocą realnie analitycznej metryki Riemanna, podążając za wcześniejszymi wynikami Josepha Lagrange'a w szczególnym przypadku powierzchni obrotowych . Konstrukcja zastosowana przez Gaussa wykorzystywała twierdzenie Cauchy'ego-Kowalewskiego , tak że jego metoda jest zasadniczo ograniczona do kontekstu realno-analitycznego. Śladami innowacji w teorii dwuwymiarowych równań różniczkowych cząstkowych autorstwa Arthura Korna , Leona Lichtensteina odkrył w 1916 r. ogólne istnienie współrzędnych izotermicznych dla metryk Riemanna o niższej regularności, w tym metryk gładkich, a nawet metryk ciągłych Höldera .

Biorąc pod uwagę metrykę Riemanna na rozmaitości dwuwymiarowej, funkcja przejścia między izotermicznymi wykresami współrzędnych, która jest mapą między otwartymi podzbiorami R ² , z konieczności zachowuje kąt. Właściwość zachowania kąta wraz z zachowaniem orientacji to jedna charakterystyka (spośród wielu) funkcji holomorficznych , dlatego zorientowany atlas współrzędnych składający się z izotermicznych wykresów współrzędnych może być postrzegany jako holomorficzny atlas współrzędnych. Pokazuje to, że metryka Riemanna i orientacja na rozmaitości dwuwymiarowej łączą się, aby wywołać strukturę Powierzchnia Riemanna (tj. jednowymiarowa rozmaitość zespolona ). Ponadto, biorąc pod uwagę zorientowaną powierzchnię, dwie metryki Riemanna indukują ten sam atlas holomorficzny wtedy i tylko wtedy, gdy są do siebie zgodne. Z tego powodu badanie powierzchni Riemanna jest identyczne z badaniem klas konforemnych metryk Riemanna na powierzchniach zorientowanych.

W latach pięćdziesiątych XX wieku wykłady idei Korna i Lichtensteina zostały przełożone na język złożonych pochodnych i równania Beltramiego , między innymi przez Lipmana Bersa i Shiing-shen Chern . W tym kontekście naturalne jest zbadanie istnienia uogólnionych rozwiązań, które spełniają odpowiednie równania różniczkowe cząstkowe, ale nie można ich już interpretować jako wykresów współrzędnych w zwykły sposób. Zostało to zainicjowane przez Charlesa Morreya w jego przełomowym artykule z 1938 roku na temat teorii eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych na domenach dwuwymiarowych, prowadząc później do mierzalnego twierdzenia o odwzorowaniu Riemanna Larsa Ahlforsa i Bersa.

Równanie Beltramiego

Istnienie współrzędnych izotermicznych można udowodnić, stosując znane twierdzenia o istnieniu dla równania Beltramiego , które opierają się na estymatorach Lp ^dla osobliwych operatorów całkowych Calderóna i Zygmunda . Prostsze podejście do równania Beltramiego zostało ostatnio podane przez Adriena Douady'ego .

Jeśli metryka Riemanna jest podana lokalnie jako

${\ Displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy^{2},}$

wtedy we współrzędnej zespolonej przyjmuje postać ${\ Displaystyle z = x + iy}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = \ lambda |\, dz + \ mu \, d {\ overline {z}} | ^ {2},}$

gdzie $}$$są$$lambda$ i gładkie z i ${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ mu \ prawo \ vert <1}$ . W rzeczywistości

${\ Displaystyle \ lambda = {1 \ ponad 4} (E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}), \, \, \, {\ Displaystyle \ mu = {(E-G +2iF) \ponad 4\lambda }}.}$

We współrzędnych izotermicznych metryka powinna mieć postać ${\ Displaystyle (u, v)}$

${\ Displaystyle ds ^ {2} = e ^ {\ rho} (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

z ρ gładkim. Współrzędna złożona spełnia . ${\ displaystyle w = u + iv}$

${\ Displaystyle e ^ {\ rho} \, | dw | ^ {2} = e ^ {\ rho} | w_ {z} | ^ {2} | \, dz + {w_ {\ overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}|^{2},}$

tak, że współrzędne ( u , v ) będą izotermiczne, jeśli równanie Beltramiego

${\ Displaystyle {\ częściowe w \ ponad \ częściowe {\ overline {z}}} = \ mu {\ częściowe w \ ponad \ częściowe z}}$

ma rozwiązanie dyfeomorficzne. Udowodniono, że takie rozwiązanie istnieje w każdym sąsiedztwie, w którym ${\ displaystyle \ lVert \ mu \ rVert _ {\ infty }<1}$ .

Istnienie poprzez lokalną rozwiązywalność dla eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych

Istnienie współrzędnych izotermicznych na gładkiej dwuwymiarowej rozmaitości riemannowskiej jest następstwem standardowego wyniku lokalnej rozwiązywalności w analizie eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych . W obecnym kontekście odpowiednie równanie eliptyczne jest warunkiem, aby funkcja była harmoniczna względem metryki Riemanna. Lokalna rozwiązywalność stwierdza zatem, że dowolny punkt p ma sąsiedztwo U , w którym istnieje funkcja harmoniczna u z nigdzie znikającą pochodną.

Współrzędne izotermiczne są konstruowane z takiej funkcji w następujący sposób. Harmoniczność u jest $identyczna$$z$ zamknięciem formy różniczkowej 1 pomocą gwiazdy Hodge'a riemannowską. Lemat Poincarégo implikuje zatem istnienie funkcji v na U z ${\ Displaystyle dv = \ star du.}$ Z definicji gwiazdy Hodge'a $i$ są do siebie ortogonalne, a zatem liniowo niezależne, a zatem wynika to z $displaystyle du}$ odwrotnej u twierdzenie , że u i v tworzą układ współrzędnych w pewnym sąsiedztwie p . $jest$ automatycznie izotermiczny, ponieważ i ${\ displaystyle dv}$ implikuje przekątność metryki, a właściwość gwiazdy Hodge'a zachowująca normę implikuje równość dwóch przekątnych.

Krzywizna Gaussa

We współrzędnych izotermicznych krzywizna Gaussa przyjmuje prostszą postać ${\ Displaystyle (u, v)}$

${\ Displaystyle K = - {\ Frac {1} {2}} e ^ {- \ rho} \ lewo ({\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ rho} {\ częściowe u ^ {2}}} + {\frac {\częściowy ^{2}\rho }{\częściowy v^{2}}}\right).}$

Zobacz też

• Mapa konformalna
• Równanie Liouville'a
• Mapa quasikonformalna

Notatki

• Ahlfors, Lars V. (1952), „Zgodność w odniesieniu do metryk riemannowskich”, Ann. Acad. nauka Fenn. Ser. A. I , 206 : 1–22
•    Ahlfors, Lars V. (2006). Wykłady z odwzorowań quasikonformalnych . Seria wykładów uniwersyteckich. Tom. 38. Z dodatkowymi rozdziałami autorstwa CJ Earle'a , I. Kra , M. Shishikury i JH Hubbarda (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1966 r.). Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/ulec/038 . ISBN 0-8218-3644-7 . MR 2241787 .
• Bers, Lipman (1958). powierzchnie Riemanna . Notatki sporządzone przez Rodlitza, Esther i Pollacka, Richarda . Courant Instytut Nauk Matematycznych na Uniwersytecie Nowojorskim . s. 15–35.
•   Bers, Lipman ; Jan, Fritz ; Schechter, Martin (1979). Równania różniczkowe cząstkowe . Wykłady z matematyki stosowanej. Tom. 3A. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0049-3 .
•   Chern, Shiing-shen (1955). „Elementarny dowód istnienia parametrów izotermicznych na powierzchni” . Proceedings of the American Mathematical Society . 6 (5): 771–782. doi : 10.2307/2032933 . JSTOR 2032933 .
•    DeTurck, Dennis M .; Kazdan, Jerry L. (1981). „Niektóre twierdzenia o regularności w geometrii Riemanna” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Seria 4. 14 (3): 249–260. doi : 10.24033/asens.1405 . ISSN 0012-9593 . MR 0644518 . .
•     do Carmo, Manfredo P. (2016). Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni (poprawione i zaktualizowane drugie wydanie oryginalnego wydania z 1976 r.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . MR 3837152 . Zbl 1352.53002 .
• Douady, Adrien ; Buff, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des structure presque complexes. [Twierdzenie o całkowalności dla prawie złożonych struktur] , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 274, Cambridge University Press, s. 307–324

• Gaussa CF (1825). „Allgemeine Auflösung der Aufgabe die Theile einer gegebenen Flache auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird” [Ogólne rozwiązanie problemu odwzorowania części danej powierzchni na innej danej powierzchni w taki sposób, aby mapowanie przypominało to, co jest przedstawione w najmniejszych częściach]. W Schumacher, HC (red.). Astronomische Abhandlungen, Drittes Heft . Altona: Hammerich und Heineking. s. 1–30. Przedruk w:
  •   Gauss Carl Friedrich (2011) [1873]. Werke: Tom 4 . Kolekcja Biblioteki Cambridge (w języku niemieckim). Nowy Jork: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9781139058254.005 . ISBN 978-1-108-03226-1 .
  Przetłumaczone na język angielski w:
  •   Gaussa (1929). „O reprezentacji konforemnej” . W Smith, David Eugene (red.). Książka źródłowa z matematyki . Książki źródłowe w historii nauk. Przetłumaczone przez Evansa, Herberta P. New York: McGraw-Hill Book Co. , s. 463–475. JFM 55.0583.01 .

•     Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992). Wprowadzenie do przestrzeni Teichmüllera . Tokio: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-4-431-68174-8 . ISBN 0-387-70088-9 . MR 1215481 . Zbl 0754.30001 .
•   Korn, A. (1914). „Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen”. W Carathéodory, C .; Hessenberg, G .; Landau, E .; Lichtenstein, L. (red.). Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz . Berlin, Heidelberg: Springer . s. 215–229. doi : 10.1007/978-3-642-50735-9_16 . ISBN 978-3-642-50426-6 .
• Lagrange, J. (1779). „Sur la construction des cartes géographiques” . Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Berlin : 161–210. Przedruk w:
  • Serret, J.-A. , wyd. (1867). Œuvres de Lagrange: tom 4 (po francusku). Paryż: Gauthier-Villars.
•   Lichtenstein, Leon (1916). "Zur Theorie der konformen Abbildung. Konforme Abbildung nichtanalytischer, singularitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete" . Bulletin International de l'Académie des Sciences de Cracovie: Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. Seria A: Sciences Mathématiques : 192–217. JFM 46.0547.01 .
•   Morrey, Charles B. (1938). „O rozwiązaniach quasi-liniowych eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 43 (1): 126–166. doi : 10.2307/1989904 . JSTOR 1989904 .
•     Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej. Tom czwarty (trzecie wydanie oryginalnego wydania z 1975 r.). Publikuj lub zgiń, Inc. ISBN 0-914098-73-X . MR 0532833 . Zbl 1213.53001 .
•     Taylor, Michael E. (2000). Narzędzia dla PDE. Operatory pseudoróżnicowe, operatory pararóżnicowe i potencjały warstw . Ankiety matematyczne i monografie . Tom. 81. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/surv/081 . ISBN 0-8218-2633-6 . MR 1766415 . Zbl 0963.35211 .
•     Taylor, Michael E. (2011). Równania różniczkowe cząstkowe I. Teoria podstawowa . Stosowane nauki matematyczne. Tom. 115 (drugie wydanie oryginalnego wydania z 1996 r.). Nowy Jork: Springer . doi : 10.1007/978-1-4419-7055-8 . ISBN 978-1-4419-7054-1 . MR 2744150 . Zbl 1206.35002 .

Linki zewnętrzne

• „Współrzędne izotermiczne” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]