Przepływ skracający krzywą

Zbieżność krzywej wypukłej do koła pod przepływem skracającym krzywą. Krzywe wewnętrzne (jaśniejszy kolor) to płynne wersje krzywych zewnętrznych. Przedziały czasowe między krzywymi nie są jednolite.

W matematyce przepływ skracający krzywą to proces, który modyfikuje gładką krzywą w płaszczyźnie euklidesowej , przesuwając jej punkty prostopadle do krzywej z prędkością proporcjonalną do krzywizny . Przepływ skracający krzywą jest przykładem przepływu geometrycznego i jest jednowymiarowym przypadkiem przepływu o średniej krzywiźnie . Inne nazwy tego samego procesu to euklidesowy przepływ skracający , geometryczny przepływ ciepła i ewolucja długości łuku .

Gdy punkty dowolnej gładkiej, prostej, zamkniętej krzywej poruszają się w ten sposób, krzywa pozostaje prosta i gładka. Traci powierzchnię w stałym tempie, a jej obwód zmniejsza się tak szybko, jak to możliwe dla każdej ciągłej ewolucji krzywej. Jeśli krzywa nie jest wypukła, jej całkowita krzywizna bezwzględna maleje monotonicznie, aż stanie się wypukła. Po wypukłości stosunek izoperymetryczny krzywej zmniejsza się, gdy krzywa zbiega się do kształtu kołowego, zanim zapadnie się do pojedynczego punktu osobliwości. Jeśli wyewoluują dwie rozłączne proste gładkie zamknięte krzywe, pozostaną one rozłączne, dopóki jedna z nich nie zapadnie się w punkt. Koło jest jedyną prostą zamkniętą krzywą, która zachowuje swój kształt pod wpływem przepływu skracającego krzywą, ale niektóre krzywe, które przecinają się lub mają nieskończoną długość, zachowują swój kształt, w tym krzywa ponurego żniwiarza, nieskończona krzywa, która przesuwa się w górę i spirale, które się obracają zachowując ten sam rozmiar i kształt.

Przybliżenie przepływu skracającego krzywą można obliczyć numerycznie, przybliżając krzywą jako wielokąt i stosując metodę różnic skończonych do obliczenia ruchu każdego wierzchołka wielokąta. Alternatywne metody obejmują obliczenie splotu wierzchołków wielokątów, a następnie ponowne próbkowanie wierzchołków na wynikowej krzywej lub wielokrotne stosowanie filtra mediany do obrazu cyfrowego , którego czarno-białe piksele reprezentują wewnętrzną i zewnętrzną część krzywej.

Przepływ skracający krzywą był pierwotnie badany jako model wyżarzania blach. Później zastosowano go w analizie obrazu, aby uzyskać wieloskalową reprezentację kształtów. Może również modelować systemy reakcja-dyfuzja i zachowanie automatów komórkowych . Przepływ skracający krzywą można wykorzystać do znalezienia geodezji zamkniętej na rozmaitościach riemannowskich oraz jako model zachowania przepływów o wyższych wymiarach.

Definicje

Przepływ to proces, w którym punkty przestrzeni w sposób ciągły zmieniają swoje położenie lub właściwości w czasie . Mówiąc dokładniej, w jednowymiarowym przepływie geometrycznym , takim jak przepływ skracający krzywą, punkty podlegające przepływowi należą do krzywej , a tym, co się zmienia, jest kształt krzywej, jej osadzenie w płaszczyźnie euklidesowej określonej przez położenie każdego z jego punktów. W przepływie skracania krzywej każdy punkt krzywej przesuwa się w kierunku wektora normalnego do krzywej, z szybkością proporcjonalną do krzywizny . Dla ewoluującej krzywej reprezentowanej przez dwuparametrową funkcję $C (s, t)$ , gdzie $s$ parametryzuje długość łuku wzdłuż krzywej, a $t$ parametryzuje czas ewolucji krzywej, przepływ skracający krzywą można opisać paraboliczną częściową równanie różniczkowe

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe C} {\ częściowe t}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} C} {\ częściowe s ^ {2}}}=\kappa n,}

postać równania ciepła , gdzie $κ$ jest krzywizną, a $n$ jest jednostkowym wektorem normalnym.

Ponieważ na składniki tego równania, długość łuku, krzywiznę i czas, nie mają wpływu przesunięcia i obroty płaszczyzny euklidesowej, wynika z tego, że przepływ zdefiniowany przez to równanie jest niezmienny w przypadku przesunięć i obrotów (a dokładniej równoważny ) . Jeśli płaszczyzna jest skalowana przez stały współczynnik dylatacji, przepływ pozostaje zasadniczo niezmieniony, ale jest spowalniany lub przyspieszany o ten sam współczynnik.

Nierówne krzywe

Aby przepływ był dobrze zdefiniowany, dana krzywa musi być wystarczająco gładka, aby miała ciągłą krzywiznę. Jednak po rozpoczęciu przepływu krzywa staje się analityczna i pozostaje taka aż do osiągnięcia osobliwości, przy której krzywizna eksploduje. W przypadku gładkiej krzywej bez przecięć jedyna możliwa osobliwość ma miejsce, gdy krzywa zapada się do punktu, ale krzywe zanurzone mogą mieć inne rodzaje osobliwości. W takich przypadkach, z pewną ostrożnością, możliwe jest kontynuowanie przepływu poza te osobliwości, aż cała krzywa skurczy się do jednego punktu.

W przypadku prostej krzywej zamkniętej, wykorzystującej rozszerzenie przepływu do krzywych nierównych w oparciu o metodę ustawiania poziomu , istnieją tylko dwie możliwości. Krzywe o zerowej mierze Lebesgue'a (w tym wszystkie wielokąty i krzywe wygładzone fragmentami) natychmiast ewoluują w gładkie krzywe, po czym ewoluują tak, jak każda gładka krzywa. Jednak krzywe Osgooda z niezerową miarą zamiast tego natychmiast ewoluują w topologiczny pierścień z niezerowym obszarem i gładkimi granicami. Krzywa sinusoidalna topologa jest przykładem, który natychmiast staje się gładki, mimo że nie jest nawet lokalnie połączony ; przykłady takie jak ten pokazują, że odwrotna ewolucja przepływu skracającego krzywą może doprowadzić dobrze zachowujące się krzywe do skomplikowanych osobliwości w skończonym czasie.

Powierzchnie nieeuklidesowe

Przepływ skracający krzywą i wiele wyników dotyczących przepływu skracającego krzywą można uogólnić z płaszczyzny euklidesowej na dowolną dwuwymiarową rozmaitość riemannowską . Aby uniknąć dodatkowych typów osobliwości, ważne jest, aby rozmaitość była wypukła w nieskończoności ; definiuje się to w ten sposób, że każdy zbiór zwarty ma zwartą otoczkę wypukłą , jak zdefiniowano za pomocą wypukłości geodezyjnej . Przepływ skracający krzywą nie może spowodować odejścia krzywej od jej wypukłej otoczki, więc ten warunek zapobiega dotarciu części krzywej do granicy rozmaitości.

Krzywe przestrzenne

Przepływ skracający krzywą badano również dla krzywych w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Wektor normalny w tym przypadku można zdefiniować (jak na płaszczyźnie) jako pochodną wektora stycznego względem długości łuku, znormalizowaną do wektora jednostkowego; jest jednym z elementów ramy Freneta-Serreta . Nie jest dobrze zdefiniowany w punktach o zerowej krzywiźnie, ale iloczyn krzywizny i wektora normalnego pozostaje dobrze zdefiniowany w tych punktach, umożliwiając zdefiniowanie przepływu skracającego krzywą. Krzywe w przestrzeni mogą się przecinać lub przecinać zgodnie z tym przepływem, a przepływ może prowadzić do osobliwości na krzywych; każda osobliwość jest asymptotyczna do płaszczyzny. Wiadomo jednak, że krzywe sferyczne i krzywe, które można rzutować ortogonalnie na regularną wypukłą płaską krzywą, pozostają proste. Krzywa skracania przepływu dla krzywych przestrzennych została wykorzystana jako sposób na zdefiniowanie przepływu poza osobliwościami w płaskich krzywych.

Poza krzywiznami

Możliwe jest rozszerzenie definicji przepływu na bardziej ogólne dane wejściowe niż krzywe, na przykład za pomocą prostowniczych zmiennych lub metody ustawiania poziomów . Jednak te rozszerzone definicje mogą pozwolić częściom krzywych na natychmiastowe zanikanie lub zagęszczanie się w zestawy o niezerowym obszarze.

W przypadku sieci krzywych wydłużenie przepływu skracającego krzywą poza osobliwość może spowodować niejednoznaczność lub tuczenie.

Powszechnie badana odmiana problemu obejmuje sieci gładkich krzywych rozłącznych wewnętrznie, ze skrzyżowaniami, w których spotykają się trzy lub więcej krzywych. Kiedy wszystkie skrzyżowania mają dokładnie trzy krzywe przecinające się pod kątem 2 $π$ /3 (te same warunki, które można zaobserwować w optymalnym drzewie Steinera lub dwuwymiarowej pianie baniek mydlanych ), przepływ jest dobrze zdefiniowany na krótką metę. Jednak może ostatecznie osiągnąć stan osobliwy z czterema lub więcej krzywymi spotykającymi się na skrzyżowaniu i może istnieć więcej niż jeden sposób kontynuowania przepływu poza taką osobliwością.

Zachowanie

Zasada unikania, promień i współczynnik rozciągania

Jeśli dwie rozłączne gładkie proste zamknięte krzywe przechodzą jednocześnie przepływ skracający krzywą, pozostają one rozłączne w miarę postępu przepływu. Powodem jest to, że jeśli dwie gładkie krzywe poruszają się w sposób, który tworzy skrzyżowanie, to w momencie pierwszego przecięcia krzywe musiałyby być styczne do siebie, bez przecinania się. Ale w takiej sytuacji krzywizny dwóch krzywych w punkcie styczności z konieczności rozdzieliłyby je, zamiast zepchnąć je razem w skrzyżowanie. Z tego samego powodu pojedyncza prosta krzywa zamknięta nigdy nie może się przeciąć. Zjawisko to znane jest jako zasada unikania.

Zasada unikania implikuje, że każda gładka krzywa zamknięta musi ostatecznie osiągnąć osobliwość, na przykład punkt o nieskończonej krzywiźnie. Bo jeśli dana gładka krzywa $C$ jest otoczona kołem, obie pozostaną rozłączne tak długo, jak długo będą istnieć. Ale otaczający okrąg kurczy się pod wpływem krzywizny, pozostając okrągłym, aż się zapadnie, a zgodnie z zasadą unikania $C$ musi pozostać w nim zawarty. Tak więc, gdyby $C$ nigdy nie osiągnął osobliwości, zostałby uwięziony w jednym punkcie w czasie, gdy okrąg się zapada, co jest niemożliwe dla gładkiej krzywej. Można to określić ilościowo, obserwując, że promień najmniejszego koła otaczającego $C$ musi zmniejszać się z szybkością co najmniej tak szybką, jak zmniejsza się promień koła przechodzącego ten sam przepływ.

Huisken (1998) określa ilościowo zasadę unikania dla pojedynczej krzywej w kategoriach stosunku długości łuku (krótszego z dwóch łuków) do odległości euklidesowej między parami punktów, czasami nazywanej współczynnikiem rozciągania . Pokazuje, że współczynnik rozciągania ściśle maleje przy każdym ze swoich lokalnych maksimów, z wyjątkiem przypadku dwóch końców średnicy koła, w którym to przypadku współczynnik rozciągania jest stały i wynosi $π$ . Ta właściwość monotoniczności implikuje zasadę unikania, ponieważ gdyby krzywa kiedykolwiek dotknęła samej siebie, współczynnik rozciągnięcia stałby się nieskończony w dwóch punktach styku.

Długość

Gdy krzywa przechodzi przepływ skracający krzywą, jej długość $L$ zmniejsza się z szybkością określoną wzorem

{\ Displaystyle {\ Frac {dL} {dt}} = - \ int \ kappa ^ {2} \, ds,}

gdzie całka jest przejęta po krzywej, $κ$ to krzywizna, a $s$ to długość łuku wzdłuż krzywej. Całka jest zawsze nieujemna, a dla każdej gładkiej krzywej zamkniętej istnieją łuki, w obrębie których jest ona ściśle dodatnia, więc długość maleje monotonicznie. Mówiąc bardziej ogólnie, dla każdej ewolucji krzywych, których prędkość normalna wynosi $f$ , tempo zmiany długości wynosi

{\ Displaystyle {\ Frac {dL} {dt}} = - \ int f \ kappa \, ds,}

co można interpretować jako zanegowany iloczyn wewnętrzny między daną ewolucją a przepływem skracającym krzywą. Zatem przepływ skracający krzywą można opisać jako przepływ gradientowy dla długości, przepływ L2 $przepływu,$ który (lokalnie) zmniejsza długość krzywej tak szybko, jak to możliwe, względem normy . Ta właściwość nadaje nazwę przepływowi skracającemu krzywą.

Obszar

W przypadku prostej krzywej zamkniętej pole ograniczone przez krzywą zmniejsza się ze stałą szybkością 2 $π$ jednostek powierzchni na jednostkę czasu, niezależnie od krzywej. Dlatego całkowity czas kurczenia się krzywej do punktu jest proporcjonalny do jej pola, niezależnie od jej początkowego kształtu. Ponieważ pole powierzchni krzywej zmniejsza się ze stałą szybkością, a (z powodu nierówności izoperymetrycznej ) koło ma największe możliwe pole spośród prostych krzywych zamkniętych o danej długości, wynika z tego, że koła są krzywymi, które najwolniej zapadają się do punktu poniżej przepływ skracający krzywą. Wszystkie inne krzywe zapadają się krócej niż okrąg o tej samej długości.

Stała szybkość zmniejszania powierzchni jest jedynym prawem zachowania , które spełnia przepływ skracający krzywą. Oznacza to, że nie jest możliwe wyrażenie „punktu zbiegu”, w którym krzywa ostatecznie się załamuje, jako całki po krzywej dowolnej funkcji jej punktów i ich pochodnych, ponieważ takie wyrażenie prowadziłoby do zakazanego drugiego prawa zachowania. Jednak łącząc stałą szybkość utraty powierzchni z zasadą unikania, można udowodnić, że punkt zbiegu zawsze leży w okręgu koncentrycznym z minimalnym okręgiem otaczającym, którego pole jest różnicą obszarów między otaczającym okręgiem a okręgiem dana krzywa.

Całkowita krzywizna absolutna

Całkowita bezwzględna krzywizna gładkiej krzywej jest całką bezwzględnej wartości krzywizny wzdłuż długości łuku krzywej,

{\ Displaystyle K = \ int | \ kappa | \, ds.}

Można to również wyrazić jako sumę kątów między wektorami normalnymi w kolejnych parach punktów przegięcia . Jest to 2 $π$ dla krzywych wypukłych i większe dla krzywych niewypukłych, służąc jako miara niewypukłości krzywej.

Nowe punkty przegięcia nie mogą być tworzone przez przepływ skracający krzywą. Każdy z kątów w reprezentacji całkowitej absolutnej krzywizny jako suma maleje monotonicznie, z wyjątkiem chwil, w których dwa kolejne punkty przegięcia osiągają ten sam kąt lub położenie i oba są eliminowane. Dlatego całkowita krzywizna bezwzględna nigdy nie może wzrosnąć wraz z ewolucją krzywej. Dla krzywych wypukłych jest stała i wynosi 2 $π$ , a dla krzywych niewypukłych maleje monotonicznie.

Twierdzenie Gage'a-Hamiltona-Graysona

Jeśli gładka prosta zamknięta krzywa przechodzi przepływ skracania krzywej, pozostaje płynnie osadzona bez samoprzecięć. W końcu stanie się wypukła , a gdy już to zrobi, pozostanie wypukła. Po tym czasie wszystkie punkty krzywej przesuną się do wewnątrz, a kształt krzywej zbiegnie się w okrąg, gdy cała krzywa skurczy się do jednego punktu. To zachowanie jest czasami podsumowywane stwierdzeniem, że każda prosta zamknięta krzywa kurczy się do „okrągłego punktu”.

Ten wynik jest zasługą Michaela Gage'a , Richarda S. Hamiltona i Matthew Graysona. Gage ( 1983 , 1984 ) udowodnił zbieżność do koła dla krzywych wypukłych, które zwężają się do punktu. Mówiąc dokładniej, Gage wykazał, że stosunek izoperymetryczny (stosunek długości krzywej do kwadratu do powierzchni, liczba równa 4 $π$ dla koła i większa dla dowolnej innej krzywej wypukłej) maleje monotonicznie i szybko. Gage i Hamilton (1986) dowiedli, że wszystkie gładkie krzywe wypukłe ostatecznie zwężają się do punktu bez tworzenia innych osobliwości, a Grayson (1987) udowodnił, że każda niewypukła krzywa ostatecznie stanie się wypukła. Andrews i Bryan (2011) przedstawiają prostszy dowód wyniku Graysona, oparty na monotoniczności współczynnika rozciągania.

Ograniczający kształt dla wszystkich sieci dwóch współliniowych promieni i dwóch krzywych łączących punkty końcowe dwóch promieni. Centralna soczewka ma kształt pęcherzyka piscis .

Podobne wyniki można rozszerzyć z krzywych zamkniętych na krzywe nieograniczone, spełniające lokalny warunek Lipschitza . W przypadku takich krzywych, jeśli obie strony krzywej mają nieskończone pole powierzchni, wówczas rozwinięta krzywa pozostaje gładka i pozbawiona osobliwości przez cały czas. Jeśli jednak jeden bok nieograniczonej krzywej ma skończoną powierzchnię, a krzywa ma skończoną całkowitą bezwzględną krzywiznę, to jej ewolucja osiąga osobliwość w czasie proporcjonalną do pola po stronie krzywej o skończonej powierzchni, z nieograniczoną krzywizną w pobliżu osobliwości . W przypadku krzywych, które są wykresami wystarczająco dobrze zachowujących się funkcji, asymptotycznych do promienia w każdym kierunku, rozwiązanie zbiega się w kształcie do unikalnego kształtu, który jest asymptotyczny dla tych samych promieni. W przypadku sieci utworzonych przez dwa rozłączne promienie na tej samej linii, wraz z dwiema gładkimi krzywymi łączącymi punkty końcowe dwóch promieni, obowiązuje analogia twierdzenia Gage’a – Hamiltona – Graysona, zgodnie z którym obszar między dwiema krzywymi staje się wypukły, a następnie zbiega się do vesica piscis .

Osobliwości samoprzecinających się krzywych

Krzywe, które mają samoprzecięcia, mogą osiągnąć osobliwości przed skurczeniem się do punktu. Na przykład, jeśli lemniskata (jakakolwiek gładka zanurzona krzywa z pojedynczym skrzyżowaniem, przypominająca cyfrę 8 lub symbol nieskończoności ) ma nierówne obszary w swoich dwóch płatach, to w końcu mniejszy płat zapadnie się do punktu. Jeśli jednak dwa płaty mają równe powierzchnie, pozostaną one równe podczas ewolucji krzywej, a stosunek izoperymetryczny będzie się różnić, gdy krzywa zapadnie się do osobliwości.

Kiedy lokalnie wypukła samoprzecinająca się krzywa zbliża się do osobliwości, gdy jedna z jej pętli kurczy się, albo kurczy się w sposób samopodobny, albo asymptotycznie zbliża się do krzywej ponurego żniwiarza (opisanej poniżej), gdy się kurczy. Kiedy pętla zapada się do osobliwości, całkowita utracona krzywizna bezwzględna wynosi co najmniej 2 $π$ lub dokładnie $π$ .

O rozmaitościach riemannowskich

Na rozmaitości Riemanna każda gładka prosta zamknięta krzywa pozostanie gładka i prosta w miarę ewolucji, tak jak w przypadku euklidesa. Albo zapadnie się do punktu w skończonym czasie, albo pozostanie gładki i prosty na zawsze. W tym drugim przypadku krzywa koniecznie zbiega się do zamkniętej geodezyjnej powierzchni.

Zanurzone krzywe na rozmaitościach riemannowskich, ze skończenie wieloma samoprzecięciami, stają się samostyczne tylko w dyskretnym zbiorze czasów, z których za każdym razem tracą przecięcie. W konsekwencji liczba punktów samoprzecinających się nie wzrasta.

Piłka tenisowa

Skrócenie krzywej na kuli może być użyte jako część dowodu twierdzenia o piłce tenisowej . Twierdzenie to stwierdza, że każda gładka prosta zamknięta krzywa na kuli, która dzieli powierzchnię kuli na dwa równe obszary (jak szew piłki tenisowej ) musi mieć co najmniej cztery punkty przegięcia . Dowód pochodzi z obserwacji, że skracanie krzywej zachowuje gładkość i właściwości pola powierzchni przecięcia krzywej i nie zwiększa jej liczby punktów przegięcia. Pozwala to zatem sprowadzić problem do problemu dla krzywych w pobliżu granicznego kształtu skracania krzywej, koła wielkiego .

Formuła monotoniczności Huiskena

Zgodnie ze wzorem na monotoniczność Huiskena , splot ewoluującej krzywej z jądrem ciepła odwróconym w czasie jest nierosnący. Wynik ten można wykorzystać do analizy osobliwości ewolucji.

Konkretne krzywe

Krzywe z ewolucją samopodobną

Krzywa Ponurego Żniwiarza i jej przetłumaczone kopie stworzone przez przepływ skracający krzywą

Ponieważ każda inna prosta krzywa zamknięta zbiega się w okrąg, okrąg jest jedyną prostą krzywą zamkniętą, która zachowuje swój kształt w przepływie skracającym krzywą. Istnieje jednak wiele innych przykładów krzywych, które są albo nieproste (zawierają samoprzecięcia), albo niezamknięte (rozciągają się do nieskończoności) i zachowują swój kształt. W szczególności,

Każda linia pozostaje niezmieniona dzięki przepływowi skracającemu krzywą. Linie są jedynymi krzywymi, na które nie ma wpływu przepływ skracający krzywą, chociaż istnieją bardziej złożone stabilne sieci krzywych, takie jak sześciokątne płytki płaszczyzny .
Krzywa Ponurego Żniwiarza $y = - log cos x$ przesuwa się w górę bez zmiany swojego kształtu. W ten sam sposób każda krzywa podobna do ponurego żniwiarza jest tłumaczona przez przepływ skracający krzywą, przesuwany w kierunku osi symetrii krzywej bez zmiany jej kształtu lub orientacji. Ponury Żniwiarz jest jedyną krzywą z tą właściwością. W literaturze fizyki nazywany jest również modelem spinki do włosów .
Rodzina samoprzecinających się krzywych zamkniętych, wywodząca się z rzutów węzłów torusa , kurczy się homotetycznie , ale pozostaje samopodobna w przepływie skracającym krzywą. Stały się one znane jako krzywe Abrescha-Langera, po pracach Abrescha i Langera (1986) , chociaż zostały wspomniane wcześniej przez Mullinsa (1956) i ponownie odkryte niezależnie przez Epsteina i Weinsteina (1987) . Krzywe te są lokalnie wypukłe i dlatego można je opisać za pomocą ich funkcji nośnych . Odpowiednio skalowane wersje tych funkcji pomocniczych są zgodne z równaniem różniczkowym
${\ Displaystyle h'' + h = {\ Frac {1} {h}}$

który ma dodatnie rozwiązania okresowe (odpowiadające krzywym z samopodobną ewolucją) dla dowolnego okresu, który jest ściśle między

π

i

{\ displaystyle \ pi {\ sqrt {2}}}

.

Inne krzywe, w tym niektóre nieskończone spirale , pozostają samopodobne w przypadku bardziej skomplikowanych ruchów, w tym obrotu lub kombinacji obrotu, kurczenia się lub rozszerzania oraz translacji.
Dla sieci gładkich krzywych, spotykających się trójkami na skrzyżowaniach o kątach 2 $π$ /3, samopodobne rozwiązania kurczące obejmują podwójną bańkę otaczającą dwa równe obszary, kształt soczewki ( vesica piscis ) ograniczony dwoma przystającymi łukami okręgów wraz z dwa współliniowe promienie mające wierzchołki w rogach soczewki oraz sieć „w kształcie ryby” ograniczona odcinkiem linii, dwoma promieniami i krzywą wypukłą. Wszelkie inne samopodobne sieci kurczące się obejmują większą liczbę krzywych. Inna rodzina sieci rośnie homotetycznie i pozostaje samopodobna; są to podobne do drzewa sieci krzywych, spotykające się pod kątem 2 $π$ / 3 na potrójnych skrzyżowaniach, asymptotyczne do wachlarza dwóch lub więcej promieni , które spotykają się we wspólnym punkcie końcowym. Przypadek dwupromieniowy tych kształtów jest nieograniczoną gładką krzywą; dla trzech lub więcej promieni ewolucję tych kształtów można zdefiniować za pomocą uogólnionych wariantów przepływu skracającego krzywą, takich jak ten dla varifolds. Dany wachlarz czterech lub więcej promieni może być asymptotyczny dla więcej niż jednego innego rozwiązania tego typu, więc rozwiązania te nie zapewniają unikalnej definicji przepływu skracającego krzywą, zaczynając od wachlarza promieni.

Starożytne rozwiązania

Starożytnym rozwiązaniem problemu przepływu jest krzywa, której ewolucję można ekstrapolować wstecz przez cały czas, bez osobliwości. Wszystkie samopodobne rozwiązania, które zmniejszają się lub pozostają w tym samym rozmiarze, zamiast rosnąć, są w tym sensie starożytnymi rozwiązaniami; można je ekstrapolować wstecz, odwracając samopodobieństwa , której przeszłyby w wyniku skracania krzywej do przodu. Tak więc na przykład koło, ponury żniwiarz i krzywe Abrescha-Langera są starożytnymi rozwiązaniami.

Istnieją również przykłady, które nie są samopodobne. Wyraźnym przykładem jest owalne rozwiązanie Angenent po pracy Angenent (1992) . Tę rodzinę krzywych można sparametryzować, określając krzywiznę jako funkcję kąta stycznego za pomocą wzoru

{\ Displaystyle k (\ teta, t) = {\ sqrt {\ cos 2 \ teta - \ operatorname {coth} 2t}}}

i mają jako swój ograniczający kształt w odwrotnej ewolucji parę krzywych ponurego żniwiarza, zbliżających się do siebie z przeciwnych kierunków. W kartezjańskim układzie współrzędnych można je podać za pomocą niejawnego równania krzywej

{\ Displaystyle \ cosh ye ^ {- t} \ cos x = 0.}

W literaturze fizyki te same kształty są znane jako model spinacza .

Rozwiązania owalne i kurczące się koła Angenent są jedynymi starożytnymi rozwiązaniami, których przedziały czasu ograniczają ograniczone zbiory wypukłe. Ponury Żniwiarz, stacjonarne półprzestrzenie i stacjonarne rozwiązania paskowe to jedyne przykłady, których przedziały czasowe ograniczają nieograniczone zbiory wypukłe. Istnieje wiele dalszych (nieosadzonych) lokalnie wypukłych, jak również wiele dalszych (niewypukłych) przykładów osadzonych.

Przybliżenia numeryczne

Aby skutecznie obliczyć przepływ skracający krzywą, zarówno ciągłą krzywą, jak i ciągłą ewolucję krzywej należy zastąpić dyskretnym przybliżeniem.

Śledzenie z przodu

Metody śledzenia czoła są od dawna stosowane w dynamice płynów do modelowania i śledzenia ruchu granic między różnymi materiałami, stromych gradientów właściwości materiałów, takich jak fronty atmosferyczne lub fal uderzeniowych w jednym materiale. Metody te obejmują wyprowadzenie równań ruchu granicy i wykorzystanie ich do bezpośredniej symulacji ruchu granicy, zamiast symulowania leżącego pod spodem płynu i traktowania granicy jako wyłaniającej się właściwości płynu. Te same metody można również wykorzystać do symulacji przepływu skracającego krzywą, nawet jeśli krzywa, na której płynie przepływ, nie jest granicą ani szokiem.

W metodach śledzenia przodu dla skracania krzywej, krzywa podlegająca ewolucji jest dyskretyzowana jako wielokąt. Metoda różnic skończonych służy do wyprowadzania wzorów na przybliżony wektor normalny i krzywiznę w każdym wierzchołku wielokąta, a wartości te są używane do określenia, jak przesunąć każdy wierzchołek w każdym kroku czasowym. Chociaż przepływ skracający krzywą jest definiowany przez ruch krzywej prostopadłej do siebie, niektóre parametryzacje przepływu skracającego krzywą mogą pozwolić, aby wierzchołki, które zbliżają się do krzywej, poruszały się nie prostopadle. W efekcie pozwala to wierzchołkom poruszać się wzdłuż krzywej w miarę jej ewolucji. Wybór starannej reparametryzacji może pomóc w bardziej równomiernym rozmieszczeniu wierzchołków wzdłuż krzywej w sytuacjach, w których ruch prostopadły spowodowałby ich skupienie. Merriman, Bence i Osher (1992) piszą, że metody te są szybkie i dokładne, ale znacznie bardziej skomplikowane jest rozszerzenie ich na wersje przepływu skracania krzywych, które mają zastosowanie do bardziej skomplikowanych danych wejściowych niż proste krzywe zamknięte, gdzie konieczne jest radzić sobie z osobliwościami i zmianami topologii.

W przypadku większości takich metod Cao (2003) ostrzega, że „warunków stabilności nie można łatwo określić, a krok czasowy należy wybrać ad hoc”. Inna metoda różnicowania skończonego autorstwa Crandalla i Lionsa (1996) modyfikuje wzór na krzywiznę w każdym wierzchołku, dodając do niego mały składnik oparty na operatorze Laplace'a . Ta modyfikacja nazywana jest regularyzacją eliptyczną i może być wykorzystana do udowodnienia istnienia uogólnionych przepływów, jak również do ich numerycznej symulacji. Korzystając z niego, można udowodnić, że metoda Crandalla i Lionsa jest zbieżna i jest jedyną metodą numeryczną wymienioną przez Cao, która ma ograniczenia szybkości zbieżności. Aby zapoznać się z empirycznym porównaniem Eulera do przodu , Eulera do tyłu i dokładniejszej metody różnic skończonych Cranka-Nicolsona , zobacz Balažovjech i Mikula (2009) .

Ponownie próbkowany splot

Mokhtarian i Mackworth (1992) proponują numeryczną metodę obliczania przybliżenia przepływu skracającego krzywą, która zachowuje dyskretne przybliżenie krzywej i naprzemiennie między dwoma krokami:

Ponownie próbkuj bieżącą krzywą, umieszczając nowe punkty próbkowania w jednakowych odstępach, mierzonych za pomocą znormalizowanej długości łuku.
Połącz lokalizacje punktów za pomocą funkcji Gaussa z małym odchyleniem standardowym, w efekcie zastępując lokalizację każdego punktu średnią ważoną lokalizacji pobliskich punktów wzdłuż krzywej, z wagami Gaussa. Odchylenie standardowe Gaussa należy wybrać tak, aby było na tyle małe, aby po tym kroku punkty próbkowania nadal miały prawie równomierne odstępy.

Jak pokazują, metoda ta zbiega się do rozkładu skracania krzywej w granicy wraz ze wzrostem liczby punktów próbkowania i zmniejszaniem się znormalizowanej długości łuku promienia splotu.

Filtrowanie medianowe

Merriman, Bence i Osher (1992) opisują schemat działający na dwuwymiarowej siatce kwadratowej – w rzeczywistości tablicy pikseli . Krzywa, która ma zostać rozwinięta, jest reprezentowana przez przypisanie wartości 0 (czerń) pikselom znajdującym się na zewnątrz krzywej, a 1 (biały) pikselom znajdującym się wewnątrz krzywej, co daje funkcję wskaźnika dla wnętrza krzywej . Ta reprezentacja jest aktualizowana naprzemiennie w dwóch krokach:

Połącz pikselowy obraz z jądrem ciepła , aby zasymulować jego ewolucję w równaniu ciepła przez krótki okres czasu. Rezultatem jest rozmycie Gaussa obrazu lub równoważnie transformata Weierstrassa funkcji wskaźnika o promieniu proporcjonalnym do pierwiastka kwadratowego kroku czasowego.
Ustaw każdy piksel o wartości liczbowej mniejszej niż 1/2 na 0, a każdy piksel o wartości liczbowej większej niż 1/2 na 1, przywracając obrazowi jego pierwotne wartości w nowych pozycjach.

Aby ten schemat był dokładny, krok czasowy musi być wystarczająco duży, aby spowodować przesunięcie krzywej o co najmniej jeden piksel, nawet w punktach o małej krzywiźnie, ale wystarczająco mały, aby promień rozmycia był mniejszy niż promień minimalny krzywizny. Dlatego rozmiar piksela musi wynosić $O (min κ /max κ 2)$ , wystarczająco mały, aby umożliwić wybór odpowiedniego pośredniego kroku czasowego.

Metodę można uogólnić na ewolucję sieci krzywych, spotykających się na skrzyżowaniach i dzielących płaszczyznę na więcej niż trzy regiony, stosując tę samą metodę jednocześnie do każdego regionu. Zamiast rozmycia i progowania, tę metodę można alternatywnie opisać jako zastosowanie filtra mediany z wagami Gaussa do każdego piksela. Możliwe jest użycie jąder innych niż jądro ciepła lub adaptacyjne udoskonalenie siatki, aby miała wysoką rozdzielczość w pobliżu krzywej, ale nie marnowała czasu i pamięci na piksele daleko od krzywej, które nie mają wpływu na wynik. Zamiast używać tylko dwóch wartości w pikselowanym obrazie, wersja tej metody wykorzystująca obraz, którego wartości w pikselach reprezentują odległość ze znakiem do krzywej, może osiągnąć subpikselową dokładność i wymagać niższej rozdzielczości.

Aplikacje

Wyżarzanie blach

Wczesne odniesienie do przepływu skracającego krzywą autorstwa Williama W. Mullinsa ( 1956 ) motywuje go jako model fizycznego procesu wyżarzania , w którym obróbka cieplna powoduje przesunięcie granic między ziarnami skrystalizowanego metalu. W przeciwieństwie do błon mydlanych , które pod wpływem różnic ciśnienia powietrza stają się powierzchniami o stałej średniej krzywiźnie , granice ziaren podczas wyżarzania podlegają jedynie miejscowym efektom, które powodują ich przemieszczanie się zgodnie ze średnią krzywizną przepływu. Jednowymiarowy przypadek tego przepływu, przepływ skracający krzywą, odpowiada wyżarzaniu arkuszy metalu, które są wystarczająco cienkie, aby ziarna stały się skutecznie dwuwymiarowe, a ich granice stały się jednowymiarowe.

Analiza kształtu

W przetwarzaniu obrazu i wizji komputerowej Mokhtarian i Mackworth (1992) sugerują zastosowanie przepływu skracającego krzywą do konturu kształtu pochodzącego z obrazu cyfrowego , aby usunąć szum z kształtu i zapewnić przestrzeń skali, która zapewnia uproszczony opis kształtu na różnych poziomach rozdzielczości. Metoda Mokhtariana i Mackwortha polega na obliczeniu przepływu skracającego krzywą, śledzeniu punktów przegięcia krzywej w miarę ich przechodzenia przez przepływ i narysowaniu wykresu, który przedstawia położenie punktów przegięcia wokół krzywej w funkcji parametru czasu. Punkty przegięcia będą zazwyczaj usuwane z krzywej parami, gdy krzywa stanie się wypukła (zgodnie z twierdzeniem Gage’a – Hamiltona – Graysona), a czas życia pary punktów odpowiada wyrazistości cechy kształtu. Ze względu na metodę ponownego próbkowania splotu, którą opisują do obliczania numerycznego przybliżenia przepływu skracającego krzywą, nazywają swoją metodę ponownie próbkowaną przestrzenią skali krzywizny . Zauważają, że ta przestrzeń skali jest niezmienna w przypadku przekształceń euklidesowych danego kształtu i twierdzą, że jednoznacznie określa kształt i jest odporna na niewielkie zmiany kształtu. Porównują to eksperymentalnie z kilkoma powiązanymi alternatywnymi definicjami przestrzeni skali dla kształtów i stwierdzają, że ponownie próbkowana przestrzeń skali krzywizny jest mniej wymagająca obliczeniowo, bardziej odporna na niejednorodny szum i mniej silnie wpływa na różnice kształtu w małej skali.

Reakcja-dyfuzja

W systemach reakcja-dyfuzja modelowanych równaniem Allena-Cahna ograniczeniem dla szybkiej reakcji, powolnej dyfuzji i dwóch lub więcej lokalnych minimów energii o tym samym poziomie energii jest osiedlenie się systemu w regionach różnych lokalnych minima, z frontami wyznaczającymi granice między tymi regionami ewoluującymi zgodnie z przepływem skracającym krzywą.

Automaty komórkowe

Automat komórkowy Anneal, 1600 kroków po losowym starcie

W automacie komórkowym każda komórka w nieskończonej siatce komórek może mieć jeden ze skończonych stanów, a wszystkie komórki aktualizują swoje stany jednocześnie tylko na podstawie konfiguracji małego zestawu sąsiednich komórek. Reguła automatu komórkowego podobnego do życia to taka, w której siatką jest nieskończona krata kwadratowa, są dokładnie dwa stany komórki, zbiór sąsiadów każdej komórki to osiem sąsiadów z sąsiedztwa Moore'a, a reguła aktualizacji zależy tylko od liczbę sąsiadów z każdym z dwóch stanów, a nie bardziej skomplikowaną funkcję tych stanów. W jednej szczególnej zasadzie przypominającej życie, wprowadzonej przez Gerarda Vichniaca i zwanej regułą przekręconej większości lub regułą wyżarzania, reguła aktualizacji ustawia nową wartość dla każdej komórki na większość spośród dziewięciu komórek podanych przez nią i jej osiem sąsiadów, z wyjątkiem sytuacji, gdy te komórki są podzielone na cztery z jednym stanem i pięć z drugim stanem, w którym to przypadku nową wartością komórki jest mniejszość, a nie większość. Szczegółowa dynamika tej reguły jest skomplikowana, w tym istnienie małych stabilnych struktur. Jednak w agregacie (gdy zaczyna się od wszystkich komórek w losowych stanach) ma tendencję do tworzenia dużych regionów komórek, które są wszystkie w tym samym stanie co inne, z granicami między tymi regionami ewoluującymi zgodnie z przepływem skracania krzywej.

Budowa geodezji zamkniętej

Przepływ skracający krzywą można wykorzystać do udowodnienia nierówności izoperymetrycznej dla powierzchni, których krzywizna Gaussa jest nierosnącą funkcją odległości od początku , takich jak paraboloida . Na takiej powierzchni gładki zwarty zbiór, który ma dowolne pole i minimalny obwód dla tego obszaru, jest z konieczności kołem o środku w początku układu współrzędnych. Dowód stosuje przepływ skracający krzywą do dwóch krzywych, okręgu metrycznego i granicy dowolnego innego zwartego zbioru, i porównuje zmianę obwodu dwóch krzywych, gdy obie są redukowane do punktu przez przepływ. Przepływ skracający krzywą można również wykorzystać do udowodnienia twierdzenia trzech geodezyjnych , że każda gładka rozmaitość Riemanna topologicznie równoważna kuli ma trzy geodezje, które tworzą proste krzywe zamknięte .

Powiązane przepływy

Inne przepływy geometryczne związane z przepływem skracającym krzywą obejmują następujące.

Do symulacji zachowania kryształów lub innych materiałów anizotropowych ważne jest posiadanie wariantów przepływu skracającego krzywą, dla którego prędkość przepływu zależy zarówno od orientacji krzywej, jak i od jej krzywizny. Jednym ze sposobów na to jest zdefiniowanie energii krzywej jako całki funkcji gładkiej $γ$ jej wektorów normalnych i utworzenie gradientu przepływu tej energii, zgodnie z którym normalna prędkość, z jaką płynie krzywa, jest proporcjonalna do anizotropowy analog krzywizny. Przepływ ten można symulować, dyskretyzując krzywą jako wielokąt. W eksperymentach numerycznych początkowe krzywe wydają się zbiegać do kształtu Wulffa dla $γ$ , zanim skurczą się do punktu. Alternatywnie, można pozwolić krzywej płynąć z prędkością $a$ $(θ) κ + b (θ),$ gdzie $κ$ jest (zwykłą) krzywizną, a aib $są$ gładkimi funkcjami orientacji $θ$ . Kiedy $a (θ + π) = a (θ)$ i $b (θ + π) = - b (θ)$ (tak, że przepływ jest niezmienny w przypadku odbicia punktowego ), wynikowy przepływ można wykazać zgodnie z zasadą unikania i analog twierdzenia Gage’a – Hamiltona – Graysona.
Przepływ skracający krzywą afiniczną został po raz pierwszy zbadany przez Alvareza i in. (1993) oraz Sapiro i Tannenbaum (1993) . W tym przepływie normalna prędkość krzywej jest proporcjonalna do pierwiastka sześciennego krzywizny. Wynikowy przepływ jest niezmienny (z odpowiednią skalą czasową) w ramach przekształceń afinicznych płaszczyzny euklidesowej, większej grupy symetrii niż przekształcenia podobieństwa , w których przepływ skracający krzywą jest niezmienny. W tym przepływie ma zastosowanie analog twierdzenia Gage-Hamiltona-Graysona, zgodnie z którym każda prosta zamknięta krzywa ostatecznie staje się wypukła, a następnie zbiega się w elipsę, gdy zapada się do punktu.
Transformacja krzywej z jednakowymi prędkościami normalnymi we wszystkich punktach została nazwana transformacją pożaru trawy . Krzywe ewoluujące w ten sposób będą na ogół miały ostre narożniki, których ślad tworzy środkową oś krzywej. Ściśle powiązana ewolucja krzywej, która przesuwa proste segmenty krzywej wielokątnej z równymi prędkościami, ale pozwala wklęsłym narożnikom poruszać się szybciej niż prędkość jednostkowa, zamiast tego tworzy inny typ szkieletu topologicznego danej krzywej, jej prosty szkielet .
W przypadku powierzchni o większych wymiarach istnieje więcej niż jedna definicja krzywizny, w tym miary zewnętrzne (zależne od osadzenia), takie jak krzywizna średnia i miary wewnętrzne, takie jak krzywizna skalarna i krzywizna Ricciego . Odpowiednio, istnieje kilka sposobów definiowania przepływów geometrycznych w oparciu o krzywiznę, w tym średni przepływ krzywizny (w którym normalna prędkość osadzonej powierzchni jest jej średnią krzywizną), przepływ Ricciego (przepływ wewnętrzny w metryce przestrzeni oparty na jego krzywizna Ricciego), przepływ krzywizny Gaussa i przepływ Willmore'a (przepływ gradientu dla funkcjonału energii łączący krzywiznę średnią i krzywiznę Gaussa). Przepływ skracający krzywą jest szczególnym przypadkiem przepływu po średniej krzywiźnie i przepływu po krzywiźnie Gaussa dla krzywych jednowymiarowych.
W planowaniu ścieżek w czasie rzeczywistym dla robotów mobilnych zastosowano zmodyfikowaną wersję przepływu skracającego krzywą z dodatkowymi siłami, aby znaleźć ścieżki, które zapewniają równowagę między krótkimi ścieżkami a unikaniem przeszkód.
Zainspirowani przepływem skracającym krzywą na gładkich krzywych, naukowcy zbadali metody płynięcia wielokątów , tak aby pozostały one wielokątne, z zastosowaniami obejmującymi tworzenie wzorów i synchronizację w rozproszonych systemach robotów. Przepływy wielokątne zachowujące długość można wykorzystać do rozwiązania problemu reguły stolarskiej .
W wizji komputerowej aktywny model konturów do wykrywania krawędzi i segmentacji obrazu opiera się na skracaniu krzywych i rozwija krzywe w oparciu o kombinację ich krzywizny i cech obrazu.

Notatki

Abresch, U.; Langer, J. (1986), „Znormalizowana krzywa skracająca przepływ i rozwiązania homotetyczne”, Journal of Differential Geometry , 23 (2): 175–196, doi : 10.4310/jdg/1214440025 , MR 0845704 .
Aichholzer, Oswin; Aurenhammer Franz ; Alberts, Dawid; Gärtner, Bernd (1995), „Nowy typ szkieletu wielokątów” , Journal of Universal Computer Science , 1 (12): 752–761, CiteSeerX 10.1.1.135.9800 , doi : 10.1007/978-3-642-80350 -5_65 , MR 1392429 .
Altschuler, Steven J. (1991), „Osobliwości przepływu kurczącego się krzywej dla krzywych przestrzennych”, Journal of Differential Geometry , 34 (2): 491–514, doi : 10,4310 / jdg / 1214447218 , MR 1131441 .
Altschuler, Dylan J.; Altschuler, Steven J.; Angenent, Sigurd B .; Wu, Lani F. (2013), „ZOO solitonów do skracania krzywej w $5$ Nieliniowość , 26 ( ): 1189–1226, arXiv : 1207,4051 , Bibcode : 2013Nonli..26.1189A , doi : 10.1088/0951-7715/26/5/1189 , MR 3043378 , S2CID 1959710 .
Altschuler, Steven J.; Grayson, Matthew A. (1992), „Skrócenie krzywych przestrzennych i przepływ przez osobliwości”, Journal of Differential Geometry , 35 (2): 283–298, doi : 10,4310/jdg/1214448076 , MR 1158337 .
Alvarez, Luis; Guichard, Fryderyk; Lwy, Pierre-Louis; Morel, Jean-Michel (1993), „Aksjomaty i podstawowe równania przetwarzania obrazu”, Archive for Rational Mechanics and Analysis , 123 (3): 199–257, Bibcode : 1993ArRMA.123..199A , doi : 10.1007/BF00375127 , MR 1225209 , S2CID 121702431 .
Andrews, Ben; Bryan, Paul (2011), „Krzywizna związana z przepływem skracającym krzywą poprzez porównanie odległości i bezpośredni dowód twierdzenia Graysona”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2011 (653): 179–187, arXiv : 0908,2682 , doi : 10,1515 /CRELLE.2011.026 , MR 2794630 , S2CID 16124939 .
Angenent, Sigurd (1991a), „Równania paraboliczne dla krzywych na powierzchniach. II. Przecięcia, powiększenia i uogólnione rozwiązania”, Annals of Mathematics , druga seria, 133 (1): 171–215, doi : 10.2307/2944327 , JSTOR 2944327 , MR 1087347 .
Angenent, Sigurd (1991b), „O tworzeniu się osobliwości w przepływie skracającym krzywą”, Journal of Differential Geometry , 33 (3): 601–633, doi : 10.4310/jdg/1214446558 , MR 1100205 .
Angenent, Sigurd B. (1992), „Kurczące się pączki” (PDF) , Nieliniowe równania dyfuzji i ich stany równowagi, 3 (Gregynog, 1989) , Postęp w nieliniowych równaniach różniczkowych i ich zastosowaniach, tom. 7, Boston, MA: Birkäuser, s. 21–38, MR 1167827 .
Angenent, S. (1999), „Punkty przegięcia, punkty ekstatyczne i skracanie krzywej” (PDF) , układy hamiltonowskie z trzema lub więcej stopniami swobody (S'Agaró, 1995) , Adv NATO. nauka Inst. Ser. C Matematyka. fizyka Nauka, tom. 533, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., s. 3–10, MR 1720878
Angenent, Sigurd ; Sapiro, Guillermo ; Tannenbaum, Allen (1998), „O równaniu ciepła afinicznego dla krzywych niewypukłych”, Journal of the American Mathematical Society , 11 (3): 601–634, doi : 10.1090 / S0894-0347-98-00262-8 , MR 1491538
Angenent, Sigurd ; Ty, Qian (2021), „Starożytne rozwiązania skracania krzywej przy skończonej krzywiźnie całkowitej”, Transactions of the American Mathematical Society , 374 (2): 863–880, arXiv : 1803,01399 , doi : 10,1090/tran/8186 , MR 4196380 , S2CID 59366007
Au, Thomas Kwok-Keung (2010), „O właściwości punktu siodłowego krzywych Abrescha-Langera pod przepływem skracającym krzywą”, Communications in Analysis and Geometry , 18 (1): 1–21, arXiv : math / 0102088 , doi : 10.4310/CAG.2010.v18.n1.a1 , MR 2660456 , S2CID 16046863 .
Balažovjech, Martin; Mikula, Karol (2009), „Schemat wyższego rzędu dla krzywej skracającej płynięcie krzywych płaskich” (PDF) , Algorytmy 2009 , s. 165–175 .
Barrett, John W.; Garcke, Harald; Nürnberg, Robert (2011), „Aproksymacja ewolucji płaskich krzywych przez stabilne, w pełni ukryte schematy elementów skończonych, które równomiernie rozprowadzają” (PDF) , Metody numeryczne dla równań różniczkowych cząstkowych , 27 : 1–30, doi : 10,1002 / num.20637 , MR 2743598 , S2CID 23031256 .
Bellettini, Giovanni; Novaga, Matteo (2011), „Ewolucja krzywizny niewypukłych domen w kształcie soczewki”, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2011 (656): 17–46, arXiv : 0906.0166 , doi : 10.1515/CRELLE.2011.041 , MR 2818854 , S2CID 14158286 .
Benjamini, Itai ; Cao, Jianguo (1996), „Nowe twierdzenie o porównaniu izoperymetrycznym dla powierzchni o zmiennej krzywiźnie”, Duke Mathematical Journal , 85 (2): 359–396, doi : 10.1215 / S0012-7094-96-08515-4 , MR 1417620 .
Brakke, Kenneth A. (1978), Ruch powierzchni według jej średniej krzywizny (PDF) , Uwagi matematyczne, tom. 20, Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN 0-691-08204-9 , MR 0485012 .
Bourni, Teodora; Langford, Mat; Tinaglia, Giuseppe (2020), „Antyczne wypukłe rozwiązania przepływu skracającego krzywą”, Rachunek wariacyjny i równania różniczkowe cząstkowe , 59 (4): 133, doi : 10.1007/s00526-020-01784-8 , MR 4127403 .
Broadbridge, Filip; Vassiliou, Peter (2011), „Rola symetrii i separacji w ewolucji powierzchni i skracaniu krzywych”, SIGMA , 7 : Paper 052, 19, arXiv : 1106.0092 , Bibcode : 2011SIGMA...7..052B , doi : 10.3842/ SIGMA.2011.052 , MR 2804584 , S2CID 8998552 .
Brook, Aleksander; Bruckstein, Alfred M.; Kimmel, Ron (2005), „O niezmiennych miarach uczciwości podobieństwa”, w: Kimmel, Ron ; Sochen, Nir A.; Weickert, Joachim (red.), Scale Space and PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005, Hofgeismar, Niemcy, 7–9 kwietnia 2005, Proceedings , Lecture Notes in Computer Science, tom. 3459, Springer-Verlag, s. 456–467, CiteSeerX 10.1.1.67.1807 , doi : 10.1007/11408031_39 .
Bryant, Robert L .; Griffiths, Phillip A. (1995), „Kohomologia charakterystyczna układów różniczkowych. II. Prawa zachowania dla klasy równań parabolicznych”, Duke Mathematical Journal , 78 (3): 531–676, doi : 10.1215 / S0012-7094-95 -07824-7 , MR 1334205 . Zobacz w szczególności przykład 1, s. 542–544 i 601–604.
Cantarella, Jason H.; Demaine, Erik D .; Iben, Hayley N.; O'Brien, James F. (2004), „An Energy-driven approach to linkage rozwijanie”, Proceedings of the Twentieth Annual Symposium on Computational Geometry (SCG '04) , Nowy Jork, NY, USA: ACM, s. 134– 143, CiteSeerX 10.1.1.1001.9683 , doi : 10.1145/997817.997840 , ISBN 1-58113-885-7 , S2CID 6694097 .
Cao, Frédéric (2003), Ewolucja krzywej geometrycznej i przetwarzanie obrazu , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 1805, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/b10404 , ISBN 3-540-00402-5 , MR 1976551 .
Chopard, Bastien; Droz Michel ( 1998 ) _ /CBO9780511549755 , ISBN 0-521-46168-5 , MR 1669736 .
Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (1998), „Skracanie kompletnych krzywych płaskich”, Journal of Differential Geometry , 50 (3): 471–504, doi : 10.4310/jdg/1214424967 , MR 1690737 .
Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (2001), The Curve Shortening Problem , Boca Raton, Floryda: Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9781420035704 , ISBN 1-58488-213-1 , MR 1888641 .
Crandall, Michael G.; Lions, Pierre-Louis (1996), „Zbieżne schematy różnicowe dla nieliniowych równań parabolicznych i średniego ruchu po krzywiźnie”, Numerische Mathematik , 75 (1): 17–41, doi : 10.1007 / s002110050228 , MR 1417861 , S2CID 119792668 .
Daskalopoulos, Panagiota ; Hamilton, Ryszard ; Sesum, Natasa (2010), „Klasyfikacja zwartych starożytnych rozwiązań przepływu skracającego krzywą”, Journal of Differential Geometry , 84 (3): 455–464, arXiv : 0806,1757 , doi : 10,4310/jdg/1279114297 , MR 2669361 , S2CID 18747005 .
Deckelnick, Klaus (2000), „Granice błędów dla schematu różnicowego przybliżającego rozwiązania lepkości średniego przepływu po krzywiźnie”, Interfejsy i wolne granice , 2 (2): 117–142, doi : 10,4171 / IFB / 15 , MR 1760409 .
Deckelnick, K.; Dziuk, G. (1995), „O przybliżeniu krzywej skracania przepływu”, Rachunek wariacyjny, zastosowania i obliczenia (Pont-à-Mousson, 1994) , Pitman Res. Notatki Matematyka. Ser., tom. 326, Longman Sci. Tech., Harlow, s. 100–108, MR 1419337 .
Devadoss, Satyan L .; O'Rourke, Joseph (2011), „5,5 Curve Shortening”, Discrete and Computational Geometry , Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 138–144, ISBN 978-0-691-14553-2 , MR 2790764 .
Dziuk, Gerhard (1999), „Dyskretny przepływ skracający krzywą anizotropową”, SIAM Journal on Numerical Analysis , 36 (6): 1808–1830, doi : 10.1137 / S0036142998337533 , MR 1712165 .
Elliott, Charles M.; Fritz, Hans (2017), „O przybliżeniach przepływu skracającego krzywą i średniego przepływu krzywizny w oparciu o sztuczkę DeTurcka”, IMA Journal of Numerical Analysis , 37 (2): 543–603, arXiv : 1602,07143 , doi : 10,1093 /imanum/drw020 , MR 3649420 .
Epstein, CL ; Weinstein, MI (1987), „Stabilne twierdzenie o rozmaitości dla równania skracania krzywej”, Communications on Pure and Applied Mathematics , 40 (1): 119–139, doi : 10,1002/cpa.3160400106 , MR 0865360 .
Esedollu, Selim; Ruuth, Steven; Tsai, Richard (2010), „Ruch generowany przez dyfuzję przy użyciu funkcji odległości ze znakiem” (PDF) , Journal of Computational Physics , 229 (4): 1017–1042, Bibcode : 2010JCoPh.229.1017E , doi : 10.1016/j.jcp.2009.10 0,002 , MR 2576237 .
Gage, Michael E. (1983), „Nierówność izoperymetryczna z zastosowaniami do skracania krzywej”, Duke Mathematical Journal , 50 (4): 1225–1229, doi : 10.1215 / S0012-7094-83-05052-4 , MR 0726325 .
Gage, ME (1984), „Skracanie krzywych sprawia, że krzywe wypukłe są okrągłe”, Inventiones Mathematicae , 76 (2): 357–364, Bibcode : 1984InMat..76..357G , doi : 10.1007/BF01388602 , MR 0742856 , S2CID 12198198 7 .
Gage, M .; Hamilton, RS (1986), „Równanie ciepła zmniejszające wypukłe krzywe płaszczyzny”, Journal of Differential Geometry , 23 (1): 69–96, doi : 10.4310/jdg/1214439902 , MR 0840401 .
Grayson, Matthew A. (1987), „Równanie ciepła zmniejsza osadzone płaskie krzywe do okrągłych punktów”, Journal of Differential Geometry , 26 (2): 285–314, doi : 10.4310/jdg/1214441371 , MR 0906392 .
Grayson, Matthew A. (1989a), „Kształt ósemki pod przepływem skracającym krzywą” , Inventiones Mathematicae , 96 (1): 177–180, Bibcode : 1989InMat..96..177G , doi : 10.1007/ BF01393973 , MR 0981740 , S2CID 120965191 .
Grayson, Matthew A. (1989b), „Skrócenie osadzonych krzywych” (PDF) , Annals of Mathematics , druga seria, 129 (1): 71–111, doi : 10.2307/1971486 , JSTOR 1971486 , MR 0979601 .
Halldórsson, Höskuldur P. (2012), „Samopodobne rozwiązania przepływu skracającego krzywą”, Transactions of the American Mathematical Society , 364 (10): 5285–5309, arXiv : 1007,1617 , doi : 10.1090/S0002-9947-2012 -05632-7 , MR 2931330 , S2CID 54018685 .
Haußer, Frank; Voigt, Axel (2006), „Schemat numeryczny dla uregulowanego przepływu skracającego krzywą anizotropową”, Applied Mathematics Letters , 19 (8): 691–698, doi : 10.1016 / j.aml.2005.05.011 , MR 2232241 .
Holden, Helge; Risebro, Nils Henrik (2015), Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws , Applied Mathematical Sciences, tom. 152 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3-662-47507-2 .
Huisken, Gerhard (1990), „Asymptotyczne zachowanie osobliwości średniego przepływu krzywizny”, Journal of Differential Geometry , 31 (1): 285–299, doi : 10,4310/jdg/1214444099 , MR 1030675 .
Huisken, Gerhard (1998), „Zasada porównania odległości dla ewoluujących krzywych”, The Asian Journal of Mathematics , 2 (1): 127–133, doi : 10.4310/ajm.1998.v2.n1.a2 , MR 1656553 .
Huisken, Gerhard ; Sinestrari, Carlo (2015), „Wypukłe starożytne rozwiązania średniego przepływu krzywizny”, Journal of Differential Geometry , 101 (2): 267–287, arXiv : 1405,7509 , doi : 10,4310/jdg/1442364652 , MR 3399098 , S2CID 119129510 .
Huptych, Marcel; Röck, Sascha (28 stycznia 2021), „Planowanie ścieżki w czasie rzeczywistym w dynamicznych środowiskach dla bezzałogowych statków powietrznych przy użyciu metody przepływu skracającej krzywą”, International Journal of Advanced Robotic Systems , 18 (1 ) , doi : 10.1177 / 1729881420968687 , S2CID 232093372 .
Ilmanen, Tom (1994), „regulacja eliptyczna i częściowa regularność ruchu według średniej krzywizny”, Memoirs of the American Mathematical Society , 108 (520), doi : 10.1090/memo/0520 , MR 1196160 .
Ilmanen, Tom; Neves, Andrzej ; Schulze, Felix (2014), O krótkim czasie istnienia płaskiego przepływu sieciowego , arXiv : 1407.4756 , Bibcode : 2014arXiv1407.4756I .
Ishimura, Naoyuki (1995), „Ewolucja krzywizny krzywych płaskich z określonym kątem otwarcia”, Biuletyn Australijskiego Towarzystwa Matematycznego , 52 (2): 287–296, doi : 10.1017 / S0004972700014714 , MR 1348488 .
Kichenassamy, S.; Kumar, A.; Olver, P .; Tannenbaum, A .; Yezzi, A. (1995), „Przepływy gradientów i modele geometrycznych aktywnych konturów”, Proceedings of IEEE International Conference on Computer Vision , s. 810–815, CiteSeerX 10.1.1.331.6675 , doi : 10.1109/iccv.1995.466855 , S2CID 10355426 .
Kimmel, Ron (2004), Geometria numeryczna obrazów: teoria, algorytmy i zastosowania , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-21637-9 , MR 2028182 .
Kimura, M. (1994), „Dokładny schemat numeryczny przepływu przez krzywiznę”, Applied Mathematics Letters , 7 (1): 69–73, doi : 10.1016/0893-9659 (94) 90056-6 , MR 1349897 .
Lam, Casey; Lauer, Joseph (2016), Przepływ ustawiony na poziomie krzywej sinusoidalnej topologa jest gładki , arXiv : 1601,02442 , Bibcode : 2016arXiv160102442L
Lauer, Joseph (2013), „Nowe oszacowanie długości dla skrócenia krzywej przepływu i danych początkowych o niskiej regularności”, Analiza geometryczna i funkcjonalna , 23 (6): 1934–1961, arXiv : 1102,5110 , doi : 10,1007/s00039-013-0248 -1 , MR 3132906 , S2CID 119339054 .
Łukjanow, SL; Vitchev, ES; Zamolodchikov, AB (2004), „Całkowalny model interakcji brzegowej: spinacz”, Nuclear Physics B , 683 (3): 423–454, arXiv : hep-th/0312168 , Bibcode : 2004NuPhB.683..423L , doi : 10.1016/j.nuclphysb.2004.02.010 , S2CID 119124585 .
Merriman, Barry; Bence, James; Osher, Stanley (kwiecień 1992), Ruch generowany przez dyfuzję przez średnią krzywiznę (PDF) , Raport CAM 92-18, Wydział Matematyki Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles . Opublikowano także w: Taylor, Jean E. (1992), Computational Crystal Growers Workshop: Proceedings of the Geometry Center Workshop odbyła się w Minneapolis, Minnesota, 22–28 lutego 1992 r. , Selected Lectures in Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society, s. 73-83, ISBN 0-8218-8072-1 , MR 1224451 .
Mikuła, Karol; Ševčovič, Daniel (1999), „Rozwiązanie nieliniowej ewolucji sterowanej krzywizną płaskich krzywych”, Applied Numerical Mathematics , 31 (2): 191–207, doi : 10.1016 / S0168-9274 (98) 00130-5 , MR 1708959 .
Mikuła, Karol; Ševčovič, Daniel (2001), „Ewolucja krzywych płaskich napędzanych przez nieliniową funkcję krzywizny i anizotropii”, SIAM Journal on Applied Mathematics , 61 (5): 1473–1501 (elektroniczny), CiteSeerX 10.1.1.32.1138 , doi : 10.1137/S0036139999359288 , MR 1824511 .
Minarčík, Jiří; Beneš, $Michal$ (2020), „Długoterminowe zachowanie przepływu skracającego krzywą w SIAM Journal on Mathematical Analysis , 52 (2): 1221–1231, arXiv : 2212.11907 , doi : 10.1137/19M1248522 , MR 4076813 , S2CID 216464044 .
Mokhtarian, F.; Mackworth, AK (1992), „Teoria wieloskalowej, opartej na krzywiźnie reprezentacji kształtu dla płaskich krzywych” (PDF) , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 14 (8): 789–805, doi : 10.1109 / 34.149591 .
Mullins, WW (1956), „Dwuwymiarowy ruch wyidealizowanych granic ziaren”, Journal of Applied Physics , 27 (8): 900–904, Bibcode : 1956 JAP....27..900M , doi : 10.1063/1.1722511 . Przedrukowany w Ball, John M .; Kinderlehrer, Dawid ; Podio-Guidugli, Paulo; Slemrod, Marshall, wyd. (1999), Fundamental Contributions to the Continuum Theory of Evolving Phase Interfaces in Solids: A Collection of Reprints of 14 Seminal Papers , Springer-Verlag, s. 70–74, doi : 10.1007/978-3-642-59938-5_3 , ISBN 978-3-642-59938-5 .
Pickover, Clifford A. (1993), „Lampy lawowe w XXI wieku”, The Visual Computer , 10 (3): 173–177, doi : 10.1007/bf01900906 , S2CID 29417478 .
Rhines, Frederick N.; Craig, Kenneth R.; DeHoff, Robert T. (1974), „Mechanizm wzrostu ziarna w stanie ustalonym w aluminium”, Metalurgical Transactions , 5 (2): 413–425, Bibcode : 1974MT...... 5..413R , doi : 10,1007 /bf02644109 , S2CID 136991523 .
Ritoré, Manuel; Sinestrari, Carlo (2010), „2,2 skrócenie krzywej przepływu” , średni przepływ krzywizny i nierówności izoperymetryczne , zaawansowane kursy matematyki - CRM Barcelona, Birkäuser, s. 72–75, doi : 10.1007 / 978-3-0346-0213-6_13 , ISBN 978-3-0346-0213-6 .
Rubinstein, Jakub; Sternberg, Piotr; Keller, Joseph B. (1989), „Szybka reakcja, powolna dyfuzja i skracanie krzywej”, SIAM Journal on Applied Mathematics , 49 (1): 116–133, doi : 10.1137/0149007 , MR 0978829 .
Sapiro, Guillermo ; Tannenbaum, Allen (1993), „Afiniczna niezmienna skala-przestrzeń”, International Journal of Computer Vision , 11 (1): 25–44, doi : 10.1007/bf01420591 , S2CID 13163111 .
Schnürer, Oliver C.; Azouani, Abderrahim; Georgi, Marc; Do diabła, Juliette; Jangle, Nihar; Koeller, Amos; Marxen, Tobiasz; Ritthaler, Sandra; Saez, Mariel; Schulze, Feliks; Smith, Brian (2011), „Ewolucja wypukłych sieci w kształcie soczewek pod przepływem skracającym krzywą”, Transactions of the American Mathematical Society , 363 (5): 2265–2294, arXiv : 0711,1108 , doi : 10,1090 / S0002-9947- 2010-04820-2 , MR 2763716 , S2CID 16595310 .
Scriven, LE (1960), „Dynamika płynnej granicy faz Równanie ruchu dla Newtonowskich płynów powierzchniowych”, Chemical Engineering Science , 12 (2): 98–108, doi : 10.1016/0009-2509 (60) 87003-0 .
Smith, Stephen L.; Broucke, Mireille E .; Francis, Bruce A. (2007), „Skracanie krzywej i problem spotkania mobilnych robotów autonomicznych”, IEEE Transactions on Automatic Control , 52 (6): 1154–1159, arXiv : cs/0605070 , doi : 10.1109/tac.2007.899024 , S2CID 574140 .
Vichniac, Gérard Y. (1986), „Modele automatów komórkowych zaburzeń i organizacji”, w: Bienenstock, E.; Fogelman Soulie, F.; Weisbuch, G. (red.), Disordered Systems and Biological Organization , NATO ASI Series, tom. 20, Springer-Verlag, s. 3–20, doi : 10.1007/978-3-642-82657-3_1 .
White, Brian (1989), „Niektóre ostatnie osiągnięcia w geometrii różniczkowej”, The Mathematical Intelligencer , 11 (4): 41–47, doi : 10.1007 / BF03025885 , MR 1016106 , S2CID 122335761 .
White, Brian (2002), „Ewolucja krzywych i powierzchni według średniej krzywizny”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom. I (Pekin, 2002) , wyd. Press, Pekin, s. 525–538, arXiv : math/0212407 , Bibcode : 2002math.....12407W , MR 1989203 .
Ty, Qian (2014), Niektóre starożytne rozwiązania skracania krzywej , Ph.D. praca magisterska, Uniwersytet Wisconsin – Madison, ProQuest 1641120538 .