Rama Darboux

W geometrii różniczkowej powierzchni rama Darboux jest naturalną ruchomą ramą zbudowaną na powierzchni. Jest to odpowiednik ramy Freneta-Serreta w zastosowaniu do geometrii powierzchni. Ramka Darboux istnieje w dowolnym punkcie poza pępkiem powierzchni osadzonej w przestrzeni euklidesowej . Jej nazwa pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka Jeana Gastona Darboux .

Ramka Darboux osadzonej krzywej

Niech S będzie zorientowaną powierzchnią w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej E ³ . Konstrukcja ram Darboux na S najpierw uwzględnia ramy poruszające się wzdłuż krzywej w S , a następnie specjalizuje się, gdy krzywe poruszają się w kierunku głównych krzywizn .

Definicja

W każdym punkcie p zorientowanej powierzchni można dołączyć jednostkowy wektor normalny u ( p ) w unikalny sposób, gdy tylko zostanie wybrana orientacja normalnej w dowolnym ustalonym punkcie. Jeśli γ ( s ) jest krzywą w S , sparametryzowaną długością łuku, to rama Darboux γ jest zdefiniowana przez

$T} (s) = \ gamma '(s)}$ ( styczna jednostkowa )

${$

$\ Displaystyle \ mathbf {u} (s) = \ mathbf {u} (\ gamma (s)),}$ ( jednostka normalna )

$\ Displaystyle \ mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}$ ( styczna normalna )

Potrójne T , t , u definiuje dodatnio zorientowaną bazę ortonormalną dołączoną do każdego punktu krzywej: naturalną ruchomą ramkę wzdłuż osadzonej krzywej.

Krzywizna geodezyjna, krzywizna normalna i skręcenie względne

Krzywa na powierzchni. Ramka Freneta – Serreta: styczna na czerwono, normalna (Frenet) na niebiesko i binormalna na fioletowo. Ramka Darboux: styczna na czerwono, normalna do powierzchni na niebiesko i styczna na zielono. Rzuty wzdłuż normalnej powierzchni i stycznej normalnej przedstawiają płaskie krzywe, których krzywizny są odpowiednio krzywizną geodezyjną i krzywizną normalną.

Należy zauważyć, że rama Darboux dla krzywej nie daje naturalnej ruchomej ramki na powierzchni, ponieważ nadal zależy od początkowego wyboru wektora stycznego. Aby uzyskać ruchomą ramkę na powierzchni, najpierw porównujemy ramkę Darboux γ z ramką Freneta-Serreta. Pozwalać

• ${\ Displaystyle \ mathbf {T} (s) = \ gamma '(s)}$ ( jednostka styczna , jak wyżej)
• ${\ Displaystyle \ mathbf {N} (s) = {\ Frac {\ mathbf {T} '(s)} {\|\ mathbf { T} '(s)\|}},}$ ( wektor normalny Freneta )
• ${\ Displaystyle \ mathbf {B} (s) = \ mathbf {T} (s) \ razy \ mathbf {N} (s)}$ ( Freneta wektor dwunormalny ).

Ponieważ wektory styczne są takie same w obu przypadkach, istnieje unikalny kąt α taki, że obrót w płaszczyźnie N i B tworzy parę t i u :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {T} \\\ mathbf {t} \\\ mathbf {u} \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1&0&0\\0&\ cos \ alpha & \sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end {bmacierz}}.}$

Biorąc różnicę i stosując wzory Freneta – Serreta, uzyskuje się

$\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname { d} {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \, \mathrm {d} s&-\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s\\-\kappa \cos \alpha \,\mathrm {d} s&0&\tau \,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \alpha \\\kappa \sin \alpha \,\mathrm {d} s&-\tau \,\mathrm {d} s-\mathrm {d} \alpha &0\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&\kappa _{g}\,\mathrm { d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\-\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\ -\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\,\mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\ mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Gdzie:

• κ _g jest geodezyjną krzywizną krzywej,
• κ _n jest normalną krzywizną krzywej, a
• τ _r jest względnym skręcaniem (zwanym także skręcaniem geodezyjnym ) krzywej.

Rama Darboux na powierzchni

Ta sekcja specjalizuje się w przypadku ramy Darboux na krzywej do przypadku, gdy krzywa jest główną krzywizną powierzchni ( linią krzywizny ). W takim przypadku, ponieważ główne krzywe są kanonicznie powiązane z powierzchnią we wszystkich punktach innych niż pępowinowe , rama Darboux jest kanoniczną ramą ruchomą .

Trójścian

Trójścian Darboux składający się z punktu P i trzech wektorów ortonormalnych e ₁ , e ₂ , e ₃ opartych na P .

Wprowadzenie trójścianu (lub trièdre ), wynalazku Darboux, pozwala na koncepcyjne uproszczenie problemu przesuwania ramek na krzywych i powierzchniach poprzez jednolite traktowanie współrzędnych punktu na krzywej i wektorów ramy. Trójścian _się z punktu P w przestrzeni euklidesowej i trzech wektorów ortonormalnych e ₁ , e ₂ i e 3 opartych na punkcie P . Poruszający się trójścian to trójścian, którego składowe zależą od jednego lub więcej parametrów. Na przykład trójścian porusza się po krzywej, jeśli punkt P zależy od pojedynczego parametru s , a P ( s ) wyznacza krzywą. Podobnie, jeśli P ( s , t ) zależy od pary parametrów, to wyznacza to powierzchnię.

Mówimy, że trójkąt jest dostosowany do powierzchni , jeśli P zawsze leży na powierzchni, a e ₃ jest zorientowaną jednostką prostopadłą do powierzchni w P . W przypadku ramki Darboux wzdłuż osadzonej krzywej, poczwórna

( P. ( s ) = γ ( s ), mi ₁ ( s ) = T ( s ), mi ₂ ( s ) = t ( s ), mi ₃ ( s ) = u ( s ))

definiuje czworościan dostosowany do powierzchni, w której osadzona jest krzywa.

W odniesieniu do tego trójścianu czytamy równania strukturalne

${\ Displaystyle \ operatorname {d} {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {P} \\\ mathbf {T} \\\ mathbf {t} \\\ mathbf {u} \ koniec {bmatrix}} = {\ rozpocząć {bmatrix}0&\mathrm {d} s&0&0\\0&0&\kappa _{g}\,\mathrm {d} s&\kappa _{n}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{g }\,\mathrm {d} s&0&\tau _{r}\,\mathrm {d} s\\0&-\kappa _{n}\,\mathrm {d} s&-\tau _{r}\, \mathrm {d} s&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}} .}$

Zmiana ramy

Załóżmy, że dowolny inny dostosowany trójścian

( P , mi ₁ , mi ₂ , mi ₃ )

jest podany dla osadzonej krzywej. Ponieważ z definicji P pozostaje tym samym punktem na krzywej, co w przypadku trójścianu Darboux, a e ₃ = u jest jednostką normalną, ten nowy trójścian jest powiązany z trójścianem Darboux przez obrót postaci

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {P} \\\ mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \ theta &\sin \theta &0\\0&-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {P} \\\mathbf {T} \\ \mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmacierz}}}$

gdzie θ = θ( s ) jest funkcją s . Biorąc różniczkę i stosując równanie Darboux, otrzymujemy

$Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {d} \ mathbf {P} & =$

gdzie (ω ⁱ ,ω _i ^j ) są funkcjami s , spełniającymi

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ omega ^ {1} i = \ sałata \ teta \, \ argumentacja {d} s,\quad \omega ^{2}=-\sin \theta \,\mathrm {d} s\\\omega _{i}^{j}&=-\omega _{j}^ {i}\\\omega _{1}^{2}&=\kappa _{g}\,\mathrm {d} s+\mathrm {d} \theta \\\omega _{1}^{3} &=(\kappa _{n}\cos \theta +\tau _{r}\sin \theta )\,\mathrm {d} s\\\omega _{2}^{3}&=-(\ kappa _{n}\sin \theta +\tau _{r}\cos \theta )\,\mathrm {d} s\end{wyrównane}}}$

Równania struktury

Lemat Poincarégo zastosowany do każdej podwójnej różniczki dd P , dd e _i daje następujące równania struktury Cartana . od dd P = 0,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {d} \ omega ^{1}&=\omega ^{2}\wedge \omega _{2}^{1}\\\mathrm {d} \omega ^{2}&=\omega ^{1}\klin \omega _ {1}^{2}\\0&=\omega ^{1}\klin \omega _{1}^{3}+\omega ^{2}\klin \omega _{2}^{3}\end {wyrównany}}}$

od dd mi _i = 0,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ operatorname {d} \omega _{1}^{2}&=\omega _{1}^{3}\klin \omega _{3}^{2}\\\mathrm {d} \omega _{1}^{3 }&=\omega _{1}^{2}\klin \omega _{2}^{3}\\\mathrm {d} \omega _{2}^{3}&=\omega _{2} ^{1}\klin \omega _{1}^{3}\end{wyrównane}}}$

Te ostatnie to równania Gaussa-Codazziego dla powierzchni, wyrażone w języku form różniczkowych.

Krzywe główne

Rozważmy drugą podstawową formę S . To jest symetryczna forma 2 na S dana przez

${\ Displaystyle \ operatorname {I \! I} = - \ operatorname {d} \ mathbf {N} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {P} = \ omega _ {1} ^ {3} \ odot \ omega ^{1}+\omega _{2}^{3}\odot \omega ^{2}={\begin{pmatrix}\omega ^{1}&\omega ^{2}\end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix}ii_{11}&ii_{12}\\ii_{21}&ii_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega ^{1}\\\omega ^{2}\ koniec {pmacierz}}.}$

Zgodnie z _twierdzeniem widmowym istnieje pewien wybór układu ( ei ) , w którym ( iiij ) jest macierzą diagonalną _. Wartości własne to główne krzywizny powierzchni. Układ diagonalizujący a ₁ , a ₂ , a ₃ składa się z wektora normalnego a ₃ i dwóch kierunków głównych a ₁ i a ₂ . Na powierzchni nazywa się to ramką Darboux. Rama jest kanonicznie zdefiniowana (na przykład przez uporządkowanie wartości własnych) z dala od pępowiny powierzchni.

Ruchome ramki

Rama Darboux jest przykładem naturalnej ruchomej ramy zdefiniowanej na powierzchni. Z niewielkimi modyfikacjami, pojęcie poruszającej się ramy można uogólnić na hiperpowierzchnię w n - wymiarowej przestrzeni euklidesowej , a nawet na dowolną osadzoną podrozmaitość . To uogólnienie jest jednym z wielu wkładów Élie Cartana w metodę przesuwania ramek.

Ramy w przestrzeni euklidesowej

Rama (euklidesowa) w przestrzeni euklidesowej E ⁿ jest wielowymiarowym odpowiednikiem trójścianu. Jest zdefiniowany jako ( n + 1)-krotka wektorów wylosowanych z E ⁿ , ( v ; f ₁ , ..., f _n ), gdzie:

• v jest wyborem pochodzenia E n ^, oraz
• ( f ₁ , ..., f _n ) jest ortonormalną bazą przestrzeni wektorowej opartej na v .

Niech F ( n ) będzie zbiorem wszystkich ramek euklidesowych. Grupa euklidesowa działa na F ( n ) w następujący sposób. Niech φ ∈ Euc( n ) będzie elementem grupy euklidesowej rozkładającej się jako

${\ Displaystyle \ phi (x) = Ax + x_ {0}}$

₀ gdzie A jest transformacją ortogonalną , a x jest translacją. Następnie na ramie,

${\ Displaystyle \ fi (v; f_ {1}, \ kropki, f_ {n}): = (\ fi (v); Af_ {1}, \ kropki, Af_ {n}).}$

Geometrycznie grupa afiniczna przesuwa początek w zwykły sposób i działa poprzez obrót ortogonalnych wektorów bazowych, ponieważ są one „przyłączone” do określonego wyboru pochodzenia. Jest to efektywne i przechodnie działanie grupowe , więc F ( n ) jest główną jednorodną przestrzenią Euc( n ).

Równania struktury

Zdefiniujmy następujący układ funkcji F ( n ) → E ⁿ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P (v; f_ {1}, \ kropki, f_ {n}) & = v \\ e_ {i} (v; f_ {1}, \ kropki, f_ {n} )&=f_{i},\qquad i=1,2,\dots ,n.\end{wyrównane}}}$

Szczególne znaczenie ma operator projekcji P. Odwrotny obraz punktu P ⁻¹ ( v ) składa się ze wszystkich baz ortonormalnych z punktem bazowym w punkcie v . W szczególności P : F ( n ) → E ⁿ przedstawia F ( n ) jako wiązkę główną , której grupą strukturalną jest grupa ortogonalna O ( n ). (W rzeczywistości ta wiązka główna jest po prostu wiązką tautologiczną przestrzeni jednorodnej F ( n ) → F ( n )/O( n ) = E ⁿ .)

Zewnętrzna pochodna P (traktowana jako forma różniczkowa o wartościach wektorowych ) rozkłada się jednoznacznie jako

${\ Displaystyle \ operatorname {d} P = \ suma _ {i} \ omega ^ {i} e_ {i}, \,}$

dla pewnego układu jednopostaci o wartościach skalarnych ω ⁱ . Podobnie istnieje macierz n × n jednopostaciowych (ω _i ^j ) taka, że

${\ Displaystyle \ operatorname {d} e_ {i} = \ suma _ {j} \ omega _ {i} ^ {j} e_ {j}.}$

Ponieważ e _i są ortonormalne pod iloczynem wewnętrznym przestrzeni euklidesowej, macierz form 1 ω _i ^j jest skośno-symetryczna . W szczególności jest to jednoznacznie określone przez jego górną trójkątną część (ω _j ⁱ | i < j ). Układ n ( n + 1) / 2 jednoform (ω ⁱ , ω _j ⁱ ( i < j )) daje absolutną równoległość F ( n ), ponieważ każda z różnic współrzędnych może być wyrażona w ich kategoriach. Pod działaniem grupy euklidesowej formy te przekształcają się w następujący sposób. ^się z translacji vi i macierzy rotacji ( A _j ⁱ ). Następnie łatwo sprawdzić niezmienniczość pochodnej zewnętrznej przy wycofaniu :

${\ Displaystyle \ phi ^ {*} (\ omega ^ {i}) = (A ^ {- 1}) _ {j} ^ {i} \omega ^{j}}$

${\ Displaystyle \ fi ^ {*} (\ omega _ {j} ^ {i}) = (A ^ {-1}) _ {p} ^ {i} \, \ omega _ {q} ^ {p} \,A_{j}^{q}.}$

Ponadto, na mocy lematu Poincarégo , mamy następujące równania struktury

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ omega ^ {i} = - \ omega _ {j} ^ {i} \ klin \ omega ^ {j}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ omega _ {j} ^ {i} = - \ omega _ {k} ^ {i} \ klin \ omega _ {j} ^ {k}.}$

Dostosowane układy i równania Gaussa-Codazziego

Niech φ : M → E ⁿ będzie osadzeniem p -wymiarowej rozmaitości gładkiej w przestrzeni euklidesowej. Przestrzeń przystosowanych ramek na M , oznaczona tutaj przez F _φ ( M ) jest zbiorem krotek ( x ; f ₁ ,..., f _n ) gdzie x ∈ M , a fi _tworzą bazę ortonormalną E ⁿ takie, że f ₁ ,..., f _p są styczne do φ( M ) w φ( v ).

Rozważono już kilka przykładów dostosowanych ramek. Pierwszy wektor T układu Freneta – Serreta ( T , N , B ) jest styczny do krzywej, a wszystkie trzy wektory są wzajemnie ortonormalne. Podobnie układ Darboux na powierzchni jest układem ortonormalnym, którego pierwsze dwa wektory są styczne do powierzchni. Dostosowane układy są przydatne, ponieważ formy niezmienne (ω ⁱ , ω _j ⁱ ) wycofują się wzdłuż φ, a równania strukturalne są zachowywane w ramach tego wycofywania. W rezultacie powstały system form dostarcza informacji strukturalnych o tym, jak M jest usytuowane w przestrzeni euklidesowej. W przypadku układu Freneta-Serreta równania strukturalne są dokładnie wzorami Freneta-Serreta, które służą do całkowitej klasyfikacji krzywych aż do ruchów euklidesowych. Ogólny przypadek jest analogiczny: równania strukturalne dla dostosowanego układu ramek klasyfikują dowolne osadzone podrozmaitości aż do ruchu euklidesowego.

Szczegółowo, projekcja π : F ( M ) → M określona przez π ( x ; f _i ) = x daje F ( M ) strukturę głównej wiązki na M (grupa struktury dla wiązki to O ( p ) × O( n − p ).) Ta wiązka główna _jest osadzona w wiązce ramek euklidesowych F ( n ) przez φ ( v ; fi ) := (φ ( v ); fi _ja ) ∈ F ( n ). Stąd możliwe jest zdefiniowanie wycofań form niezmiennych z F ( n ):

${\ Displaystyle \ theta ^ {i} = \ phi ^ {*} \ omega ^ {i}, \ quad \ theta _ {j} ^ {i} = \ phi ^ {*} \ omega _ {j} ^ { I}.}$

Ponieważ pochodna zewnętrzna jest równoważna przy wycofaniach, obowiązują następujące równania strukturalne

${\ Displaystyle \ operatorname {d} \ theta ^ {i} = - \ theta _ {j} ^ {i} \ klin \ theta ^ {j}, \ quad \ operatorname {d} \ theta _ {j} ^ { i}=-\theta _{k}^{i}\klin \theta _{j}^{k}.}$

Ponadto, ponieważ niektóre wektory układu f ₁ ... f _p są styczne do M , podczas gdy inne są normalne, równania struktury w naturalny sposób dzielą się na udział styczny i normalny. Niech małe indeksy łacińskie a , b , c mieszczą się w zakresie od 1 do p (tj. indeksy styczne), a indeksy greckie μ, γ mieszczą się w zakresie od p + 1 do n (tj. indeksy normalne). Pierwsza uwaga jest taka

${\ Displaystyle \ teta ^ {\ mu} = 0, \ quad \ mu = p + 1, \ kropki, n}$

ponieważ formy te generują podrozmaitość φ( M ) (w sensie twierdzenia o integracji Frobeniusa ).

Pierwszy zestaw równań strukturalnych staje się teraz

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {tablica} l}\mathrm {d} \theta ^{a}=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{a}\klin \theta ^{b}\\\\0 =\mathrm {d} \theta ^{\mu }=-\sum _{b=1}^{p}\theta _{b}^{\mu }\wedge \theta ^{b}\end{tablica }}\prawo\}\,\,\,(1)}$

Spośród nich ten ostatni implikuje to z lematu Cartana

${\ Displaystyle \ teta _ {b} ^ {\ mu} = s_ {ab} ^ {\ mu} \ teta ^ {a}}$

gdzie s ^μ _ab jest symetryczne na a i b ( drugie podstawowe formy φ ( M )). Stąd równania (1) są wzorami Gaussa (patrz równania Gaussa – Codazziego ). W szczególności θ _b ^a jest formą połączenia dla połączenia Levi-Civita na M .

Drugie równania strukturalne również dzielą się na następujące

${\ Displaystyle \ lewo. {\ rozpocząć {tablica} {l} \ operatorname {d} \ teta _ {b} ^ {a} + \ suma _ {c = 1} ^ {p} \theta _{c}^{a}\klin \theta _{b}^{c}=\Omega _{b}^{a}=-\sum _{\mu =p+1}^{n} \theta _{\mu }^{a}\wedge \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{b}^{\gamma }=-\sum _{ c=1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\klin \theta _{b}^{c}-\sum _{\mu =p+1}^{n}\theta _ {\mu }^{\gamma }\klin \theta _{b}^{\mu }\\\\\mathrm {d} \theta _{\mu }^{\gamma }=-\suma _{c =1}^{p}\theta _{c}^{\gamma }\klin \theta _{\mu }^{c}-\sum _{\delta =p+1}^{n}\theta _ {\delta}^{\gamma}\klin \theta _{\mu}^{\delta}\end{tablica}}\right\}\,\,\,(2)}$

Pierwszym równaniem jest równanie Gaussa , które wyraża postać krzywizny Ω M w odniesieniu do drugiej postaci podstawowej. Drugim jest równanie Codazziego-Mainardiego , które wyraża kowariantne pochodne drugiej postaci podstawowej w kategoriach normalnego połączenia. Trzecim jest równanie Ricciego .

Zobacz też

• Pochodna Darboux
• Formularz Maurera-Cartana

Notatki

• Cartan, Elie (1937). La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielletricées par la méthode du repère mobile . Gauthier-Villars.
• Cartan, E; Hermann, R. (1983). Geometria przestrzeni Riemanna . Math Sci Press, Massachusetts.
• Darboux, Gaston (1896) [1887]. Leçons sur la théorie génerale des surface (po francusku). Tom. I–IV. Gauthier-Villars.
  • —— (1887). Leçons sur la théorie génerale des surface (po francusku). Tom. I. Paryż: Gauthier-Villars – za pośrednictwem University of Michigan Historical Math Collection.
  • —— (1915). Leçons sur la théorie génerale des surface (po francusku). Tom. II. Paryż: Gauthier-Villars – za pośrednictwem University of Michigan Historical Math Collection.
  • —— (1894). Leçons sur la théorie génerale des surface (po francusku). Tom. III. Paryż: Gauthier-Villars – za pośrednictwem University of Michigan Historical Math Collection.
  • —— (1896). Leçons sur la théorie génerale des surface (po francusku). Tom. IV. Paryż: Gauthier-Villars – za pośrednictwem University of Michigan Historical Math Collection.
•   Guggenheimer, Heinrich (1977). „Rozdział 10. Powierzchnie”. Geometria różniczkowa . Dover. ISBN 0-486-63433-7 .
•   Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom 3) . Opublikuj lub zgiń. ISBN 0-914098-72-1 .
•   Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej (tom 4) . Opublikuj lub zgiń. ISBN 0-914098-73-X .
• Sternberg, Szlomo (1964). Wykłady z geometrii różniczkowej . Prentice Hall.