Twierdzenie Fáry'ego-Milnora

W matematycznej teorii węzłów twierdzenie Fáry'ego-Milnora , nazwane na cześć Istvána Fáry'ego i Johna Milnora , stwierdza, że trójwymiarowe gładkie krzywe o małej całkowitej krzywiźnie muszą być nierozwiązane . Twierdzenie zostało niezależnie udowodnione przez Fáry'ego w 1949 i Milnora w 1950. Później wykazano, że wynika ono z istnienia czworokątów ( Denne 2004 ).

Oświadczenie

Jeśli K jest dowolną zamkniętą krzywą w przestrzeni euklidesowej , która jest wystarczająco gładka , aby zdefiniować krzywiznę κ w każdym z jej punktów, i jeśli całkowita krzywizna bezwzględna jest mniejsza lub równa 4π, to K jest niepunktem , tj.:

{\ Displaystyle {\ tekst {jeśli}} \ \ punkt _ {K} | \ kappa (s) | \ \ operatorname {d} s \ równoważnik 4 \ pi, \ {\ tekst {wtedy}} \ K \ { \text{jest nieunktem}}.}

Szew piłki bejsbolowej biegnie wzdłuż bezwęzłowej krzywej z całkowitą krzywizną w przybliżeniu 4

π

. Sprawiając, że krzywa jest bardziej zawiła, można sprawić, że węzełki będą miały dowolnie dużą krzywiznę.

Przeciwieństwo mówi nam, że jeśli K nie jest węzełkiem, tj. K nie jest izotopem koła, to całkowita krzywizna będzie ściśle większa niż 4π . Zauważ, że posiadanie całkowitej krzywizny mniejszej lub równej 4 $π$ jest jedynie warunkiem wystarczającym , aby K było niewęzłem; nie jest to warunek konieczny . Innymi słowy, chociaż wszystkie węzły o całkowitej krzywiźnie mniejszej lub równej 4π są węzłami, istnieją węzły o krzywiźnie ściśle większej niż 4π.

Uogólnienia na krzywe nierówne

W przypadku zamkniętych łańcuchów wielokątnych ten sam wynik zachodzi, gdy całkę krzywizny zastąpiono sumą kątów między sąsiednimi segmentami łańcucha. Przybliżając dowolne krzywe za pomocą łańcuchów wielokątnych, można rozszerzyć definicję całkowitej krzywizny na większe klasy krzywych, w ramach których obowiązuje również twierdzenie Fáry'ego-Milnora ( Milnor 1950 , Sullivan 2008 ).

Denne, Elizabeth Jane (2004), Naprzemienne czworokąty węzłów , Ph.D. teza, University of Illinois at Urbana-Champaign, arXiv : math/0510561 , Bibcode : 2005math.....10561D .
Fary, I. (1949), „Sur la courbure totale d'une courbe gauche faisant un nœud” , Bulletin de la Société Mathématique de France , 77 : 128–138 .
Milnor, JW (1950), „O całkowitej krzywiźnie węzłów”, Annals of Mathematics , 52 (2): 248–257, doi : 10,2307/1969467 .
Sullivan, John M. (2008), „Krzywe o skończonej krzywiźnie całkowitej”, Dyskretna geometria różniczkowa , Oberwolfach Semin., tom. 38, Birkäuser, Basel, s. 137–161, arXiv : math/0606007 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_7 , MR 2405664 .

Linki zewnętrzne

Fenner, Stephen A. (1990), Całkowita krzywizna węzła (długa) . Fenner opisuje geometryczny dowód twierdzenia i powiązanego twierdzenia, że każda gładka krzywa zamknięta ma całkowitą krzywiznę co najmniej 2π.