Równania Gaussa-Codazziego

W geometrii Riemanna i geometrii pseudo-Riemanna , równania Gaussa – Codazziego (zwane także równaniami Gaussa – Codazziego – Weingartena-Mainardiego lub równaniami Gaussa – Petersona – Codazziego ) są podstawowymi formułami, które łączą ze sobą indukowaną metrykę i drugą podstawową postać podrozmaitości (lub zanurzenie w) rozmaitości riemannowskiej lub pseudoriemannowskiej .

Równania zostały pierwotnie odkryte w kontekście powierzchni w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . W tym kontekście pierwsze równanie, często nazywane równaniem Gaussa (od nazwiska jego odkrywcy Carla Friedricha Gaussa ), mówi, że krzywizna Gaussa powierzchni w dowolnym punkcie jest podyktowana pochodnymi mapy Gaussa w tym punkcie, jak zakodowane przez drugą podstawową formę . Drugie równanie, zwane równaniem Codazziego lub równaniem Codazziego-Mainardiego , stwierdza, że ​​pochodna kowariantna drugiej postaci podstawowej jest w pełni symetryczna. Jej nazwa pochodzi od Gaspare Mainardi (1856) i Delfino Codazziego (1868–1869), którzy niezależnie wyprowadzili wynik, chociaż został odkryty wcześniej przez Karla Michajłowicza Petersona .

Oświadczenie formalne

Niech ${\ Displaystyle i \ okrężnica M \ podzbiór P}$ będzie n -wymiarową osadzoną podrozmaitością rozmaitości riemannowskiej P wymiaru ${\ displaystyle n + p}$ . Istnieje naturalne włączenie wiązki stycznej M do wiązki P przez pushforward , a kokernel jest wiązką normalną M :

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ sprawca} M \ rightarrow 0.}$

Metryka dzieli ten krótki ciąg dokładny i tak dalej

${\ Displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ sprawca} M.}$

$.$ tego podziału połączenie Levi-Civita z P rozkłada się na składowe styczne i Dla każdego pola wektorowego Y na M , ${\ Displaystyle X \ in TM}$

${\ Displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ góra \ lewo (\ nabla '_ {X} Y \ prawo) + \ bot \ lewo (\ nabla '_ {X} Y \ prawo).}$

Pozwalać

${\ Displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ góra \ lewo (\ nabla '_ {X} Y \ prawo), \ quad \ alfa (X, Y) = \ bot \ lewo (\ nabla '_ {X} T\prawo).}$

Formuła Gaussa $​​jest$ teraz zapewnia, że połączeniem Levi $o$ Civita dla M i symetryczną postacią wartościach wektorowych z wartościami w normalna wiązka. Jest często określany jako druga podstawowa forma .

Bezpośrednim wnioskiem jest równanie Gaussa dla tensora krzywizny . dla ${\ Displaystyle X, Y, Z, W \ w TM}$ ,

${\ Displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alfa (X, Z), \ alfa (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle }$

gdzie $R$ tensorem krzywizny Riemanna P i tensorem M . _

Równanie Weingartena jest analogiem wzoru Gaussa dla połączenia w wiązce normalnej. Niech $_$$_$ _ _ Następnie rozłóż pochodną kowariantną otoczenia wzdłuż X na składowe styczne i normalne: ${\ displaystyle \ xi}$

${\ Displaystyle \ nabla '_ {X} \ xi = \ góra \ lewo (\ nabla '_ {X} \ xi \ prawo) + \ bot \ lewo (\ nabla '_ {X} \ xi \ prawo) = - A_{\xi}(X)+D_{X}(\xi).}$

Następnie

1. Równanie Weingartena : ${\ Displaystyle \ langle A_ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alfa (X, Y), \ xi \ zakres }$
2. D _X jest połączeniem metrycznym w wiązce normalnej.

Istnieje zatem para połączeń: ∇, określona na wiązce stycznej M ; i D , zdefiniowane na normalnej wiązce M . Łączą się one, tworząc połączenie na dowolnym iloczynie tensorowym kopii TM i T ^⊥ M . W szczególności zdefiniowali kowariantną pochodną : ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ tylda {\ nabla}} _ {X} \ alfa \ po prawej) (Y, Z) = D_ {X} \ lewo (\ alfa (Y, Z) \ po prawej) - \ alfa \ left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).}$

Codazziego -Mainardiego to

${\ Displaystyle \ bot \ lewo (R '(X, Y) Z \ prawo) = \ lewo ({\ tylda {\ nabla}} _ {X} \ alfa \ prawo) (Y, Z) - \ lewo ({{ \tylda {\nabla}}_{Y}\alpha \right)(X,Z).}$

Ponieważ każde zanurzenie jest w szczególności osadzeniem lokalnym, powyższe wzory obowiązują również dla zanurzeń.

Równania Gaussa-Codazziego w klasycznej geometrii różniczkowej

Zestawienie równań klasycznych

W klasycznej geometrii różniczkowej powierzchni równania Codazziego-Mainardiego wyraża się za pomocą drugiej postaci podstawowej ( L , M , N ):

${\ Displaystyle L_ {v} -M_ {u} = L \ Gamma ^ {1} {} _ { 12}+M\lewo({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}}$

${\ Displaystyle M_ {v} -N_ {u} = L \ Gamma ^ {1} _ { 22}+M\lewo({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}}$

Formuła Gaussa, w zależności od tego, jak zdefiniujemy krzywiznę Gaussa, może być tautologią . Można to określić jako

${\ Displaystyle K = {\ Frac {LN-M ^ {2}} {np. f ​​^ {2}}}}$

gdzie ( e , f , g ) to składowe pierwszej formy podstawowej.

Wyprowadzanie równań klasycznych

Rozważ powierzchnię parametryczną w przestrzeni euklidesowej 3,

${\ Displaystyle \ mathbf {r} (u, v) = (x (u, v) ,y(u,v),z(u,v))}$

gdzie trzy funkcje składowe płynnie zależą od uporządkowanych par ( u , v ) w jakiejś otwartej domenie U na płaszczyźnie uv . Załóżmy, że ta powierzchnia jest regularna , co oznacza, że ​​wektory r _u i r _v są liniowo niezależne . Uzupełnij to do podstawy { r _u , r _v , n }, wybierając wektor jednostkowy n normalny do powierzchni. Możliwe jest wyrażenie drugich pochodnych cząstkowych r ( wektory ) za pomocą $.$ Christoffela i drugiej postaci podstawowej Wybieramy pierwsze dwa składowe podstawy, ponieważ są one nieodłączne dla powierzchni i mają na celu udowodnienie wewnętrznej własności krzywizny Gaussa . Ostatni termin w bazie jest zewnętrzny.

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {uu} = {\ Gamma ^ {1}} _ {11} \ mathbf {r} _ { u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} }$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {uv} = {\ Gamma ^ {1}} _ {12} \ mathbf {r} _ {u} + {\ Gamma ^ {2}} _ {12} \ mathbf { r} _ {v} + M \ mathbf {n}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {vv} = {\ Gamma ^ { 1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n} }$

Twierdzenie Clairauta stwierdza, że ​​pochodne cząstkowe komutują:

${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {r} _ {uu} \ prawej) _ {v} = \ lewo (\ mathbf {r} _ {uv} \ prawo )_{u}}$

Jeśli różniczkujemy r _uu względem v i r _uv względem u , otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Gamma ^ { 1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({ \Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+ L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}}$${\ Displaystyle = \ lewo ({\ Gamma ^ {1}} _ {12} \ prawej) _ {u} \ mathbf {r} _ {u} + {\ Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma_{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{ \Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}}$

Teraz podstaw powyższe wyrażenia dla drugich pochodnych i zrównaj współczynniki n :

${\ Displaystyle M {\ Gamma ^ {1}} _ {11} + N {\ Gamma ^ {2} }_{11}+L_{v}=L{\Gamma^{1}}_{12}+M{\Gamma^{2}}_{12}+M_{u}}$

Przekształcenie tego równania daje pierwsze równanie Codazziego-Mainardiego.

Drugie równanie można wyprowadzić podobnie.

Średnia krzywizna

Niech M będzie gładką rozmaitością m -wymiarową zanurzoną w ( m + k )-wymiarową rozmaitością gładką P . Niech ${\ Displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots, e_ {k}}$ będzie lokalną ramą ortonormalną pól wektorowych normalnych do M . Wtedy możemy napisać,

${\ Displaystyle \ alfa (X, Y) = \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ alfa _ {j} (X, Y) e_ {j}.}$

Jeśli teraz ${\ Displaystyle E_ {1}, E_ {2}, \ ldots, E_ {m}}$ jest lokalną ramką ortonormalną (stycznych pól wektorowych) na tym samym otwartym podzbiór M , to możemy zdefiniować średnie krzywizny zanurzenia przez

${\ Displaystyle H_ {j} = \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ alfa _ {j} (E_ {i}, E_ {i}).}$

$.$ jeśli M jest hiperpowierzchnią P , tj , to jest tylko jedna średnia krzywizna, o której można Zanurzenie nazywa się $minimalnym,$ jeśli są identycznie .

Zauważ, że średnia krzywizna jest śladem lub średnią drugiej formy podstawowej dla dowolnego składnika. Czasami średnią krzywiznę definiuje się przez pomnożenie sumy po prawej stronie przez ${\ displaystyle 1/m}$ .

Możemy teraz zapisać równania Gaussa-Codazziego jako

${\ Displaystyle \ langle R' (X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ lewo (\ alfa _ {j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Kontraktowanie składników daje nam ${\ displaystyle Y, Z}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ric} '(X, W) = \ nazwa operatora {Ric} (X, W) + \ suma _ {j = 1} ^ {k} \ langle R' (X, e_ {j}) e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i}) \alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).}$

Kiedy M jest hiperpowierzchnią, upraszcza się to do

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ric} '(X, W) = \ nazwa operatora {Ric} (X, W) + \ langle R' (X, n) n, W \ rangle + \ suma _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)}$

gdzie ${\ Displaystyle n = e_ {1},}$${\ Displaystyle h = \ alfa _ {1}}$ i ${\ Displaystyle H = H_ {1}}$ . W takim przypadku następuje jeszcze jeden skurcz,

${\ Displaystyle R '= R + 2 \ operatorname {Ric} '(n, n) + \| h \|^ { 2}-H^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle R '}$ i ${\ displaystyle R}$ są skalarnymi krzywiznami odpowiednio P i M oraz R ′ {\ displaystyle R '}

${\ Displaystyle \ | h \ | ^ {2} = \ suma _ {i, j = 1} ^ {m} h (E_ {i}, E_ {j}) ^ {2}.}$

Jeśli $równanie krzywizny$ bardziej skomplikowane.

Możemy już użyć tych równań, aby wyciągnąć pewne wnioski. Na przykład każde minimalne zanurzenie w okrągłej kuli ${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \cdots +x_{m+k+1}^{2}=1}$ musi mieć postać

${\ Displaystyle \ delta x_ {j} + \ lambda x_ {j} = 0}$

gdzie jot $\ Displaystyle j}$ biegnie od 1 do ${\ Displaystyle m + k + 1}$ i

${\ Displaystyle \ Delta = \ suma _ {i = 1} ^ {m} \ nabla _ {E_ {i}} \ nabla _ {E_ {i}}}$

jest Laplace'em na M , a $stałą$ .

Zobacz też

• Rama Darboux

Notatki

odniesienia historyczne

• Bonnet, Ossian (1867), „Memoire sur la theorie des Surfaces Applys sur une surface donnee”, Journal de l'École Polytechnique , 25 : 31–151
•   Codazzi, Delfino (1868–1869), „Sulle współrzędna curvilinee d'una superficie dello spazio” , Ann. Mata. Aplikacja Pura , 2 : 101–19, doi : 10.1007/BF02419605 , S2CID 177803350
• Gauss, Carl Friedrich (1828), „Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas” [Ogólne dyskusje na temat zakrzywionych powierzchni], Comm. soc. Gott. (po łacinie), 6 („Ogólne dyskusje na temat zakrzywionych powierzchni”)
• Iwanow, AB (2001) [1994], „Równania Petersona – Codazziego” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•   Kline, Morris (1972), Myśl matematyczna od starożytności do czasów współczesnych , Oxford University Press , ISBN 0-19-506137-3
• Mainardi, Gaspare (1856), „Su la teoria generale delle superficie”, Giornale Dell' Istituto Lombardo , 9 : 385–404
• Peterson, Karl Michajłowicz (1853), Über die Biegung der Flächen , praca doktorska, Uniwersytet Dorpat .

Podręczniki

•   do Carmo, Manfredo P. Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni. Poprawione i zaktualizowane wydanie drugie. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2016. xvi+510 str. ISBN 978-0-486-80699-0 , 0-486-80699-5
•   do Carmo, Manfredo Perdigão. geometria riemannowska. Przetłumaczone z drugiego wydania portugalskiego przez Francisa Flaherty'ego. Matematyka: teoria i zastosowania . Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv + 300 s. ISBN 0-8176-3490-8
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Podstawy geometrii różniczkowej. Tom. II. Interscience Tracts w czystej i stosowanej matematyce, nr 15, tom. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969 xv+470 s.
•   O’Neill, Barrett. Geometria semi-riemanna. Z zastosowaniami do teorii względności. Matematyka czysta i stosowana, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nowy Jork, 1983. xiii + 468 s. ISBN 0-12-526740-1
•     VA Toponogow. Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni. Zwięzły przewodnik . Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. xiv+206 s. ISBN 978-0-8176-4384-3 ; ISBN 0-8176-4384-2 .

Artykuły

•   Takahashi, Tsunero (1966), „Minimalne zanurzenia rozmaitości Riemanna”, Journal of the Mathematical Society of Japan , 18 (4), doi : 10,2969/jmsj/01840380 , S2CID 122849496
• Szymon, Jakub. Rozmaitości minimalne w rozmaitościach riemannowskich. Ann. z matematyki. (2) 88 (1968), 62-105.
• [1]
• [2]
• [3]

Linki zewnętrzne

• Równania Petersona-Mainardiego-Codazziego - z Wolfram MathWorld
• Równania Petersona-Codazziego