Pochodna Darboux

Darboux odwzorowania między rozmaitością a grupą Liego jest wariantem pochodnej standardowej. Jest to prawdopodobnie bardziej naturalne uogólnienie pochodnej jednej zmiennej. Pozwala na uogólnienie podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego o jednej zmiennej na wyższe wymiary, w innym duchu niż uogólnienie, jakim jest twierdzenie Stokesa .

Definicja formalna

Niech będzie grupą $Liego$ i $. Forma$ jej algebrą Liego Maurera -Cartana , jest gładką formą na -valued ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$$-valued$$}$$}$$1$ (por. forma wartościowana algebrą Liego ) zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ omega _ {G} (X_ {g}) = (T_ {g} L_ {g}) ^ {- 1} X_ { G}}$

dla wszystkich ${\ Displaystyle g \ in G}$ i ${\ Displaystyle X_ {g} \ in T_ {g} G}$ . Tutaj $g}} oznacza$$g$ mnożenie przez element $\ in G}$ i jest jego pochodną w ${\ displaystyle g}$ .

Niech będzie gładką funkcją między gładką rozmaitością i sol. $do$${\ displaystyle f$$G$ } Wtedy pochodna Darboux $z$ jest gładką postacią -valued sol $\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ -valued $\ displaystyle 1}$

${\ Displaystyle \ omega _ {f}: = f ^ {*} \ omega _ {G},}$

wycofanie przez ${\ displaystyle \ omega _ {G}}$ przez fa $\ displaystyle f}$ . Mapa nazywana jest całką lub prymitywem $}$$displaystyle \ omega _ {f$ \ }

Bardziej naturalne?

Powód, dla którego można by nazwać pochodną Darboux bardziej naturalnym uogólnieniem pochodnej rachunku jednej zmiennej, jest następujący. W rachunku pojedynczych zmiennych pochodna funkcji przypisuje każdemu punktowi w dziedzinie $\ Displaystyle f: \ mathbb {R}$$do \ mathbb {R}}$ Pojedynczy numer. Zgodnie z bardziej ogólnymi rozmaitymi ideami pochodnych, pochodna przypisuje każdemu punktowi w dziedzinie liniową mapę od przestrzeni stycznej w punkcie domeny do przestrzeni stycznej w punkcie obrazu. Ta pochodna obejmuje dwie części danych: obraz punktu domeny i mapę liniową. W rachunku pojedynczych zmiennych odrzucamy pewne informacje. Zachowujemy tylko mapę liniową, w postaci skalarnego czynnika mnożenia (tj. liczby).

$ze$ sposobów uzasadnienia tej konwencji zachowania tylko liniowego aspektu pochodnej jest odwołanie się do (bardzo prostej) struktury grup Liego ramach dodawania. Wiązkę styczną dowolnej grupy Liego można zbanalizować poprzez mnożenie w lewo (lub w prawo). Oznacza to, że każdą przestrzeń styczną w $algebrą$ utożsamiać z przestrzenią styczną przy tożsamości, która jest Liego R $\ mathbb {R}}$$displaystyle$ . W tym przypadku mnożenie w lewo i w prawo jest po prostu translacją. Komponując później pochodną typu rozmaitości z trywializacją przestrzeni stycznej, dla każdego punktu w dziedzinie otrzymujemy liniową mapę od przestrzeni stycznej w punkcie domeny do algebry Liego z R {\ displaystyle \ mathbb {R $}$ . W symbolach dla każdego patrzymy na mapę ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle v \ in T_ {x} \ mathbb {R} \ mapsto (T_ {f (x)} L_ {f (x)}) ^ {- 1} \ circ (T_ {x} f) v \ in T_{0}\mathbb {R} .}$

Ponieważ zaangażowane przestrzenie styczne są jednowymiarowe, ta mapa liniowa jest po prostu mnożeniem przez pewien skalar. (Ten skalar może się zmieniać w zależności od tego, jakiej podstawy używamy dla przestrzeni wektorowych, ale kanoniczne pole wektora jednostkowego ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}}}$ na ${\ displaystyle \ mathbb { R} }$ daje kanoniczny wybór podstawy, a zatem kanoniczny wybór skalara.) Ten skalar jest tym, co zwykle oznaczamy przez ${\ Displaystyle f' (x)}$ .

Wyjątkowość prymitywów

Jeśli rozmaitość $displaystyle$ i $}$ prymitywami $\$${\ Displaystyle \ omega _ {f} = \ omega _ {g}}$ , to istnieje taka stała do ∈ $Displaystyle C \ in G}$

${\ Displaystyle f (x) = C \ cdot g (x)}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle x \ w M}$ .

Ta stała $jest$ oczywiście analogiem stałej, która pojawia się podczas przyjmowania nieoznaczonej .

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego

Równanie strukturalne dla postaci Maurera-Cartana to:

${\ Displaystyle d \ omega + {\ Frac {1} {2}} [\ omega, \ omega] = 0.}$

$Displaystyle X}$$Displaystyle Y$ , że dla wszystkich pól wektorowych i wszystkich ${$ { $\$ }

${\ Displaystyle (d \ omega) _ {x} (X_ {x}, Y_ {x})+[\omega _{x}(X_{x}),\omega _{x}(Y_{x})]=0.}$

Dla dowolnej postaci -o wartościach algebry Liego $.$ dowolnej gładkiej rozmaitości wszystkie wyrazy w tym równaniu mają sens, więc dla każdej takiej formy możemy zapytać, czy spełnia ona to równanie strukturalne

Zwykłe fundamentalne twierdzenie rachunku różniczkowego dla rachunku jednej zmiennej ma następujące lokalne uogólnienie.

Jeśli spełnia $} \ displaystyle p \ in M}$ strukturalne, to każdy punkt za $Displaystyle$$}}$ -valued ${\ Displaystyle 1}$ -form $\ omega$ ma otwarte sąsiedztwo i gładką mapę taką, że $U \ do G}$$displaystyle f$

${\ Displaystyle \ omega _ {f} = \ omega | _ {U},}$

tj. $\ omega }$ prymityw zdefiniowany w sąsiedztwie każdego punktu ${\ displaystyle$ .

$uzyskać$ globalne uogólnienie podstawowego twierdzenia, należy przestudiować pewne pytania dotyczące monodromii i $.$

Zobacz też

• Uogólnienia pochodnej – Fundamentalna konstrukcja rachunku różniczkowego
• Pochodna logarytmiczna – Działanie matematyczne w rachunku różniczkowym
• Forma Maurera – Cartana - na grupie Liego G, kanonicznej 1-formie cenionej we własnej algebrze Liego; unikalne połączenie zleceniodawca-pakiet w unikalnym pakiecie G w przestrzeni jednopunktowej Strony wyświetlające opisy danych wiki jako rozwiązanie awaryjne

•   RW Sharpe (1996). Geometria różniczkowa: uogólnienie programu Erlangen przez Cartana . Springer-Verlag w Berlinie. ISBN 0-387-94732-9 .
•   Szlomo Sternberg (1964). „Rozdział V, Grupy Lie. Sekcja 2, Formy niezmienne i algebra Liego”. Wykłady z geometrii różniczkowej . Prentice Hall. OCLC 529176 .