Krzywizna afiniczna

Nie mylić z krzywizną połączenia afinicznego .

Specjalna krzywizna afiniczna , znana również jako krzywizna ekwiafiniczna lub krzywizna afiniczna , to szczególny typ krzywizny zdefiniowany na płaskiej krzywej , która pozostaje niezmieniona w ramach specjalnej transformacji afinicznej ( transformacja afiniczna , która zachowuje obszar ). Krzywe o stałej krzywiźnie ekwiafinicznej k są dokładnie wszystkimi nieosobliwymi stożkami płaskimi . Te z k > 0 to elipsy , te z k = 0 to parabole , a te z k < 0 to hiperbole .

Zwykła krzywizna euklidesowa krzywej w punkcie jest krzywizną jej oscylującego koła , unikalnego koła stykającego się drugiego rzędu (mające kontakt z trzema punktami) z krzywą w punkcie. W ten sam sposób szczególna krzywizna afiniczna krzywej w punkcie P jest specjalną krzywizną afiniczną jej hiperoskulującego stożka , który jest unikalnym stożkiem stykającym się czwartego rzędu ( mający kontakt z pięcioma punktami) z krzywą w P . Innymi słowy, jest to położenie graniczne stożka przechodzącego przez P i cztery punkty P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ na krzywej, gdy każdy z punktów zbliża się do P :

${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, P_ {4} \ do P.}$

W niektórych kontekstach krzywizna afiniczna odnosi się do niezmiennika różniczkowego κ ogólnej grupy afinicznej , który można łatwo uzyskać ze specjalnej krzywizny afinicznej k przez κ = k ^{- 3 / 2} dk / ds , gdzie s jest specjalną długością łuku afinicznego. Tam, gdzie nie stosuje się ogólnej grupy afinicznej, szczególna krzywizna afiniczna k jest czasami nazywana krzywizną afiniczną.

Definicja formalna

Specjalna długość łuku afinicznego

Aby zdefiniować specjalną krzywiznę afiniczną, konieczne jest najpierw zdefiniowanie specjalnej długości łuku afinicznego (zwanej również długością łuku ekwiafinicznego ). Rozważmy afiniczną krzywą płaską β ( t ) . Wybierz współrzędne płaszczyzny afinicznej tak, aby pole równoległoboku rozpięte przez dwa wektory a = ( a ₁ , a ₂ ) i b = ( b ₁ , b ₂ ) było dane przez wyznacznik

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {bmatrix} a & b \ koniec {bmatrix}} = a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}.}$

W szczególności wyznacznik

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {d \ beta} {dt}} i {\ dfrac {d ^ {2} \ beta} { dt^{2}}}\end{bmacierz}}}$

jest dobrze zdefiniowanym niezmiennikiem specjalnej grupy afinicznej i daje podpisany obszar równoległoboku rozpiętego przez prędkość i przyspieszenie krzywej β . Rozważmy reparametryzację krzywej β , powiedzmy z nowym parametrem s związanym z t za pomocą regularnej reparametryzacji s = s ( t ) . Wyznacznik ten podlega następnie następującemu przekształceniu według reguły łańcuchowej :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ det {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {d \ beta} {dt}} i {\ dfrac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} \end{bmatrix}}&=\det {\begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {ds}{dt}}&\left({\dfrac {d^{2 }\beta }{ds^{2}}}\left({\dfrac {ds}{dt}}\right)^{2}+{\dfrac {d\beta }{ds}}{\dfrac {d ^{2}s}{dt^{2}}}\right)\end{bmatrix}}\\&=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{3}\det { \begin{bmatrix}{\dfrac {d\beta }{ds}}&{\dfrac {d^{2}\beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}.\end{aligned} }}$

Reparametryzacja może być tak dobrana

${\ Displaystyle \ det {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {d \ beta} {ds}} i {\ dfrac {d ^ {2} \ beta }{ds^{2}}}\end{bmatrix}}=1}$

pod warunkiem, że prędkość i przyspieszenie dβ / dt i d ² β / dt ² są liniowo niezależne . Istnienie i niepowtarzalność takiej parametryzacji wynika z całkowania:

${\ Displaystyle s (t) = \ int _ {a} ^ {t} {\ sqrt [{3}] {\ det {\ rozpocząć {bmatrix} {\ dfrac {d \ beta} {dt}} i {\ dfrac {d^{2}\beta }{dt^{2}}}\end{bmatrix}}}}\,\,dt.}$

Ta całka jest nazywana specjalną afiniczną długością łuku , a krzywą zawierającą tę parametryzację nazywa się sparametryzowaną w odniesieniu do jej specjalnej afinicznej długości łuku.

Specjalna krzywizna afiniczna

Załóżmy, że β ( s ) jest krzywą sparametryzowaną specjalną afiniczną długością łuku. Następnie szczególna krzywizna afiniczna (lub krzywizna ekwiafiniczna ) jest dana przez

${\ Displaystyle k (s) = \ det {\ rozpocząć {bmatrix} \ beta '' (s) i \ beta ''' (s) \ koniec {bmatrix}}.}$

Tutaj β ′ oznacza pochodną β względem s .

Bardziej ogólnie, dla płaskiej krzywej z dowolną parametryzacją

${\ Displaystyle t \ mapsto {\ bigl (} x (t), y (t) {\ bigr)},}$

specjalna krzywizna afiniczna to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} k (t) & = {\ Frac {x''y'''-x'''y''} \left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1} {\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''\\[6px]&={\frac {4\left (x''y'''-x'''y''\right)+\left(x'y''''-x''''y'\right)}{3\left(x'y ''-x''y'\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(x'y'''-x'''y'\right)^ {2}}{9\left(x'y''-x''y'\right)^{\frac {8}{3}}}}\end{wyrównane}}}$

pod warunkiem, że pierwsza i druga pochodna krzywej są liniowo niezależne. W szczególnym przypadku wykresu y = y ( x ) te wzory redukują się do

${\ Displaystyle k = - {\ Frac {1 }{2}}\left({\frac {1}{\left(y''\right)^{\frac {2}{3}}}}\right)''={\frac {y'' ''}{3\left(y''\right)^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9 \left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}$

gdzie liczba pierwsza oznacza różniczkowanie względem x .

Krzywizna afiniczna

Załóżmy jak wyżej, że β ( s ) jest krzywą sparametryzowaną przez specjalną afiniczną długość łuku. Istnieje para niezmienników krzywej, które są niezmienne w pełnej ogólnej grupie afinicznej - grupie wszystkich afinicznych ruchów płaszczyzny, nie tylko tych, które zachowują obszar. Pierwszym z nich jest

${\ Displaystyle \ sigma = \ int {\ sqrt {k (s)}} \, ds,}$

czasami nazywana afiniczną długością łuku (chociaż grozi to pomyłką ze specjalną afiniczną długością łuku opisaną powyżej). Druga jest określana jako krzywizna afiniczna :

${\ Displaystyle \ kappa = k ^ {- {\ Frac {3} {2}}} {\ Frac {dk} {ds}}.}$

Stożki

Załóżmy, że β ( s ) jest krzywą sparametryzowaną specjalną długością łuku afinicznego o stałej krzywiźnie afinicznej k . Pozwalać

${\ Displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ beta '(s) i \ beta '' (s) \ koniec {bmatrix}}.}$

Zauważ, że det( C _β ) = 1 , ponieważ zakłada się, że β ma specjalną afiniczną parametryzację długości łuku i że

${\ Displaystyle k = \ det \ lewo (C _ {\ beta} '\ prawo). \,}$

Z postaci C _{β wynika} , że

${\ Displaystyle C_ {\ beta} '= C _ {\ beta} {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - k \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}.}$

Stosując odpowiednią specjalną transformację afiniczną, możemy ustalić, że C _β (0) = I jest macierzą tożsamości. Ponieważ k jest stałe, wynika z tego, że C _β jest określone przez macierz wykładniczą

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} C _ {\ beta} (s) & = \ exp \ lewo \ {s \ cdot {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - k \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}} \ prawo \} \\&={\begin{bmatrix}\cos {\sqrt {k}}\,s&{\sqrt {k}}\sin {\sqrt {k}}\,s\\-{\frac {1} {\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s&\cos {\sqrt {k}}\,s\end{bmatrix}}.\end{wyrównane}}}$

Trzy przypadki są teraz następujące.

k = 0 Jeśli

${\ Displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \ koniec {bmatrix}}}$

znika identycznie, to po przejściu do granicy do

więc β ′ ( s ) = (1, s ) , a więc całkowanie daje

${\ Displaystyle \ beta (s) = \ lewo (s, { \frac {s^{2}}{2}}\right)\,}$

aż do ogólnej stałej translacji, która jest specjalną afiniczną parametryzacją paraboli y = x ² / 2 .

k > 0

Jeśli specjalna krzywizna afiniczna jest dodatnia, to wynika z tego, że

${\ Displaystyle \ beta '(s) = \ lewo (\ cos { \sqrt {k}}\,s,{\frac {1}{\sqrt {k}}}\sin {\sqrt {k}}\,s\right)} tak,$

że

${\ Displaystyle \ beta (s) = \ lewo ({\ Frac {1} {\ sqrt {k}}} \ sin {\ sqrt {k}} \, s,-{\frac {1}{k}}\cos {\sqrt {k}}\,s\right)}$

aż do translacji, która jest specjalną parametryzacją afiniczną elipsy kx ² + k ² y ² = 1 .

k < 0

Jeśli k jest ujemne, to funkcje trygonometryczne w C _β ustępują funkcjom hiperbolicznym :

${\ Displaystyle C _ {\ beta} (s) = {\ rozpocząć {bmatrix} \ cosh {\ sqrt {| k |}} \, s & {\ sqrt {| k |}} \ sinh {\ sqrt {| k | }}\,s\\{\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s&\cosh {\sqrt {|k|}}\, s \ koniec {bmatrix}}.}$

Zatem

${\ Displaystyle \ beta (s) = \ lewo ( {\frac {1}{\sqrt {|k|}}}\sinh {\sqrt {|k|}}\,s,{\frac {1}{|k|}}\cosh {\sqrt {| k|}}\,s\right)}$

aż do translacji, która jest specjalną afiniczną parametryzacją hiperboli

${\ Displaystyle - | k | x ^ {2} + | k | ^ {2} y ^ {2} = 1.}$

Charakteryzacja aż do kongruencji afinicznej

Specjalna krzywizna afiniczna krzywej zanurzonej jest jedynym (lokalnym) niezmiennikiem krzywej w następującym sensie:

• Jeśli dwie krzywe mają w każdym punkcie tę samą specjalną krzywiznę afiniczną, to jedną krzywą uzyskuje się z drugiej za pomocą specjalnego przekształcenia afinicznego.

W rzeczywistości nieco mocniejsze stwierdzenie brzmi:

• Mając dowolną funkcję ciągłą k : [ a , b ] → R , istnieje krzywa β , której pierwsza i druga pochodna są liniowo niezależne, tak że szczególna krzywizna afiniczna β względem specjalnej parametryzacji afinicznej jest równa danej funkcji k . Krzywa β jest jednoznacznie określona aż do specjalnej transformacji afinicznej.

Jest to analogiczne do podstawowego twierdzenia o krzywych w klasycznej euklidesowej geometrii różniczkowej krzywych , w którym pełna klasyfikacja płaskich krzywych aż do ruchu euklidesowego zależy od jednej funkcji κ , krzywizny krzywej. Wynika to zasadniczo z zastosowania twierdzenia Picarda-Lindelöfa do systemu

${\ Displaystyle C _ {\ beta} '= C _ {\ beta} {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i - k \\ 1 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

gdzie do β ₌ [ β ′ β ″] . Alternatywnym podejściem, zakorzenionym w teorii ruchomych układów , jest zastosowanie istnienia prymitywu dla pochodnej Darboux .

Wyprowadzenie krzywizny przez niezmienniczość afiniczną

Specjalną krzywiznę afiniczną można wyprowadzić wprost za pomocą technik teorii niezmienniczej . Dla uproszczenia załóżmy, że afiniczna krzywa płaska jest dana w postaci wykresu y = y ( x ) . Specjalna grupa afiniczna działa na płaszczyźnie kartezjańskiej poprzez przekształcenia formy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & \ mapsto ax + przez + \ alfa \\ y & \ mapsto cx + dy + \ beta, \ koniec { wyrównany}}}$

z reklamą - bc = 1 . Następujące pola wektorowe obejmują algebrę Liego nieskończenie małych generatorów specjalnej grupy afinicznej:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T_ {1} & = \ częściowe _ {x}, & \ quad T_ {2} & = \ częściowe _ {y} \\ X_ {1} & = x \ częściowe _ { y},&\quad X_{2}&=y\częściowe _{x},&H&=x\częściowe _{x}-y\częściowe _{y}.\end{wyrównane}}}$

Transformacja afiniczna działa nie tylko na punkty, ale także na styczne do wykresów postaci y = y ( x ) . Oznacza to, że istnieje działanie specjalnej grupy afinicznej na potrójnych współrzędnych ( x , y , y ′) . Akcja grupowa jest generowana przez pola wektorowe

${\ Displaystyle T_ {1} ^ {(1)}, T_ {2} ^ {(1 )},X_{1}^{(1)},X_{2}^{(1)},H^{(1)}}$

zdefiniowany na przestrzeni trzech zmiennych ( x , y , y ′) . Te pola wektorowe można określić na podstawie następujących dwóch wymagań:

• W ramach rzutowania na płaszczyznę xy muszą one rzutować odpowiednio na odpowiednie pierwotne generatory działania T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H .
• Wektory muszą zachowywać w odpowiedniej skali strukturę kontaktu przestrzeni odrzutowej

${\ Displaystyle \ theta _ {1} = dy-y '\, dx.}$

Konkretnie oznacza to, że generatory X ⁽¹⁾ muszą spełniać

${\ Displaystyle L_ { X^{(1)}}\theta _{1}\equiv 0{\pmod {\theta _{1}}}}$

gdzie L jest pochodną Liego .

Podobnie działanie grupy można rozszerzyć na przestrzeń dowolnej liczby pochodnych ( x , y , y ′, y ″,…, y ^{( k )} ) .

Przedłużone pola wektorowe generujące działanie specjalnej grupy afinicznej muszą zatem indukcyjnie spełniać dla każdego generatora X ∈ { T ₁ , T ₂ , X ₁ , X ₂ , H } :

• Rzut X ^{( k )} na przestrzeń zmiennych ( x , y , y ′,…, y ^{( k −1)} ) to X ^{( k −1)} .
• X ^{( k )} zachowuje ideał kontaktu:

${\ Displaystyle L_ {X ^ {(k)}} \ teta _ {k} \ równoważnik 0 {\ pmod {\ teta _ {1} ,\kropki ,\theta _{k}}}}$

gdzie

${\ Displaystyle \ theta _ {i} = dy ^ {(i-1)} -y ^ {(i)} dx.}$

Wykonanie konstrukcji indukcyjnej do rzędu 4 daje

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T_ {1} ^ {(4)} & = \ częściowe _ {x}, \ qquad T_ {2} ^ {(4)} = \ częściowe _ {y} \\ X_ {1}^{(4)}&=x\częściowe _{y}+\częściowe _{y'}\\X_{2}^{(4)}&=y\częściowe _{x}-y' ^{2}\częściowe _{y'}-3y'y''\częściowe _{y''}-\left(3y''^{2}+4y'y'''\right)\częściowe _{ y'''}-{\bigl (}10y''y'''+5y'y''''{\bigr )}\częściowe _{y''''}\\H^{(4)} &=x\częściowe _{x}-y\częściowe _{y}-2y'\częściowe _{y'}-3y''\częściowe _{y''}-4y'''\częściowe _{y' ''}-5y''''\częściowe _{y''''}.\end{wyrównane}}}$

Specjalna krzywizna afiniczna

${\ Displaystyle k = {\ Frac {y''''} {3 \ lewo (y'' \ prawo )^{\frac {5}{3}}}}-{\frac {5\left(y'''\right)^{2}}{9\left(y''\right)^{\frac {8}{3}}}}}$

nie zależy jawnie od x , y lub y ′ , a więc spełnia

${\ Displaystyle T_ {1} ^ {(4)} k = T_ {2} ^ {(4)} k = X_{1}^{(4)}k=0.}$

Pole wektorowe H działa po przekątnej jako zmodyfikowany operator jednorodności i można łatwo zweryfikować, że H ⁽⁴⁾ k = 0 . Wreszcie,

${\ Displaystyle X_ {2} ^ {(4) }k={\tfrac {1}{2}}\left[H,X_{1}\right]^{(4)}k={\tfrac {1}{2}}\left[H^{( 4)},X_{1}^{(4)}\right]k=0.}$

Pięć pól wektorowych

${\ Displaystyle T_ {1} ^ {(4)}, T_ {2} ^ {(4 )},X_{1}^{(4)},X_{2}^{(4)},H^{(4)}}$

tworzą rozkład inwolucyjny na (otwartym podzbiorze) R ⁶ tak, że na mocy twierdzenia o całkowaniu Frobeniusa integrują się lokalnie, dając foliowanie R ⁶ pięciowymiarowymi liśćmi. Konkretnie, każdy liść jest lokalną orbitą specjalnej grupy afinicznej. Funkcja k parametryzuje te liście.

Układ motoryczny człowieka

Ludzkie krzywoliniowe dwuwymiarowe ruchy rysunkowe mają tendencję do podążania za parametryzacją ekwiafiniczną. Jest to bardziej znane jako prawo potęgowe dwóch trzecich , zgodnie z którym prędkość ręki jest proporcjonalna do krzywizny euklidesowej podniesionej do potęgi minus trzeciej. Mianowicie,

${\ Displaystyle v = \ gamma \ kappa ^ {- {\ Frac {1} {3}}},}$

gdzie v to prędkość ręki, κ to krzywizna euklidesowa, a γ to stała nazywana współczynnikiem wzmocnienia prędkości.

Zobacz też

• Geometria afiniczna krzywych
• Sfera afiniczna

Źródła

• Blaschke, Wilhelm (1923), Affine Differentialgeometrie , Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätsttheorie (w języku niemieckim), tom. II, Berlin: Springer-Verlag OHG
•   Guggenheimer, Heinrich (1977), Geometria różniczkowa , Nowy Jork: Dover Publications , ISBN 978-0-486-63433-3
• Shirokov, AP (2001a) [1994], „Krzywizna afiniczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Shirokov, AP (2001b) [1994], „Geometria różniczkowa afiniczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Spivak, Michael (1999), Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3