Dualizm Wolfe'a

W optymalizacji matematycznej dualność Wolfe'a , nazwana na cześć Philipa Wolfe'a , jest rodzajem problemu dualnego , w którym funkcja celu i ograniczenia są funkcjami różniczkowalnymi . Korzystając z tej koncepcji, można znaleźć dolną granicę problemu minimalizacji ze względu na słabą zasadę dualności .

Sformułowanie matematyczne

W przypadku problemu minimalizacji z ograniczeniami nierównościowymi

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ underset {x} {\ nazwa operatora {minimalizuj } }}&&f(x)\\&\nazwa operatora {podmiot\;do} &&g_{i}(x)\równoważnik 0,\quad i=1,\kropki ,m\koniec{wyrównane}}}

dualny problem Lagrange'a

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & {\ underset {u} {\ nazwa operatora {maksymalizuj}}} & & \ inf _ {x} \ lewo (f (x) + \ suma _ {j = 1} ^ {m }u_{j}g_{j}(x)\right)\\&\operatorname {subject\;to} &&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}} }

gdzie funkcją celu jest funkcja dualna Lagrange'a. Pod warunkiem ${$ że funkcje i są wypukłe i różniczkowalne w sposób ciągły, infimum , gradient jest równy $displaystyle$ . Problem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ underset {x, u} {\ operatorname {maksymalizować}}} & & f (x) + \ suma _ {j = 1} ^ {m }u_{j}g_{j}(x)\\&\nazwa operatora {podmiot\;do} &&\nabla f(x)+\sum _{j=1}^{m}u_{j}\nabla g_ {j}(x)=0\\&&&u_{i}\geq 0,\quad i=1,\kropki ,m\end{wyrównane}}}

nazywa się podwójnym problemem Wolfe'a. Ten problem wykorzystuje warunki KKT jako ograniczenie. $\nabla g_{j}(x)}$ ${\ Displaystyle \ nabla f (x) + \ suma _ {j = 1} ^ {m} u_ {j$ } jest ogólnie nieliniowe, więc podwójny problem Wolfe'a może być niewypukłym problemem optymalizacji. W każdym razie utrzymuje się słaba dwoistość.

Zobacz też