Półprzestrzeń (geometria)

W geometrii półprzestrzeń jest jedną z dwóch części, na które płaszczyzna dzieli trójwymiarową przestrzeń euklidesową . Jeśli przestrzeń jest dwuwymiarowa , półprzestrzeń nazywana jest półpłaszczyzną ( otwartą lub zamkniętą). Półprzestrzeń w jednowymiarowej nazywana jest półprostą lub półprostą .

Mówiąc bardziej ogólnie, półprzestrzeń jest jedną z dwóch części, na które hiperpłaszczyzna dzieli przestrzeń afiniczną . Oznacza to, że punkty, które nie są incydentne z hiperpłaszczyzną, są podzielone na dwa zbiory wypukłe (tj. półprzestrzenie), tak że każda podprzestrzeń łącząca punkt w jednym zbiorze z punktem w drugim musi przecinać hiperpłaszczyznę.

Półprzestrzeń może być otwarta lub zamknięta . Otwarta półprzestrzeń to jeden z dwóch zbiorów otwartych utworzonych przez odjęcie hiperpłaszczyzny od przestrzeni afinicznej. Zamknięta półprzestrzeń to połączenie otwartej półprzestrzeni i definiującej ją hiperpłaszczyzny.

Otwarta (zamknięta) górna półprzestrzeń to półprzestrzeń wszystkich ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) taka, że ​​x _n > 0 (≥ 0). Otwarta (zamknięta) dolna półprzestrzeń jest definiowana podobnie, wymagając, aby x _n było ujemne (nie dodatnie).

Półprzestrzeń może być określona przez nierówność liniową wyprowadzoną z równania liniowego , które określa definiującą hiperpłaszczyznę. Ścisła nierówność liniowa określa otwartą półprzestrzeń:

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} >b}$

Nieścisły określa zamkniętą półprzestrzeń:

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} \geq b}$

Tutaj zakłada się, że nie wszystkie liczby rzeczywiste a ₁ , a ₂ , ..., a _n są równe zeru.

Półprzestrzeń jest zbiorem wypukłym .

Zobacz też

• Linia (geometria)
• Model półpłaszczyzny Poincarégo
• Górna półprzestrzeń Siegela
• Wielokąt Nef , konstrukcja wielościanów z wykorzystaniem półprzestrzeni.

Linki zewnętrzne

• „Półpłaszczyzna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Półprzestrzeń” . MathWorld .