Zestaw do naprawy

W matematyce zbiór prostowalny to zbiór gładki w pewnym sensie teorii miary . Jest to rozszerzenie idei wyprostowanej krzywej na wyższe wymiary; luźno mówiąc, zestaw nadający się do sprostowania jest rygorystycznym sformułowaniem gładkiego zestawu w kawałkach. W związku z tym ma wiele pożądanych właściwości gładkich rozmaitości , w tym przestrzenie styczne, które są zdefiniowane prawie wszędzie . Zbiory prostowalne są podstawowym przedmiotem badań w teorii miary geometrycznej .

Definicja

$n$ podzbiór borelowski przestrzeni $euklidesowej$ jest $mathbb$ -prostowalnym, jeśli jest zbiorem Hausdorffa . R \ ${R} ^ {n}}$ wymiar ${\ displaystyle m}$ i istnieje policzalny zbiór ciągle różniczkowalnych map ${\ displaystyle \ {f_ {i} \}}$

{\ Displaystyle f_ {i}: \ mathbb {R} ^ {m} \ do \ mathbb {R} ^ {n}}

tak, że miara Hausdorffa H $Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {m}} m {\ Displaystyle m$ $\$

{\ Displaystyle E \ setminus \ bigcup _ {i = 0} ^ {\ infty} f_ {i} \ lewo (\ mathbb {R} ^ {m} \ prawej) }

wynosi zero. Ukośnik odwrotny tutaj oznacza ustawioną różnicę . Równoważnie można przyjąć, że ciąg Lipschitza jest $ciągły$ zmiany . Inni autorzy $E}$ różne definicje, na przykład nie wymagają, aby były $displaystyle$ , ale zamiast tego wymagają, aby była policzalną sumą zbiorów, które są obrazem mi ${$ Mapa Lipschitza z pewnego ograniczonego podzbioru ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ .

$→$ $,$ czysto nienaprawialny, $\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \to \mathbb {R} ^{n}}$ zbiór jest jeśli dla każdego (ciągłego, różniczkowalnego) , jeden ma

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {m} \ lewo (E \ czapka f \ lewo (\ mathbb {R} ^ {m} \ prawej) \right)=0.}

Standardowym przykładem zestawu czysto 1-nienaprawialnego w dwóch wymiarach jest iloczyn krzyżowy samego zestawu czasów Smitha – Volterry – Cantora .

Zbiory prostowalne w przestrzeniach metrycznych

Federer (1969 , s. 251–252) podaje następującą terminologię dla m -prostowalnych zbiorów E w ogólnej przestrzeni metrycznej X .

mi jest $gdy$ możliwe do sprostowania $,$ $} ^ {m.}}$ mapa Lipschitza dla pewnego ograniczonego podzbioru. $}$ $Displaystyle f :$ do na mi $\ Displaystyle E}$ .
mi jest policzalnie $prostowalny$ , gdy E $równa$ się związkowi policzalnej rodziny się naprawić.
mi jest policzalnie $phi, m)}$ prostowalne $\$ , gdy jest na X i istnieje przeliczalny zbiór prostowalny $F$ , że ${\ Displaystyle \ phi (E \ setminus F) = 0}$ .
mi jest ${\ Displaystyle (\ phi, m)}$ sprostowane , gdy mi jest policzalne ${\ Displaystyle (\ phi, m)}$ sprostowane i ${\ Displaystyle \ phi (E)<\infty}$
mi jest czysto $fa$ , gdy ${\ Displaystyle \ phi (F)> 0}$ $miarą$ na a nie obejmuje $zbioru$ F z ) _ .

Definicja 3 z $} ^ {m}}$ $i$ jest najbliższa powyższemu definicja podzbiorów przestrzeni euklidesowych.

Notatki

Federer, Herbert (1969), Teoria miary geometrycznej , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 153, Nowy Jork: Springer-Verlag, s. xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7 , MR 0257325
TCO'Neil (2001) [1994], "Teoria miary geometrycznej" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Simon, Leon (1984), Wykłady z teorii miary geometrycznej , Proceedings of the Center for Mathematical Analysis, tom. 3, Canberra : Centrum Matematyki i jej Zastosowań (CMA), Australian National University , s. VII + 272 (luźna errata), ISBN 0-86784-429-9 , Zbl 0546.49019

Linki zewnętrzne

Zestaw do prostowania w Encyclopedia of Mathematics