Geodezja zamknięta

W geometrii różniczkowej i systemach dynamicznych zamknięta geodezja na rozmaitości Riemanna to geodezja , która powraca do punktu początkowego w tym samym kierunku stycznej. Można to sformalizować jako rzut zamkniętej orbity przepływu geodezyjnego na przestrzeń styczną rozmaitości.

Definicja

W rozmaitości Riemanna ( M , g ) zamknięta geodezja jest krzywą, która $geodezyjną$ dla i okresowa

Geodezję zamkniętą można scharakteryzować za pomocą zasady wariacyjnej. Oznaczając przez przestrzeń gładkich 1-okresowych krzywych na $M$ , geodezja zamknięta okresu 1 jest dokładnie krytycznymi funkcji energii $\ Lambda M \rightarrow \mathbb {R} }$ : , zdefiniowane przez

{\ Displaystyle E (\ gamma) = \ int _ {0} ^ {1} g _ {\ gamma (t)} ({\ kropka {\ gamma}} (t), {\ kropka {\ gamma}} (t ))\,\mathrm {d} t.}

Jeśli jest zamkniętą geodezyjną z okresu $p$ , reparametryzowana krzywa jest geodezyjną zamkniętą z okresu $\ Displaystyle t \ mapsto \ gamma (pt)}$ krytyczny punkt E. γ {\ Displaystyle $N}}$ $gamma}$ jest punktem krytycznym mi , więc są reparametryzowane krzywe dla każdego $Displaystyle m \ in \ mathbb$ γ ${\ Displaystyle \ gamma ^ {m} (t): = \ gamma (mt)$ . Zatem każda zamknięta geodezja na M daje początek nieskończonej sekwencji punktów krytycznych energii E .

Przykłady

Na $riemannowską$ jednostkowej ze standardową okrągłą każde geodezyjnej . Zatem na kuli wszystkie geodezje są domknięte. Na gładkiej powierzchni topologicznie równoważnej kuli może to nie być prawdą, ale zawsze istnieją co najmniej trzy proste geodezyjne zamknięte; to jest twierdzenie trzech geodezyjnych . Rozmaitości, których wszystkie geodezje są zamknięte, zostały dokładnie zbadane w literaturze matematycznej. Na zwartej powierzchni hiperbolicznej , której podstawowa grupa nie ma skręcania, zamknięte geodezyjne odpowiadają jeden do jednego z nietrywialnymi klasami koniugacji elementów w grupie Fuchsa powierzchni.

Zobacz też

Besse, A .: „Rozmaitości, których wszystkie geodezyjne są zamknięte”, Ergebisse Grenzgeb. Matematyka , NIE. 93, Springer, Berlin, 1978.