Twierdzenie Fenchela

Twierdzenie Fenchela
Typ	Twierdzenie
Pole	Geometria różniczkowa
Oświadczenie	Gładka krzywa w przestrzeni zamkniętej ma całkowitą absolutną krzywiznę , z równością wtedy i tylko wtedy, gdy jest to wypukła płaska krzywa
Pierwszy podany przez	Wernera Fenchela
Pierwszy dowód w	1929

W geometrii różniczkowej twierdzenie Fenchela jest nierównością dotyczącą całkowitej bezwzględnej krzywizny zamkniętej gładkiej przestrzeni krzywej , stwierdzając , że zawsze jest to co najmniej ${\ displaystyle 2 \ pi}$ . $Równoważnie$ średnia krzywizna $.$ najmniej gdzie krzywej Jedynymi krzywymi tego typu, których całkowita bezwzględna krzywizna jest równa ${\ displaystyle 2 \ pi / l}$ i których średnia krzywizna jest równa ${\ displaystyle 2 \ pi / L},$ to płaskie krzywe wypukłe . Twierdzenie nosi imię Wernera Fenchela , który opublikował je w 1929 roku.

Twierdzenie Fenchela jest wzmocnione twierdzeniem Fáry'ego – Milnora , które mówi, że jeśli zamknięta gładka prosta krzywa przestrzenna jest nietrywialnie zawiązana , to całkowita bezwzględna krzywizna jest większa niż $4π$ .

Dowód

${\ Displaystyle \ gamma = {\ kropka {\ alfa}}: [0, L] \ do \ mathbb {S} ^ {2}}$ $z$ zamkniętą krzywą jednostkową jest również zamkniętą gładką krzywą. Całkowita bezwzględna krzywizna to jej długość. ${\ Displaystyle l (\ gamma)}$ .

Krzywa nie leży na otwartej $.$ Jeśli tak, to istnieje takie, że ${\ Displaystyle v \ in \ mathbb {S} ^ {2}}$ takie, że ${\ Displaystyle \ gamma \ cdot v> 0}$ , więc ${\ Displaystyle \ textstyle 0 = (\ alfa (1) - \ alfa (0)) \ cdot v = \ int _ {0} ^{L}\gamma (t)\cdot v\,\mathrm {d} t>0}$ , sprzeczność. $krzywą$ $leży$ że jeśli na zamkniętej $,$ jest płaską

Rozważmy punkt taki, że krzywe $0, T])}$ $\ displaystyle \gamma ([T,L])}$ $[$ i mają taką samą długość. Obracając kulę, możemy założyć $,$ $są$ względem przechodzącej W poprzednim akapicie przynajmniej jedna z dwóch krzywych ${\ Displaystyle \ gamma ([0, T])}$ i ${\ Displaystyle \ gamma ([T, L]}}$ przecina się z równikiem w pewnym punkcie ${\ displaystyle p}$ . Tę krzywą oznaczamy przez ${\ displaystyle \ gamma _ {0}}$ . l ${\ Displaystyle l (\ gamma) = 2l (\ gamma _ {0})$ .

Odbijamy w poprzek płaszczyzny przez $,$ ${\ Displaystyle \ gamma (0)}$ γ $\ Displaystyle \ gamma (T)}$ i biegun północny, tworząc γ {\ Displaystyle \ γ $\ Displaystyle \ gamma _ {1}}$ ${\ Displaystyle l (\ gamma _ { 1})=2l(\gamma_{0})}$ zawierający antypodalne punkty ${\ Displaystyle \ pm p}$ o długości . Krzywa łącząca $displaystyle$ co najmniej , czyli długość wielkiego półkola pomiędzy $±$ $}$ . Więc $2 \ pi}$ $geq$ , a jeśli zachodzi równość, to nie przecina równika.

${\ Displaystyle l (\ gamma) = 2l (\ gamma _ {0}) = l (\ gamma _ {1})$ l $leży$ a jeśli zachodzi równość, to w zamkniętej półkuli, a zatem $jest$ płaską.

do Carmo, Manfredo P. (2016). Różniczkowa geometria krzywych i powierzchni (poprawione i zaktualizowane drugie wydanie oryginalnego wydania z 1976 r.). Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . MR 3837152 . Zbl 1352.53002 .
Fenchel, Werner (1929). „Über Krümmung und Windung geschlossener Raumkurven” . Mathematische Annalen (w języku niemieckim). 101 (1): 238–252. doi : 10.1007/bf01454836 . JFM 55.0394.06 . MR 1512528 . S2CID 119908321 .
Fenchel, Werner (1951). „O geometrii różniczkowej krzywych w przestrzeni zamkniętej” . Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 57 (1): 44–54. doi : 10.1090/S0002-9904-1951-09440-9 . MR 0040040 . Zbl 0042.40006 . ; patrz zwłaszcza równanie 13, strona 49
O'Neill, Barrett (2006). Elementarna geometria różniczkowa (poprawione drugie wydanie oryginalnego wydania z 1966 r.). Amsterdam: prasa akademicka . doi : 10.1016/C2009-0-05241-6 . ISBN 978-0-12-088735-4 . MR 2351345 . Zbl 1208.53003 .
Spivak, Michael (1999). Kompleksowe wprowadzenie do geometrii różniczkowej. Tom. III (trzecie wydanie oryginalnego wydania z 1975 r.). Wilmington, DE: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-72-1 . MR 0532832 . Zbl 1213.53001 .