Mapa quasiregularna

W dziedzinie analizy matematycznej mapy quasiregularne są klasą map ciągłych między przestrzeniami euklidesowymi R ⁿ o tym samym wymiarze lub, bardziej ogólnie, między rozmaitościami riemannowskimi o tym samym wymiarze, które mają wspólne niektóre podstawowe właściwości z funkcjami holomorficznymi jednego zespołu zmienny.

Motywacja

Teoria funkcji holomorficznych (= analitycznych ) jednej zmiennej zespolonej jest jedną z najpiękniejszych i najbardziej użytecznych części całej matematyki.

Wadą tej teorii jest to, że zajmuje się ona tylko mapami między przestrzeniami dwuwymiarowymi ( powierzchnie Riemanna ). Teoria funkcji kilku zmiennych zespolonych ma inny charakter, głównie dlatego, że analityczne funkcje kilku zmiennych nie są zgodne . Mapy konformalne można definiować między przestrzeniami euklidesowymi o dowolnym wymiarze, ale gdy wymiar jest większy niż 2, ta klasa map jest bardzo mała: składa się tylko z transformacji Möbiusa . To jest twierdzenie Josepha Liouville'a ; rozluźnienie założeń gładkości nie pomaga, o czym świadczy m.in Jurij Reszetniak .

Sugeruje to poszukiwanie uogólnienia własności zgodności, które dałoby bogatą i interesującą klasę map w wyższym wymiarze.

Definicja

Różniczkowalna mapa f obszaru D w Rn do Rn jest nazywana K -quasiregularną, jeśli następująca nierówność zachodzi we wszystkich ^{punktach w} D :

${\ Displaystyle \| Df (x) \ | ^ {n} \ równoważnik K | J_ {f} (x) |}$ .

Tutaj K ≥ 1 jest stałą, J _f jest wyznacznikiem Jacobiego , Df jest pochodną, ​​czyli odwzorowaniem liniowym zdefiniowanym przez macierz Jacobiego , oraz ||·|| jest zwykłą (euklidesową) normą macierzy.

Rozwój teorii takich odwzorowań pokazał, że nieracjonalne jest ograniczanie się do odwzorowań różniczkowalnych w klasycznym sensie, a „poprawną” klasą odwzorowań są odwzorowania ciągłe w przestrzeni Sobolewa W 1, n loc ,
^{których pochodne} _cząstkowe w sens rozkładów ma lokalnie sumowalną n -tą potęgę i taką, że powyższa nierówność jest spełniona prawie wszędzie . Jest to formalna definicja K -quasiregularnego. Mapa jest nazywana quasiregularną , jeśli tak jest K -quasiregularny z pewnym K . Odwzorowania stałe są wyłączone z klasy odwzorowań quasiregularnych.

Nieruchomości

Podstawowe twierdzenie o odwzorowaniach quasiregularnych udowodnił Reshetnyak:

Mapy quasiregularne są otwarte i dyskretne .

Oznacza to, że obrazy zbiorów otwartych są otwarte, a przedobrazy punktów składają się z punktów izolowanych. W wymiarze 2 te dwie właściwości dają topologiczną charakterystykę klasy niestałych funkcji analitycznych: każda ciągła otwarta i dyskretna mapa domeny płaskiej na płaszczyznę może być wstępnie skomponowana z homeomorfizmem , tak że wynikiem jest analityczna funkcjonować. To jest twierdzenie Simiona Stoilova .

Twierdzenie Reshetnyaka implikuje, że wszystkie czysto topologiczne wyniki dotyczące funkcji analitycznych (takie jak zasada maksymalnego modułu , twierdzenie Rouchégo itp.) Rozciągają się na mapy quasiregularne.

Iniekcyjne odwzorowania quasiregularne nazywane są odwzorowaniami quasikonformalnymi . Prosty przykład nieiniekcyjnej mapy quasiregularnej jest podany we współrzędnych cylindrycznych w przestrzeni 3 za pomocą wzoru

${\ Displaystyle (r, \ teta, z) \ mapsto (r, 2 \ teta, z).}$

Ta mapa jest 2-kwasiregularna. Jest gładki wszędzie poza osią Z. Godnym uwagi faktem jest to, że wszystkie gładkie odwzorowania quasiregularne są lokalnymi homeomorfizmami. Jeszcze bardziej niezwykłe jest to, że każdy quasiregularny homeomorfizm lokalny R ⁿ → R ⁿ , gdzie n ≥ 3, jest homeomorfizmem (jest to twierdzenie Vladimira Zoricha ).

To wyjaśnia, dlaczego w definicji odwzorowań quasiregularnych nie ma sensu ograniczać się do odwzorowań gładkich: wszystkie gładkie odwzorowania quasiregularne ^samego Rn są quasikonformalne .

Twierdzenie Rickmana

Wiele twierdzeń o właściwościach geometrycznych funkcji holomorficznych jednej zmiennej zespolonej zostało rozszerzonych na odwzorowania quasiregularne. Te rozszerzenia są zwykle bardzo nietrywialne.

Być może najbardziej znanym wynikiem tego rodzaju jest rozszerzenie twierdzenia Picarda , które pochodzi od Seppo Rickmana:

Odwzorowanie K-quasiregularne R ⁿ → R ⁿ może co najwyżej pominąć zbiór skończony .

Gdy n = 2, ten pominięty zbiór może zawierać co najwyżej dwa punkty (jest to proste rozszerzenie twierdzenia Picarda). Ale gdy n > 2, pominięty zbiór może zawierać więcej niż dwa punkty, a jego liczność można oszacować z góry za pomocą n i K . W rzeczywistości każdy zbiór skończony może zostać pominięty, jak wykazali David Drasin i Pekka Pankka.

Związek z teorią potencjału

Jeśli f jest funkcją analityczną, to zaloguj |f| jest subharmoniczna i harmoniczna oddalona od zer f . Odpowiednim faktem dla map quasiregularnych jest to, że log |f| spełnia pewne nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe typu eliptycznego . To odkrycie Reszetniaka zapoczątkowało rozwój nieliniowej teorii potencjału , która traktuje tego rodzaju równania tak, jak zwykła teoria potencjału traktuje funkcje harmoniczne i subharmoniczne.

Zobacz też

• Jurij Reszetniak
• Władimir Żorycz