Pierwsza podstawowa forma

W geometrii różniczkowej pierwszą formą podstawową jest iloczyn wewnętrzny w przestrzeni stycznej powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , który jest indukowany kanonicznie z iloczynu skalarnego R ³ . Pozwala na obliczenie krzywizny i właściwości metrycznych powierzchni, takich jak długość i powierzchnia, w sposób zgodny z otaczającą przestrzenią . Pierwsza podstawowa forma jest oznaczona cyfrą rzymską I ,

$${\ Displaystyle \ operatorname {I} (x, y) = \ langle x, y \ rangle.}$$

Definicja

Niech X ( u , v ) będzie powierzchnią parametryczną . Wtedy iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów stycznych wynosi

$$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {} \ quad \ operatorname {I} (aX_ {u} + bX_ {v$$

gdzie E , F i G są współczynnikami pierwszej formy podstawowej .

Pierwszą podstawową postać można przedstawić jako macierz symetryczną .

$${\ Displaystyle \ operatorname {I} (x, y) = x ^ {\ mathsf {T}} {\ rozpocząć {bmatrix} E&F \\ F&G \ koniec{bmacierz}}y}$$

Dalsza notacja

Kiedy pierwsza podstawowa forma jest zapisywana tylko z jednym argumentem, oznacza ona iloczyn wewnętrzny tego wektora samym sobą.

$${\ Displaystyle \ operatorname {I} (v) = \ langle v, v \ rangle = | v | ^ {2}}$$

Pierwsza podstawowa forma jest często zapisywana we współczesnej notacji tensora metrycznego . Współczynniki można zatem zapisać jako g _ij :

$${\ Displaystyle \ lewo (g_ {ij} \ prawej) = {\ rozpocząć {pmatrix} g_ {11} i g_$$

Składowe tego tensora są obliczane jako iloczyn skalarny wektorów stycznych X ₁ i X ₂ :

$${\ Displaystyle g_ {ij} = X_ {i} \ cdot X_ {j}}$$

dla ja , j = 1, 2 . Zobacz przykład poniżej.

Obliczanie długości i pól

Pierwsza podstawowa forma całkowicie opisuje właściwości metryczne powierzchni. Dzięki temu można obliczyć długości krzywych na powierzchni oraz pola obszarów na powierzchni. Element liniowy ds można wyrazić za pomocą współczynników pierwszej postaci podstawowej as

$${\ Displaystyle ds ^ {2} = E \, du ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, dv ^ {2} \,.}$$

Klasyczny element powierzchni określony wzorem dA = | X _u × X _v | du dv można wyrazić w kategoriach pierwszej podstawowej formy za pomocą tożsamości Lagrange'a ,

$${\ Displaystyle dA = | X_ {u} \ razy X_ {v} |\ du \, dv = {\ sqrt {\ langle X_ {u}, X_ {u} \ rangle \ langle X_ {v}, X_ {v }\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du \,dv.}$$

Przykład: krzywa na kuli

Sferyczna krzywa na sferze jednostkowej w R3 ^jako może być sparametryzowana

$${\ Displaystyle X (u, v) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cos u \ sin v \\\ sin u \ sin v \\\ cos v \ koniec {bmatrix}}, \ (u, v) \ w [0,2\pi )\razy [0,\pi ].}$$

Różniczkowanie X ( u , v ) względem wydajności u i v

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X_ {u} & = {\ rozpocząć {bmatrix} - \ sin u \ sin v \\\ cos u \ sin v \\ 0 \ koniec {bmatrix}}, \\ X_ { v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{wyrównane}}}$$

Współczynniki pierwszej postaci podstawowej można znaleźć, biorąc iloczyn skalarny pochodnych cząstkowych .

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E & = X_ {u} \ cdot X_ {u} =\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{wyrównane}}}$$

Więc:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} E&F \\ F&G \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ sin ^ {2} v & 0 \\ 0 i 1 \ koniec {bmatrix}}.}$$

Długość krzywej na kuli

Równik sfery jednostkowej jest sparametryzowaną krzywą określoną przez

$${\ Displaystyle (u (t), v (t)) = (t, {\ tfrac {\ pi} {2}})}$$

z t w zakresie od 0 do 2 π . Element liniowy może być użyty do obliczenia długości tej krzywej.

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ sqrt {E \ lewo ({\ Frac {du} {dt}} \ prawej) ^ { 2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\, dt=\int _{0}^{2\pi}\left|\sin v\right|dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi}}{2}}=2\pi}$$

Obszar regionu na kuli

Element obszaru może być użyty do obliczenia pola powierzchni sfery jednostkowej.

$${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\pi}\int _{0}^{2\pi}}{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi}\int _{ 0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi }$$

Krzywizna Gaussa

Krzywizna Gaussa powierzchni jest dana wzorem

$$\ Displaystyle K = {\ Frac {\ det \ operatorname {I \! I}} {\ det \ operatorname {I}}} = {\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$

gdzie L , M i N są współczynnikami drugiej postaci podstawowej .

Theorema egregium Gaussa stwierdza, że ​​​​krzywiznę Gaussa powierzchni można wyrazić wyłącznie za pomocą pierwszej postaci podstawowej i jej pochodnych, tak że K jest w rzeczywistości wewnętrznym niezmiennikiem powierzchni. Wyraźne wyrażenie krzywizny Gaussa w odniesieniu do pierwszej postaci podstawowej zapewnia wzór Brioschiego .

Zobacz też

• Tensor metryczny
• Druga podstawowa forma
• Trzecia podstawowa forma
• Tautologiczna jedna forma

Linki zewnętrzne

• Pierwsza forma podstawowa — z Wolfram MathWorld