Ekstremalna długość

W matematycznej teorii $jest$ konforemnych i quasikonformalnych ekstremalna długość zbioru krzywych miarą rozmiaru $.$ w odwzorowaniach konforemnych Dokładniej, załóżmy, że $jest$$zbiorem$ otwartym na $\ displaystyle f :D\to D'}$ zespolonej $i$ jest ścieżek w i jest odwzorowaniem konforemnym. $\ Gamma$ ekstremalna długość jest równa ekstremalnej długości obrazu pod $}$$displaystyle$ . $Pracuje$ się również z konforemnym , odwrotnością ekstremalnej długości. Fakt, że ekstremalna długość i moduł konforemny są konformalnymi niezmiennikami Γ $\ displaystyle \ Gamma},$ czyni je użytecznymi narzędziami w badaniu odwzorowań konforemnych i quasi-konformalnych. Pracuje się również z długością ekstremalną w wymiarach większych niż dwa i w niektórych innych przestrzeniach metrycznych , ale poniższe dotyczą głównie ustawienia dwuwymiarowego.

Definicja długości ekstremalnej

Aby zdefiniować ekstremalną długość, musimy najpierw wprowadzić kilka powiązanych wielkości. Niech $zbiorem$ na płaszczyźnie zespolonej. Załóżmy, że jest zbiorem wyprostowanych krzywych w $\ Gamma}$${\$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ rho: D \ do [0, \ infty]}$ jest borelowsko mierzalne , to dla dowolnej prostowalnej krzywej pozwalamy ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle L_ {\ rho} (\ gamma): = \ int _ {\ gamma} \ rho \, | dz |}$

oznaczyć długość , gdzie ${\ displaystyle \ rho}$ -długość ${\ displaystyle \ gamma$${\ Displaystyle | dz |}$ oznacza euklidesowy element długości. (Możliwe, że ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma) = \ infty}$ .) Co to naprawdę znaczy? ${\ displaystyle \ gamma: ja \ do D}$ ja jest sparametryzowany w pewnym przedziale , to $}$${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma} \ rho \, | dz |}$ jest całką mierzalnej funkcji Borela ${\ Displaystyle \ rho (\ gamma (t))}$ w odniesieniu do miara Borela $\$$długość$$jest$ każdego podprzedziału ograniczenia do γ $\ gamma$ displaystyle Innymi słowy, jest to całka Lebesgue'a-Stieltjesa $Displaystyle \ int _ {I} \ rho (\ gamma (t)) \ , d {\ operatorname {długość}} _ {\ gamma} (t)}$ , gdzie ${\ Displaystyle {\ operatorname {długość}} _ {\ gamma} (t)}$ jest długość ograniczenia do ${\ Displaystyle \ gamma}$ do ${\ Displaystyle \ {s \ w I: s \ równoważnik t \}}$ . Również ustawione

${\ Displaystyle L_ {\ rho} (\ Gamma): = \ inf _ {\ gamma \ w \ Gamma} L_ {\ rho} (\ gamma).}$

Obszar jest zdefiniowany jako $rho}$ \

${\ Displaystyle A (\ rho): = \ int _ {D} \ rho ^ {2} \, dx \, dy,}$

a ekstremalna długość wynosi $Gamma}$ \

${\ Displaystyle EL (\ Gamma): = \ sup _ {\ rho} {\ Frac {L_ {\ rho} (\ Gamma) ^{2}}{A(\rho )}}\,,}$

gdzie supremum jest ponad wszystkimi mierzalnymi borelami ${\ Displaystyle \ rho: D \ do [0, \ infty]}$ z ${\ Displaystyle 0 <A (\ rho )<\infty}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ Gamma}$ zawiera pewne krzywe nienadające się do prostowania i $\ Gamma$ zbiór krzywych do prostowania w $\ Displaystyle \ Gamma$$}$ , to jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {0})}$ .

Termin (konformalny) moduł odnosi ${\ Displaystyle 1/EL (\ Gamma)$ do $Γ$ .

Ekstremalna odległość między $w jest ekstremalną$ zestawami $punkcie$ zbioru krzywych w jednym końcowym w jednym zestawie i $\ displaystyle D}$ drugi punkt końcowy w innym zestawie.

Przykłady

W tej sekcji długość ekstremalna jest obliczana w kilku przykładach. Pierwsze trzy z tych przykładów są faktycznie przydatne w zastosowaniach o ekstremalnej długości.

Ekstremalna odległość w prostokącie

$)$ kilka liczb dodatnich $\razy (0,h)}$ niech będzie prostokątem $R$$R = (0,$ . Niech będzie zbiorem wszystkich krzywych o skończonej długości ${\ Displaystyle \ gamma :( 0,1) \ do R}$$które$ przecinają prostokąt od lewej do prawej, w sensie że ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0} \ gamma (t)}$ jest na lewej krawędzi ${\ Displaystyle \ {0 \} \ razy [0 h]}$ prostokąta i $\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 1$ jest na prawej krawędzi $styl wyświetlania \{w\}\razy [0,h]}$$)$ . (Granice z konieczności istnieją, ponieważ zakładamy, że ma skończoną długość.) Udowodnimy teraz, że w tym przypadku ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle EL (\ Gamma) = w / h}$

Po pierwsze, możemy przyjąć ${\ displaystyle \ rho = 1}$ na ${\ displaystyle R}$ . To daje $\ Displaystyle A (\ rho) = w \, h}$$)$ i ${\ Displaystyle L_ {\ rho} (\ Gamma$ . Definicja $\$$_$ supremum _

Odwrotna nierówność nie jest taka prosta. Rozważmy dowolny borelowy mierzalny ${\ Displaystyle \ rho: R \ do [0, \ infty]}$ taki, że ${\ Displaystyle \ ell: = L_ { \rho }(\Gamma )>0}$ . dla ${\ Displaystyle y \ in (0, h)}$ , niech $}$${\ Displaystyle \ gamma _ {y} (t) = ja \, y + w \$$zespoloną ).$ (gdzie utożsamiamy się z płaszczyzną γ ${\ Displaystyle \ gamma _ {y} \ in \ Gamma}$ i stąd ${y}) }$ . Tę ostatnią nierówność można zapisać jako

${\ Displaystyle \ ell \ równoważnik \ int _ {0} ^ {1} \ rho (i \, y + w \, t) \, w \, dt.}$

Całkowanie tej nierówności po implikuje y $\ Displaystyle y \ in (0, h)}$

${\ Displaystyle h \ \ ell \ równoważnik \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {1} \rho (i\,y+w\,t)\,w\,dt\,dy}$ .

Teraz zmiana zmiennej daje ${\ Displaystyle x = w \, t}$ i zastosowanie nierówności Cauchy'ego-Schwarza

${\ Displaystyle h \, \ ell \ równoważnik \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {w} \ rho (x + i \, y) \, dx \, dy \ równoważnik {\ Bigl (}\int _{R}\rho ^{2}\,dx\,dy\int _{R}\,dx\,dy{\Bigr )}^{1/2}={\bigl (} w\,h\,A(\rho ){\bigr )}^{1/2}}$ . Daje to ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} / A (\ rho) \ równoważnik w / h}$ .

Dlatego ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \ równoważnik w / h}$ , zgodnie z wymaganiami.

Jak pokazuje dowód, ekstremalna długość $jak$ ekstremalna długość znacznie mniejszego zbioru krzywych ${\ Displaystyle \ {\ gamma _ { y}:y\w (0,h)\}}$ .

$}$ , że ekstremalna długość rodziny krzywych, $łączą$ dolną krawędź z górną krawędzią spełnia ${\ Displaystyle EL (\ Gamma \, ') = h / w}$$R$ tym samym argumentem. Dlatego ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \, EL (\ Gamma \, ') = 1}$ . Naturalne jest nazywanie tego właściwością dualności ekstremalnej długości, a podobna właściwość dualności pojawia się w kontekście następnego podrozdziału. Zauważ, że uzyskanie dolnej granicy na $dość$ górnej granicy, ponieważ dolna granica obejmuje $oszacowanie$ i ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ Gamma) ^ {2} / A (\ rho)}$ , podczas gdy górna granica obejmuje udowodnienie twierdzenia o wszystkich możliwych ${\ Displaystyle \ rho }$ . Z tego powodu dwoistość jest często przydatna, gdy można ją ustalić: kiedy wiemy, że ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \, EL (\ Gamma \,') = 1}$ , dolna granica na $, ')} przekłada$ na górną granicę na ${\ Displaystyle EL (\ Gamma)}$ .

Ekstremalna odległość w pierścieniu

Niech ${\ displaystyle r_ {1}}$ i ${\ displaystyle r_ {2}}$ będą dwoma promieniami spełniającymi ${\ displaystyle 0 <r_ {1}<r_ {2}<\ infty }$ . Niech będzie $pierścieniem$${\ Displaystyle A: = \ {z \ in \ mathbb {C}: r_ {1}< | z | <r_ {2} \}}$ i niech do ${1}}$ i ${\ Displaystyle C_ {2}}$ być dwoma składnikami granicznymi ${\ Displaystyle A}$ : ${\ Displaystyle C_ {1}: = \ {z: | z | = r_ {1} \}}$ i do ${\ Displaystyle C_ {2}: = \ {z: | z | = r_ {2} \}}$ . Rozważ ekstremalną odległość w ${\ displaystyle A}$ między ${\ displaystyle C_ {1}}$ i ${\ displaystyle C_ {2}}$ ; która $}$ ekstremalną długością zbioru ${$ łączących i do $\ Displaystyle$$C_ {2}$$Displaystyle \$ .

${\ Displaystyle \ rho (z) = 1 / | z |}$ dolną $z$ , . $\ Gamma}$ ∈ ${\ Displaystyle C_ {2}}$ zorientowany od ${\ Displaystyle C_ {1}}$ do

${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma} | z | ^ {-1} \, ds \ geq \ int _ {\ gamma} | z | ^ {-1} \, d | z | = \ int _ {\ gamma }d\log |z|=\log(r_{2}/r_{1}).}$

Z drugiej strony,

${\ Displaystyle A (\ rho) = \ int _ {A} | z | ^ {-2} \, dx \, dy = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {r_ {1} }^{r_{2}}r^{-2}\,r\,dr\,d\theta =2\,\pi \,\log(r_{2}/r_{1}).}$

Wnioskujemy, że

${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \ geq {\ Frac {\ log (r_ {2} / r_ {1})} {2 \ pi}}.}$

Teraz widzimy, że ta nierówność jest w rzeczywistości równością, stosując argument podobny do tego podanego powyżej dla prostokąta. Rozważmy dowolny mierzalny Borel taki, że $\ ell: = L_ {\ rho} (\ Gamma)> 0$$Displaystyle$ . ${\ Displaystyle \ teta \ w [0,2 \, \ pi)}$ ∈ $: ( r_ {1}, r_ {2}) \ do A}$ ) oznaczają krzywą ${\ Displaystyle \ gamma _ {\ teta} (r) = e ^ {i \ teta} r}$ . Następnie

${\ Displaystyle \ ell \ równoważnik \ int _ {\ gamma _ {\ teta}} \ rho \, ds = \ int _ {r_ {1}} ^ {r_ {2}} \ rho (e ^ {i \ teta }r)\,dr.}$

Całkujemy po i stosujemy nierówność Cauchy'ego-Schwarza, aby otrzymać: ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle 2 \, \ pi \, \ ell \ równoważnik \ int _ {A} \ rho \, dr \, d \ theta \ równoważnik {\ Bigl (} \ int _ {A} \ rho ^ {2} \ ,r\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}{\Bigl (}\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_ {2}}{\frac {1}{r}}\,dr\,d\theta {\Bigr )}^{1/2}.}$

Kwadratura daje

${\ Displaystyle 4 \, \ pi ^ {2} \, \ ell ^ {2} \ równoważnik A (\ rho) \ cdot \, 2 \, \ pi \, \ log (r_ {2} / r_ {1} ).}$

Oznacza to górną granicę ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \ równoważnik (2 \ \ pi) ^ {- 1} \, \log(r_{2}/r_{1})}$ . W połączeniu z dolną granicą daje to dokładną wartość długości ekstremalnej:

${\ Displaystyle EL (\ Gamma) = {\ Frac {\ log (r_ {2} / r_ {1})} {2 \ pi}}.}$

Ekstremalna długość wokół pierścienia

Niech ${\ Displaystyle r_ {1}, r_ {2}, C_ {1}, C_ {2}, \ Gamma}$ i ${\ Displaystyle A}$ będzie jak powyżej $\ Displaystyle \ Gamma ^ {*}}$$displaystyle$ będzie zbiorem wszystkich krzywych, które owijają się raz wokół pierścienia, oddzielając od do ${2} }$ . Korzystając z powyższych metod, nie jest trudno to pokazać

${\ Displaystyle EL (\ Gamma ^ {*}) = {\ Frac {2 \ pi} {\ log (r_ {2} / r_ {1})}} = EL (\ Gamma) ^ {-1}.}$

Ilustruje to kolejny przypadek ekstremalnej dwoistości długości.

Ekstremalna długość topologicznie istotnych ścieżek w płaszczyźnie rzutowej

W powyższych przykładach ekstremum , które zmaksymalizowało stosunek ${\ Displaystyle L_ {\ rho} (\ Gamma) ^ {2} / A ($$)$ i dał ekstremalną długość odpowiadającą płaskiej metryce. Innymi słowy, gdy $euklidesowa$ metryka riemannowska odpowiedniej domeny planarnej jest skalowana przez wynikowa metryka jest płaska. W przypadku prostokąta była to po prostu metryka pierwotna, ale w przypadku pierścienia zidentyfikowana metryka ekstremalna jest metryką walca . Omówimy teraz przykład, w którym metryka ekstremalna nie jest płaska. Płaszczyzna rzutowa z metryką sferyczną jest uzyskiwana przez identyfikację $antypodalnych$ punktów na kuli jednostkowej metryce sferycznej Riemanna. Innymi słowy, jest to iloraz kuli przez mapę ${\ Displaystyle x \ mapsto -x}$ . Niech oznacza zbiór zamkniętych krzywych w tej płaszczyźnie rzutowej, które nie są $zerowe$ homotopijne . (Każda krzywa w ${\ displaystyle \ Gamma}$ jest uzyskiwana przez rzutowanie krzywej na kulę od punktu do jego antypodu). Wtedy sferyczna metryka jest ekstremalna dla tej rodziny krzywych. (Definicja długości ekstremalnej z łatwością rozciąga się na powierzchnie riemannowskie). Zatem długość ekstremalna wynosi ${\ Displaystyle \ pi ^ {2} / (2 \, \ pi) = \ pi /2}$ .

Ekstremalna długość ścieżek zawierających punkt

Jeśli jest $Displaystyle$ zbiorem ścieżek, z których wszystkie mają dodatnią średnicę i zawierają punkt , to $EL (\ Gamma)$$\$ . Wynika to na przykład z przyjmowania

${\ Displaystyle \ rho (z): = {\ rozpocząć {przypadki} (- | z-z_ {0} | \, \ log | z-z_ {0} |) ^ {- 1} & | z-z_ {0}|<1/2,\\0&|z-z_ {0}|\ geq 1/2, \ koniec {przypadków}}}, który$ spełnia ${\ Displaystyle A ( \ rho ) <\ infty}$ i ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma) = \ infty}$ dla każdego prostowalnego ${\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$ .

Elementarne własności długości ekstremalnej

Ekstremalna długość spełnia kilka prostych właściwości monotoniczności. Po pierwsze, jest jasne, że jeśli ${\ Displaystyle \ Gamma _ {1} \ podzbiór \ Gamma _ {2}}$ , to ${\ Displaystyle EL ( \Gamma _{1})\geq EL(\Gamma _{2})}$ . Co więcej, $Displaystyle \ gamma$ , jeśli każda krzywa zawiera krzywą ${1} \ w \ Gamma _$$Displaystyle \ gamma _ {1}}$ jako podkrzywej (to znaczy jest ograniczeniem do podprzedziału jej domeny) $\$ . Inną czasami przydatną nierównością jest

${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {1} \ puchar \ Gamma _ {2}) \ geq {\ bigl (} EL (\ Gamma _ {1}) ^ {-1} + EL (\ Gamma _ {2} )^{-1}{\bigr )}^{-1}.}$

Jest to jasne, jeśli ${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {1}) = 0}$ lub jeśli ${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {2}) = 0}$ , w którym to przypadku prawa strona jest interpretowana jako ${\ displaystyle 0}$ . Załóżmy więc $w$ nie jest i bez utraty ogólności załóżmy, że prostowalne Niech ${\ Displaystyle \ rho _ {1}, \ rho _ {2}}$ spełnia ${\ Displaystyle L _ {\ rho _ {j}} (\ Gamma _ { j}) \ geq 1}$ dla ${\ Displaystyle j = 1,2}$ . Ustaw ${\ Displaystyle \ rho = \ max \ {\ rho _ {1}, \ rho _ {2} \}}$ . ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ Gamma _ {1} \ puchar \ Gamma _ {2}) \ geq 1$${\ Displaystyle A (\ rho) = \ int \ rho ^ {2} \, dx \,dy\leq \int (\rho _{1}^{2}+\rho _{2}^{2})\,dx\,dy=A(\rho _{1})+A(\ rho _{2})}$ i re , co dowodzi nierówności.

Konformalna niezmienniczość ekstremalnej długości

Niech ${\ Displaystyle f: D \ do D ^ {*}}$ będzie konforemnym homeomorfizmem ( bilektywną mapą holomorficzną ) między domenami planarnymi. Załóżmy, że jest zbiorem krzywych w ${$ niech $∗$$gamma: \ gamma \ in \ Gamma \}}$$= \ { f \ circ$$\$ oznaczają krzywe obrazu . mi ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) = EL (\ Gamma ^ {*})$ . To stwierdzenie niezmienniczości konforemnej jest głównym powodem, dla którego koncepcja ekstremalnej długości jest użyteczna.

Oto dowód niezmienniczości konforemnej. Niech ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0}}$$oznacza$ zestaw krzywych taki, że $\ Displaystyle \ Gamma$ i niech ${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} ^ {*} = \ {f \ circ \ gamma: \ gamma \ in \ Gamma _ {0} \}$ } zbiór prostowalnych krzywych w ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {*}}$ . Załóżmy $_$ _ Definiować

${\ Displaystyle \ rho (z) = | f \, '(z) | \, \ rho ^ {*} {\ bigl (} f (z) {\ bigr)}.}$

Daje zmiana zmiennych ${\ Displaystyle w = f (z)}$

${\ Displaystyle A (\ rho) = \ int _ {D} \ rho (z) ^ {2} \, dz \, d {\ bar {z}} = \ int _ {D} \ rho ^ {*} (f(z))^{2}\,|f\,'(z)|^{2}\,dz\,d{\bar {z}}=\int _{D^{*}}\ rho ^{*}(w)^{2}\,dw\,d{\bar {w}}=A(\rho ^{*}).}$

$Displaystyle \$ że można go naprawić i ustawić $gamma \ in \ Gamma$ \ Formalnie możemy ponownie zastosować zmianę zmiennych:

${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} \ rho ^ {*} {\ bigl (} f (z) {\ bigr)} \, | f \, „(z) |\,|dz|=\int _{\gamma ^{*}}\rho (w)\,|dw|=L_{\rho ^{*}}(\gamma ^{*}).}$

$}$$\ Displaystyle \ gamma}$ , że $jest$ zdefiniowany w pewnym przedziale $displaystyle I$$niech$ oznacza ograniczenia do ${\ Displaystyle I \ cap (- \ infty, t]}$ i niech będzie ${\ Displaystyle \ ell ^ {*} (t)}$$\ gamma ^ {*}}$$Displaystyle$${\ Displaystyle d \ ell ^ {*} (t) = | f \, '(\ gamma (t)) | \, d \ ell (t)} , a to$ . Wtedy łatwo zauważyć, że implikuje ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma) = L _ {\ rho ^ {*}} (\ gamma ^ {*})} , zgodnie z wymaganiami. Powyższe równości dają$ ,

${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {0}) \ geq EL (\ Gamma _ {0} ^ {*}) = EL (\ Gamma ^ {*}).}$

Gdybyśmy $(\ Gamma ^ {*})},$$,$$krzywa$ i udowodniłoby $_ \ Gamma ) =$$\ Gamma ^ {*}}$ ponieważ możemy również zastosować powyższe z $zastąpieniem jej$ i zamianą na $Displaystyle$ . Pozostaje poradzić sobie z krzywymi nienaprawialnymi.

Γ $\ Displaystyle {\ kapelusz {\ Gamma}}}$ { oznacza zbiór prostowalnych krzywych ${\ Displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$ taki, że ${\ Displaystyle f \ circ \ gamma$ nienaprawialne. Twierdzimy, że ${\ Displaystyle EL ({\ kapelusz {\ Gamma}}) = \ infty}$ . Rzeczywiście, weźmy ${\ Displaystyle \ rho (z) = | f \, '(z) |\, h (| f (z) |)} ,$ gdzie ${\ Displaystyle h (r) = {\ bigl (} r \, \ log (r + 2) {\ bigr)} ^ {- 1}}$ . Następnie zmiana zmiennej jak powyżej daje

${\ Displaystyle A (\ rho) = \ int _ {D ^ {*}} h (| w |) ^ {2} \, dw \, d {\ bar {w}} \ równoważnik \ int _ {0} ^{2\pi }\int _{0}^{\infty }(r\,\log(r+2))^{-2}\,r\,dr\,d\theta <\infty .}$

γ ${\ Gamma}}}$ i ${\ Displaystyle R \ in (0, \ infty)}$ tak, że ${\ Displaystyle f \circ \gamma }$ jest zawarte w ${\ Displaystyle \ {z: | z | <r \}}$ mamy

${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma) \ geq \ inf \ {h(s):s\in [0,r]\}\,\mathrm {długość} (f\circ \gamma )=\infty}$ .

$nieograniczona$ drugiej strony $.$ jest taka Ustaw ${\ Displaystyle H (t): = \ int _ {0} ^ {t} h (s) \, ds}$ . ${\ Displaystyle L _ {\ rho} (\ gamma)}$ jest co najmniej długością krzywej t ${\ Displaystyle t \ mapsto H (|$ (od przedziału w ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ do ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ). Ponieważ ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} H (t) = \ infty}$ , wynika z tego, że ${\ Displaystyle L_ {\ rho }(\gamma )=\infty }$ . Zatem rzeczywiście ${\ Displaystyle EL ({\ kapelusz {\ Gamma}}) = \ infty}$ .

Korzystając z wyników z poprzedniej sekcji , mamy

${\ Displaystyle EL (\ Gamma) = EL (\ Gamma _ {0} \ kubek {\ kapelusz {\ Gamma}}) \ geq EL(\Gamma_{0})}$ .

Widzieliśmy już, że ${\ Displaystyle EL (\ Gamma _ {0}) \ geq EL (\ Gamma ^ {*})}$ . Zatem ${\ Displaystyle EL (\ Gamma) \ geq EL (\ Gamma ^ {*})}$ . Odwrotna nierówność zachodzi dzięki symetrii i dlatego ustalana jest konforemna niezmienność.

Niektóre zastosowania ekstremalnej długości

Z obliczenia skrajnej odległości w pierścieniu i konforemnej niezmienniczości wynika, że ​​​​pierścień $}}$$pierścieniem$ (gdzie nie jest konformalnie homeomorficzny z ${\ Displaystyle \ {w: r ^ {*}<| w | <R ^ {*} \}} jeśli R r$ ≠ ${\ Frac {R} {r}} \neq {\frac {R^{*}}{r^{*}}}}$ .

Ekstremalna długość w wyższych wymiarach

Pojęcie ekstremalnej długości dostosowuje się do badania różnych problemów w wymiarach 3 i wyższych, zwłaszcza w odniesieniu do odwzorowań quasi-konformalnych .

Dyskretna długość ekstremalna

Załóżmy, że jest jakiś wykres i jest zbiorem ścieżek w ${ \ Displaystyle$$(V, E)$$}$ . Istnieją dwa warianty ekstremalnej długości w tym ustawieniu. Aby zdefiniować ekstremalną długość krawędzi , pierwotnie wprowadzoną przez RJ Duffina, rozważ funkcję ${\ Displaystyle \ rho: E \ do [0, \ infty)$ } Długość $krotnością$$jako$ suma wszystkich na ścieżce, liczona z „ Obszar ” jest zdefiniowany jako $^ {2} }$$mi$ . Ekstremalna długość $poprzednio$ . Jeśli interpretuje się jako sieć rezystorów $,$ w której każda krawędź ma jednostkową rezystancję, to efektywny opór między dwoma zestawami wierzchołków jest dokładnie długością skrajnej krawędzi zbioru ścieżek z jednym punktem końcowym w jednym zestawie, a punkt końcowy w innym zestawie. Zatem dyskretna długość ekstremalna jest przydatna do oszacowań w teorii potencjału dyskretnego .

, the area is Innym pojęciem dyskretnej długości ekstremalnej, które jest odpowiednie w innych kontekstach, jest $A(\rho ):=\sum _{v\in V}\rho (v)^{2}$ wierzchołka , gdzie $\rho :V\to [0,\infty )$, and the length of a path is the sum of $\rho (v)$ over the vertices visited by the path, with multiplicity.

Notatki

•   Ahlfors, Lars V. (1973), niezmienniki konformalne: tematy z teorii funkcji geometrycznych , Nowy Jork: McGraw-Hill Book Co., MR 0357743
• Duffin, RJ (1962), „Ekstremalna długość sieci”, Journal of Mathematical Analysis and Applications , 5 (2): 200–215, doi : 10.1016 / S0022-247X (62) 80004-3
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Quasiconformal odwzorowania w płaszczyźnie (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag