Minimalna powierzchnia obrotu

Rozciąganie błony mydlanej między dwiema równoległymi okrągłymi pętlami drucianymi generuje katenoidalną minimalną powierzchnię obrotową

W matematyce minimalna powierzchnia obrotu lub minimalna powierzchnia obrotu to powierzchnia obrotu określona z dwóch punktów na półpłaszczyźnie , której granicą jest oś obrotu powierzchni. Jest generowany przez krzywą leżącą w półpłaszczyźnie i łączącą dwa punkty; spośród wszystkich powierzchni, które można w ten sposób wygenerować, jest to ta, która minimalizuje pole powierzchni . Podstawowy problem rachunku wariacyjnego polega na znalezieniu krzywej między dwoma punktami, która tworzy tę minimalną powierzchnię obrotu.

Stosunek do minimalnych powierzchni

Minimalna powierzchnia obrotu jest podtypem minimalnej powierzchni . Powierzchnia minimalna jest definiowana nie jako powierzchnia o polu minimalnym, ale jako powierzchnia o średniej krzywiźnie równej 0. Ponieważ średnia krzywizna równa 0 jest warunkiem koniecznym powierzchni o polu minimalnym, wszystkie minimalne powierzchnie obrotowe są powierzchniami minimalnymi, ale nie wszystkie minimalne powierzchnie są minimalnymi powierzchniami obrotowymi. Ponieważ punkt tworzy okrąg , gdy obraca się wokół osi , znalezienie minimalnej powierzchni obrotu jest równoznaczne ze znalezieniem minimalnej powierzchni przechodzącej przez dwa kołowe szkielety . Fizyczną realizacją minimalnej powierzchni obrotowej jest film mydlany rozciągnięty między dwoma równoległymi okrągłymi drutami : film mydlany naturalnie przyjmuje kształt o najmniejszej powierzchni.

Roztwór katenoidalny

katenoid _

Jeśli półpłaszczyźnie zawierającej dwa punkty i oś obrotu przyporządkujemy współrzędne kartezjańskie , czyniąc oś obrotu osią x układu współrzędnych, to krzywą łączącą punkty można zinterpretować jako wykres funkcji . Jeśli współrzędne kartezjańskie dwóch podanych punktów to ${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ , ${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ , to pole powierzchni generowane przez nieujemną funkcję różniczkowalną można wyrazić matematycznie jako ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle 2 \ pi \ int _ {x_ {1}} ^ {x_ {2}} f (x) {\ sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx}$

a problem znalezienia minimalnej powierzchni obrotu staje się problemem znalezienia funkcji, która minimalizuje tę całkę, z zastrzeżeniem warunków brzegowych, które fa $\ Displaystyle f (x_ {1}) = y_ {1} }$ i ${\ Displaystyle f (x_ {2}) = y_ {2}}$ . W takim przypadku optymalna krzywa będzie koniecznie linią trakcyjną . Oś obrotu jest kierownicą sieci trakcyjnej, a zatem minimalną powierzchnią obrotu będzie katenoid .

Rozwiązanie Goldschmidta

Można również zdefiniować rozwiązania oparte na funkcjach nieciągłych. W szczególności dla niektórych rozmieszczeń dwóch punktów optymalne rozwiązanie jest generowane przez funkcję nieciągłą, która jest różna od zera w dwóch punktach i zero we wszystkich innych miejscach. Ta funkcja prowadzi do powierzchni obrotowej składającej się z dwóch okrągłych dysków, po jednym dla każdego punktu, połączonych zdegenerowanym odcinkiem linii wzdłuż osi obrotu. Jest to znane jako rozwiązanie Goldschmidta na cześć niemieckiego matematyka Carla Wolfganga Benjamina Goldschmidta , który ogłosił swoje odkrycie w swoim artykule z 1831 r. „Determinatio superficiei minimaerotatione curvae data duo puncta jungentis circa datum axem ortae” („Wyznaczanie krzywej minimalnej rotacji powierzchni przy danych dwóch połączonych punktach wokół danej osi pochodzenia”).

Kontynuując fizyczną analogię błony mydlanej podaną powyżej, te rozwiązania Goldschmidta można zwizualizować jako przypadki, w których błona mydlana pęka, gdy okrągłe druty są rozciągane. Jednak w fizycznej warstwie mydła segment linii łączącej nie byłby obecny. Dodatkowo, jeśli film mydlany jest rozciągany w ten sposób, istnieje zakres odległości, w których rozwiązanie katenoidalne jest nadal wykonalne, ale ma większą powierzchnię niż roztwór Goldschmidta, więc film mydlany może rozciągać się do konfiguracji, w której obszar jest lokalne minimum ale nie globalne minimum. W przypadku odległości większych niż ten zakres sieć trakcyjna definiująca katenoid przecina oś x i prowadzi do samoprzecinającej się powierzchni, więc wykonalne jest tylko rozwiązanie Goldschmidta.