Powierzchnia rewolucji

Część krzywej

x = 2 + cos(z)

obraca się wokół osi

z

Torus jako kwadrat obraca się wokół osi wzdłuż przekątnej kwadratu.

Powierzchnia obrotu to powierzchnia w przestrzeni euklidesowej utworzona przez obrót krzywej ( generatrix ) wokół osi obrotu .

Przykładami powierzchni obrotowych generowanych przez linię prostą są powierzchnie cylindryczne i stożkowe w zależności od tego, czy linia jest równoległa do osi, czy nie. Okrąg, który obraca się wokół dowolnej średnicy, tworzy kulę, której jest wtedy kołem wielkim , a jeśli okrąg jest obracany wokół osi, która nie przecina wnętrza koła, to generuje torus , który nie przecina się sam ( torus pierścieniowy ) .

Nieruchomości

Przekroje powierzchni obrotu wykonane przez płaszczyzny przechodzące przez oś nazywamy przekrojami południkowymi . Dowolny przekrój południkowy można uznać za tworzącą w płaszczyźnie wyznaczonej przez niego i przez oś.

Odcinki powierzchni obrotu utworzone przez płaszczyzny prostopadłe do osi są okręgami.

Niektóre szczególne przypadki hiperboloid (z jednego lub dwóch arkuszy) i eliptycznych paraboloid są powierzchniami obrotowymi. Można je zidentyfikować jako powierzchnie kwadratowe, których wszystkie przekroje poprzeczne prostopadłe do osi są kołowe.

Formuła obszaru

Jeśli krzywa jest opisana funkcjami parametrycznymi $x (t)$ , $y (t)$ , przy czym $t$ rozciąga się w pewnym przedziale $[a, b]$ , a osią obrotu jest oś $y$ , to obszar $A y$ jest określony wzorem całka _

{\ Displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b }x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt, }

, że $x (t) nigdy$ $nie$ jest ujemne między punktami końcowymi $aib$ . Ta formuła jest odpowiednikiem rachunku różniczkowego twierdzenia Pappusa o środku ciężkości . Ilość

{\ Displaystyle {\ sqrt {\ lewo ({dx \ nad dt} \ prawej) ^ {2} + \ lewo ({dy \ nad dt} \ prawo )^{2}}}}

pochodzi z twierdzenia Pitagorasa i reprezentuje mały odcinek łuku krzywej, jak we wzorze na długość łuku . Wielkość $2π x (t)$ jest drogą (środka ciężkości) tego małego segmentu, zgodnie z twierdzeniem Pappusa.

Podobnie, gdy osią obrotu jest oś $x$ i pod warunkiem, że $y (t)$ nigdy nie jest ujemne, pole powierzchni jest określone wzorem

{\ Displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y (t) \, {\ sqrt {\ lewo ({dx \ nad dt} \ prawo) ^ {2} + \ lewo ({dy \ponad dt}\right)^{2}}}\,dt.}

Jeśli krzywa ciągła jest opisana przez funkcję $y = f (x)$ , $a \leq x \leq b$ , to całka staje się

{\ Displaystyle A_ {x} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} y {\ sqrt {1 + \ lewo ({\ Frac {dy} {dx}} \ prawo) ^ {2}}} \,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\, dx}

dla obrotu wokół osi $x$ i

{\ Displaystyle A_ {y} = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} x {\ sqrt {1 + \ lewo ({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}

dla obrotu wokół osi y (pod warunkiem, że $a \geq 0$ ). Wynikają one z powyższego wzoru.

Na przykład sferyczna powierzchnia o jednostkowym promieniu jest generowana przez krzywą $y (t) = sin(t)$ , $x (t) = cos (t)$ , gdy $t$ przekracza $[0, π]$ . Jego powierzchnia wynosi zatem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & {} = 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (t) {\ sqrt {{\ duży (} \ cos (t) {\ duży) }^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi} \sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{wyrównane}}}

Dla przypadku kulistej krzywej o promieniu r $y$ $(x) = \sqrt r 2 - x 2$ obrócony wokół osi $x$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & {} = 2 \ pi \ int _ {-r} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}} }\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2 }}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{ wyrównany}}}

Minimalna powierzchnia obrotu to powierzchnia obrotu krzywej między dwoma danymi punktami, która minimalizuje pole powierzchni . Podstawowym problemem w rachunku wariacyjnym jest znalezienie krzywej między dwoma punktami, która tworzy tę minimalną powierzchnię obrotu.

Istnieją tylko dwie minimalne powierzchnie obrotowe ( powierzchnie obrotowe , które są również powierzchniami minimalnymi): płaszczyzna i katenoid .

Wyrażenia współrzędnych

Powierzchnię obrotu określoną przez obrót krzywej opisanej przez ${\ Displaystyle y = f (x)}$ wokół osi x można najprościej opisać przez $y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}$ . Daje to parametryzację w kategoriach $i$ jako ( $theta}$ ${\ Displaystyle (x, f (x) \ cos (\ teta), f (x) \ grzech (\ teta)}}$ . Jeśli zamiast tego obrócimy krzywą wokół osi y, wówczas krzywa jest opisana przez ${\ Displaystyle y = f ({\ sqrt {x ^ {2} + z ^ {2} }})}$ , otrzymując wyrażenie ${\ Displaystyle (x \ cos (\ teta), f (x), x \ sin (\ teta)}}$ pod względem parametrów ${\ Displaystyle x }$ i ${\ displaystyle \ theta}$ .

Jeśli x i y są zdefiniowane za pomocą parametru $displaystyle$ to otrzymujemy parametryzację za pomocą $t}$ i ${\ displaystyle \ theta}$ . Jeśli i są funkcjami $,$ obrotu uzyskana przez obrót krzywej wokół osi x $przez$ $($ ${\ Displaystyle (x (t), y (t) \ cos (\ teta), y (t) \ sin (\ teta))}$ i powierzchnia obrotu uzyskana przez obrót krzywej wokół osi y jest opisana przez ${\ Displaystyle (x (t) \ cos (\ teta), y (t), x (t) \ sin (\ teta)}}$ .

Geodezja

Meridiany to zawsze geodezje na powierzchni rewolucji. Inne geodezje rządzą się relacją Clairauta .

Toroidy

Toroid wygenerowany z kwadratu

Powierzchnia obrotowa z otworem, w którym oś obrotu nie przecina powierzchni, nazywana jest toroidem. Na przykład, gdy prostokąt jest obracany wokół osi równoległej do jednej z jego krawędzi, powstaje wydrążony pierścień o przekroju kwadratowym. Jeśli obrócona figura jest kołem , wówczas obiekt nazywa się torusem .

Aplikacje

Wykorzystanie powierzchni obrotowych jest niezbędne w wielu dziedzinach fizyki i inżynierii. Kiedy niektóre obiekty są projektowane cyfrowo, takie obroty można wykorzystać do określenia pola powierzchni bez użycia pomiaru długości i promienia projektowanego obiektu.

Zobacz też

Powierzchnia kanału , uogólnienie powierzchni obrotowej
Róg Gabriela
Uogólniona helikoida
Cytryna (geometria) , powierzchnia obrotu łuku kołowego
Powierzchnia Liouville'a , kolejne uogólnienie powierzchni rewolucji
Solidna rewolucja
Sferoida
Całka powierzchniowa
Powierzchnia translacji (geometria różniczkowa)

^ Środkowa; Znaki; Mądry. „15-4. Powierzchnie rewolucji”. Geometria analityczna (wyd. 3). P. 378. LCCN 68015472 .
Bibliografia _ Tracey, JI (1925), Geometria analityczna (poprawiona red.), DC Heath and Co., s. 227
^ Thomas, George B. „6.7: Obszar powierzchni rewolucji; 6.11: Twierdzenia Pappusa” . Rachunek (wyd. 3). s. 206–209, 217–219. LCCN 69016407 .
^ Singh, RR (1993). Matematyka inżynierska (wyd. 6). Tata McGraw-Hill. P. 6,90. ISBN 0-07-014615-2 .
^ Swokowski, Earl W. (1983), Rachunek różniczkowy z geometrią analityczną (wyd. Alternatywne), Prindle, Weber & Schmidt, s. 617 , ISBN 0-87150-341-7
^ ^ab ^„ Weisstein, Eric W. Minimalna powierzchnia rewolucji” . MathWorld .
^ Weisstein, Eric W. „Catenoid” . MathWorld .
Bibliografia _ „Rozdział 9 - Geodezja”. Elementary Differential Geometry , wyd. 2, Springer, Londyn, 2012, s. 227–230.
^ Weisstein, Eric W. „Toroid” . MathWorld .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Powierzchnia rewolucji” . MathWorld .
„Powierzchnia rewolucji” . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (w języku francuskim).

[1] Środkowa; Znaki; Mądry. „15-4. Powierzchnie rewolucji”. Geometria analityczna (wyd. 3). P. 378. LCCN 68015472 .

[2] Bibliografia _ Tracey, JI (1925), Geometria analityczna (poprawiona red.), DC Heath and Co., s. 227

[3] Thomas, George B. „6.7: Obszar powierzchni rewolucji; 6.11: Twierdzenia Pappusa” . Rachunek (wyd. 3). s. 206–209, 217–219. LCCN 69016407 .

[4] Singh, RR (1993). Matematyka inżynierska (wyd. 6). Tata McGraw-Hill. P. 6,90. ISBN 0-07-014615-2 .

[5] Swokowski, Earl W. (1983), Rachunek różniczkowy z geometrią analityczną (wyd. Alternatywne), Prindle, Weber & Schmidt, s. 617 , ISBN 0-87150-341-7

[Mathworld:_Minimal_Surface_of_Revolution-6] „ Weisstein, Eric W. Minimalna powierzchnia rewolucji” . MathWorld .

[7] Weisstein, Eric W. „Catenoid” . MathWorld .

[8] Bibliografia _ „Rozdział 9 - Geodezja”. Elementary Differential Geometry , wyd. 2, Springer, Londyn, 2012, s. 227–230.

[9] Weisstein, Eric W. „Toroid” . MathWorld .