Twierdzenie Moreau

W matematyce twierdzenie Moreau jest wynikiem analizy wypukłej, nazwanej na cześć francuskiego matematyka Jean -Jacquesa Moreau . Pokazuje, że dostatecznie dobrze zachowane funkcjonały wypukłe na przestrzeniach Hilberta są różniczkowalne, a pochodna jest dobrze aproksymowana przez tzw .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech H będzie przestrzenią Hilberta i niech φ : H → R ∪ {+∞} będzie właściwym , wypukłym i niższym półciągłym rozszerzonym funkcjonałem o wartościach rzeczywistych na H . Niech A oznacza ∂ φ , pochodną podrzędną φ ; dla α > 0 niech J _α oznacza rezolwent:

${\ Displaystyle J _ {\ alfa} = (\ operatorname {id} + \ alfa A) ^ {- 1};}$

i niech A _α oznacza przybliżenie Yosida do A :

${\ Displaystyle A _ {\ alfa} = {\ Frac {1} {\ alfa}} (\ operatorname {id} -J_ {\ alfa}).}$

Dla każdego α > 0 i x ∈ H , niech

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa} (x) = \ inf _ {y \ w H} {\ Frac {1} {2 \ alfa}} \ | yx \ | ^ {2} + \ varphi (y) .}$

Następnie

${\ Displaystyle \ varphi _ {\ alfa} (x) = {\ Frac {\ alfa} {2}} \ | A_{\alpha}x\|^{2}+\varphi (J_{\alpha}(x))}$

a φ _α jest wypukła i różniczkowalna Frécheta z pochodną d φ _α = A _α . Również dla każdego x ∈ H (punktowo), φ _α ( x ) zbiega się w górę do φ ( x ) jako α → 0.

•   Showalter, Ralph E. (1997). Operatory monotoniczne w przestrzeni Banacha i nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe . Ankiety matematyczne i monografie 49. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 162–163. ISBN 0-8218-0500-2 . MR 1422252 (Propozycja IV.1.8)