Całkowita krzywizna absolutna

W geometrii różniczkowej całkowita bezwzględna krzywizna gładkiej krzywej jest liczbą określoną przez całkowanie wartości bezwzględnej krzywizny wokół krzywej. Jest to bezwymiarowa wielkość , która jest niezmienna przy przekształceniach podobieństwa krzywej i której można użyć do zmierzenia, jak daleko krzywa jest od krzywej wypukłej .

Jeśli krzywa jest sparametryzowana długością łuku , całkowitą krzywiznę bezwzględną można wyrazić wzorem

${\ Displaystyle \ int |\ kappa (s) | ds,}$

gdzie s to parametr długości łuku, a κ to krzywizna. Jest to prawie to samo, co wzór na całkowitą krzywiznę , ale różni się tym, że używa wartości bezwzględnej zamiast krzywizny ze znakiem.

Ponieważ całkowita krzywizna prostej zamkniętej krzywej w płaszczyźnie euklidesowej wynosi zawsze dokładnie 2 π , całkowita bezwzględna krzywizna prostej zamkniętej krzywej również zawsze wynosi co najmniej 2 π . Jest to dokładnie 2 π dla krzywej wypukłej i większe niż 2 π , gdy krzywa ma jakiekolwiek niewypukłości. Kiedy gładka, prosta, zamknięta krzywa podlega przepływowi skracającemu krzywą , jego całkowita krzywizna bezwzględna maleje monotonicznie, aż krzywa stanie się wypukła, po czym jej całkowita krzywizna bezwzględna pozostaje ustalona na poziomie 2 π , aż krzywa zapadnie się do punktu.

Całkowitą krzywiznę bezwzględną można również zdefiniować dla krzywych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Ponownie, wynosi co najmniej 2 π (jest to twierdzenie Fenchela ), ale może być większe. Jeśli krzywa przestrzenna jest otoczona kulą, całkowita bezwzględna krzywizna kuli jest równa oczekiwanej wartości centralnego rzutu krzywej na płaszczyznę styczną do losowego punktu kuli. Zgodnie z twierdzeniem Fáry'ego-Milnora każdy nietrywialny gładki węzeł musi mieć całkowitą absolutną krzywiznę większą niż 4 π .