Twierdzenie o dualności Fenchela

W matematyce twierdzenie Fenchela o dualności jest wynikiem teorii funkcji wypukłych, nazwanej na cześć Wernera Fenchela .

Niech ƒ będzie odpowiednią funkcją wypukłą na R ⁿ i niech g będzie odpowiednią funkcją wklęsłą na R ⁿ . Wtedy, jeśli spełnione są warunki regularności,

{\ Displaystyle \ inf _ {x} (f (x) -g (x)) = \ sup _ {p} (g_ {*} (p) -f ^ {*} (p)).}

gdzie ƒ ^* jest koniugatem wypukłym ƒ (nazywanym również transformatą Fenchela – Legendre'a), a g _* jest koniugatem wklęsłym g . To jest,

{\ Displaystyle f ^ {*} \ lewo (x ^ {*} \ prawo): = \ sup \ lewo \ {\ lewo. \ lewo \ langle x ^ {*}, x \ prawo \ rangle -f\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}} g

{\ Displaystyle g_ {*} \ lewo (x ^ {*} \ prawo): = \ inf \ lewo \ {\ lewo. \ lewo \ langle x ^ {*}, x \ prawo \ rangle - g\left(x\right)\right|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}}

Twierdzenie matematyczne

Niech X i Y będą $_$ Banacha , _ $\ infty \}} być$ $}$ \ wypukłymi i ograniczoną mapą liniową . Następnie problemy Fenchela:

{\ Displaystyle p ^ {*} = \ inf _ {x \ w X} \ {f (x) + g (Ax) \} }

{\ Displaystyle d ^ {*} = \ sup _ {y ^ {*} \ w Y ^{*}}\{-f^{*}(A^{*}y^{*})-g^{*}(-y^{*})\}}

zaspokoić słabą dwoistość , tj. ${\ Displaystyle p ^ {*} \ geq d ^ {*}}$ . Zauważ $,$ że są koniugatami odpowiednio fa $g$ , _ _ Funkcja perturbacji dla tego podwójnego problemu jest dana przez ${\ Displaystyle F (x, y) = f (x) + g (Ax-y) }$ .

Załóżmy, że f , g i A spełniają którekolwiek z nich

f i g są dolne półciągłe i ${\ Displaystyle 0 \ w \ nazwa operatora {rdzeń} (\ nazwa operatora {dom} gA \ nazwa operatora {dom} f$ ) ${\ Displaystyle \ operatorname {core}}$ jest algebraicznym wnętrzem i ${\ Displaystyle \ operatorname {dom} h}$ , gdzie h jest pewną funkcją, jest zbiorem ${\ styl wyświetlania \{z:h(z)<+\infty \}}$ lub
${\ Displaystyle A \ nazwa operatora {dom} f \ cap \ nazwa operatora {kont} g \ neq \ pusty zbiór}$ gdzie ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {cd}}$ to punkty, w których funkcja jest ciągły .

Wtedy zachodzi silna dwoistość , tj. ${\ Displaystyle p ^ {*} = d ^ {*}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle d ^ {*} \ in \ mathbb {R}},$ to zostaje osiągnięte supremum .

Ilustracja jednowymiarowa

Na poniższym rysunku zilustrowano problem minimalizacji po lewej stronie równania. Stara się zmieniać x tak, aby pionowa odległość między krzywymi wypukłymi i wklęsłymi w punkcie x była jak najmniejsza. Pozycja linii pionowej na rysunku jest (przybliżona) optymalna.

Następny rysunek ilustruje problem maksymalizacji po prawej stronie powyższego równania. Styczne są rysowane do każdej z dwóch krzywych w taki sposób, że obie styczne mają to samo nachylenie p . Problem polega na dopasowaniu p w taki sposób, aby dwie styczne były jak najdalej od siebie (dokładniej tak, aby punkty, w których przecinają oś y, były jak najdalej od siebie). Wyobraź sobie dwie styczne jako metalowe pręty z pionowymi sprężynami między nimi, które odpychają je od siebie i opierają się o dwie parabole, które są unieruchomione.

Twierdzenie Fenchela stwierdza, że oba problemy mają to samo rozwiązanie. Punkty o minimalnej separacji pionowej są również punktami styczności dla maksymalnie oddalonych stycznych równoległych.

Zobacz też

Bauschke, Heinz H.; Combettes, Patrick L. (2017). „Dwoistość Fenchela – Rockafellara”. Analiza wypukła i teoria operatora monotonicznego w przestrzeniach Hilberta . Skoczek. s. 247–262. doi : 10.1007/978-3-319-48311-5_15 . ISBN 978-3-319-48310-8 .
Rockafellara, Ralpha Tyrrella (1996). Analiza wypukła . Wydawnictwo Uniwersytetu Princeton. P. 327 . ISBN 0-691-01586-4 .