różnorodny

W matematyce varifold jest, luźno mówiąc, teorią miary uogólnieniem koncepcji rozmaitości różniczkowalnej , poprzez zastąpienie wymagań różniczkowalności wymaganiami zapewnianymi przez zbiory prostownicze , przy jednoczesnym zachowaniu ogólnej struktury algebraicznej zwykle obserwowanej w geometrii różniczkowej . Varifolds uogólniają ideę prostowalnego prądu i są badane w teorii miary geometrycznej .

Uwaga historyczna

Varifolds zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Laurence'a Chisholma Younga w ( Young 1951 ), pod nazwą „ powierzchnie uogólnione ”. Frederick J. Almgren Jr. nieco zmodyfikował definicję w swoich powielanych notatkach ( Almgren 1965 ) i ukuł nazwę varifold : chciał podkreślić, że obiekty te są substytutami rozmaitości zwykłych w problemach rachunku wariacyjnego . Współczesne podejście do teorii zostało oparte na notatkach Almgrena i przedstawione przez Williama K. Allarda w artykule ( Allard 1972 ).

Definicja

Biorąc pod uwagę otwarty podzbiór przestrzeni euklidesowej , $jest$ -wymiarowa zmienność na zdefiniowana jako miara Radona na $Ω$ $Omega}$ displaystyle zbiór

{\ Displaystyle \ Omega \ razy G (n, m)}

gdzie $-$ wszystkich m wymiarowych liniowych n - . Grassmannian jest używany $,$ aby umożliwić konstruowanie analogów do form różniczkowych jako liczb podwójnych do pól wektorowych w przybliżonej przestrzeni zbioru .

Szczególnym przypadkiem rektyfikowalnej zmiennej są dane zbioru m -rektyfikowalnego M (który jest mierzalny w odniesieniu do m -wymiarowej miary Hausdorffa) oraz funkcja gęstości zdefiniowana na M , która jest funkcją dodatnią θ mierzalną i lokalnie całkowalną w odniesieniu do m -wymiarowej miary Hausdorffa. Definiuje miarę Radona V na wiązce Grassmanna ℝ ⁿ

{\ Displaystyle V (A): = \ int _ {\ Gamma _ {M, A}} \! \! \! \ !\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)}

Gdzie

${\ Displaystyle \ Gamma _ {M, A} = M \ czapka \ {x: (x, \ operatorname {Tan} ^{m}(x,M))\w A\}}$
${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {m} (x)}$ jest miarą Hausdorffa ${\ Displaystyle m}$ -wymiarową miarą Hausdorffa

Rectable varifolds są słabszymi obiektami niż lokalnie prostowane prądy: nie mają żadnej orientacji . Zastępując M bardziej regularnymi zbiorami, łatwo zauważyć, że podrozmaitości różniczkowalne są szczególnymi przypadkami rozmaitości prostowalnych .

Ze względu na brak orientacji nie ma zdefiniowanego operatora brzegowego na przestrzeni zmiennych.

Zobacz też

Notatki

Almgren, Frederick J. Jr. (1993), „Pytania i odpowiedzi dotyczące powierzchni minimalizujących powierzchnię i teorii miary geometrycznej”, w: Greene, Robert E .; Yau, Shing-Tung (red.), Geometria różniczkowa. Część 1: Równania różniczkowe cząstkowe na rozmaitościach. Obrady letniego instytutu badawczego, które odbyły się na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles, Kalifornia, USA, 8–28 lipca 1990 r., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, tom. 54, Providence, RI: American Mathematical Society , s. 29–53, ISBN 978-0-8218-1494-9 , MR 1216574 , Zbl 0812.49032 . Artykuł ten jest również reprodukowany w ( Almgren 1999 , s. 497–521).
Almgren, Frederick J. Jr. (1999), Wybrane prace Fredericka J. Almgren, Jr. , Collected Works, t. 13, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-1067-5 , MR 1747253 , Zbl 0966.01031 .
De Giorgi, Ennio (1968), „Hiperpowierzchnie minimalnej miary w wielowymiarowych przestrzeniach euklidesowych” (PDF) , w Petrovsky, Ivan G. (red.), Trudy Mezhdunarodnogo kongressa matematikov. Proceedings of International Congress of Mathematicians (Moscow-1966) , ICM Proceedings , Moskwa : Mir Publishers , s. 395-401, MR 0234329 , Zbl 0188.17503 .
Allard, William K. (maj 1972), „O pierwszej wariacji różnorodnej”, Annals of Mathematics , druga seria, 95 (3): 417–491, doi : 10.2307/1970868 , JSTOR 1970868 , MR 0307015 , Zbl 0252.49028 .
Allard, William K. (maj 1975), „O pierwszej odmianie różnorodności: Boundary Behavior”, Annals of Mathematics , druga seria, 101 (3): 418–446, doi : 10,2307/1970934 , JSTOR 1970934 , MR 0397520 , Zbl 0319.49026 .
Almgren, Frederick J. Jr. (1965), Teoria zmiennych: rachunek wariacyjny w dużym dla całki $University$ : obszaru całki , Princeton Princeton Library , s. 178 . Zestaw powielanych notatek, w których Frederick J. Almgren Jr. po raz pierwszy wprowadza różnokształtne.
Almgren, Frederick J. Jr. (1966), Plateau's Problem: An Invitation to Varifold Geometry , Mathematics Monographs Series (wyd. 1), New York – Amsterdam: WA Benjamin, Inc., s. XII + 74, MR 0190856 , Zbl 0165.13201 . Pierwsza szeroko rozpowszechniona książka opisująca koncepcję varifold. W rozdziale 4 znajduje się sekcja zatytułowana „ Rozwiązanie istniejącej części problemu Plateau ” ale stacjonarne zmiennokształtne użyte w tej sekcji mogą rozwiązać tylko znacznie uproszczoną wersję problemu. Na przykład jedyne stacjonarne zmiennoprzecinkowe zawierające okrąg jednostkowy obsługują dysk jednostkowy. W 1968 Almgren użył kombinacji zmiennokształtnych, łańcuchów i metod Reifenberga w celu rozszerzenia słynnej pracy Reifenberga z 1960 r. na całki eliptyczne. Jednak w jego dowodzie są poważne błędy. Inne podejście do problemu Reifenberga dla całek eliptycznych zostało ostatnio przedstawione przez Harrisona i Pugha ( HarrisonPugh 2016 ) bez za pomocą varifoldów.
Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016), Ogólne metody minimalizacji eliptycznej , s. 22, arXiv : 1603.04492 , Bibcode : 2016arXiv160304492H .
Almgren, Frederick J. Jr. (2001) [1966], Problem płaskowyżu: zaproszenie do geometrii zmiennej , Studencka Biblioteka Matematyczna, tom. 13 (wyd. 2), Providence, RI : American Mathematical Society , s. xvi+78, ISBN 978-0-8218-2747-5 , MR 1853442 , Zbl 0995.49001 . Drugie wydanie książki ( Almgren 1966 ).
Đào, Trong Thi; Fomenko, AT (1991), Minimal Surfaces, Stratified Multivarifolds, and the Plateau Problem , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 84, Providence, RI: American Mathematical Society , s. IX+404, ISBN 978-0-8218-4536-3 , MR 1093903 , Zbl 0716.53003 .
TC O'Neil (2001) [1994], „Teoria miary geometrycznej” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Simon, Leon (1984), Wykłady z teorii miary geometrycznej , Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, tom. 3, Canberra : Centrum Matematyki i jej Zastosowań (CMA), Australian National University , s. VII + 272 (luźna errata), ISBN 978-0-86784-429-0 , MR 0756417 , Zbl 0546.49019 .
Lin, Fanghua; Yang, Xiaoping (2002), Teoria miary geometrycznej - wprowadzenie , Advanced Mathematics (Pekin / Boston), tom. 1, Pekin – Nowy Jork / Boston, MA: Science Press / International Press, s. x+237, MR 2030862 , Zbl 0546.49019 , ISBN 7-03-010271-1 (Science Press), ISBN 1-57146-125-6 (prasa międzynarodowa).
White, Brian (1997), „Matematyka FJ Almgrena Jr.” , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 44 (11): 1451–1456, ISSN 0002-9920 , MR 1488574 , Zbl 0908.01017 .
Biały, Brian (1998), „Matematyka FJ Almgren, Jr.”, The Journal of Geometric Analysis , 8 (5): 681–702, CiteSeerX 10.1.1.120.4639 , doi : 10.1007/BF02922665 , ISSN 1050-6926 , MR 1731057 , S2CID 122083638 , Zbl 0955.01020 . Rozszerzona wersja ( White 1997 ) z listą publikacji Almgrena.
Young, Laurence C. (1951), "Surfaces parametryques generalisees" , Bulletin de la Société Mathématique de France , 79 : 59–84, doi : 10.24033/bsmf.1419 , MR 0046421 , Zbl 0044.10203 .