Ważona średnia arytmetyczna

„Średnia ważona” przekierowuje tutaj. Nie należy mylić z ważoną medianą , ważoną średnią geometryczną lub ważoną średnią harmoniczną .

Ważona średnia arytmetyczna jest podobna do zwykłej średniej arytmetycznej (najpowszechniejszy typ średniej ), z tą różnicą, że zamiast każdego punktu danych w równym stopniu przyczyniać się do końcowej średniej, niektóre punkty danych mają większy wkład niż inne. Pojęcie średniej ważonej odgrywa rolę w statystyce opisowej , a także występuje w bardziej ogólnej formie w kilku innych obszarach matematyki.

Jeśli wszystkie wagi są równe, to średnia ważona jest taka sama jak średnia arytmetyczna . Chociaż średnie ważone generalnie zachowują się w sposób podobny do średnich arytmetycznych, mają one kilka sprzecznych z intuicją właściwości, jak uchwycono na przykład w paradoksie Simpsona .

Przykłady

Podstawowy przykład

Biorąc pod uwagę dwie    klasy szkolne — jedną z 20 uczniami, drugą z 30    uczniami — i oceny z testu w każdej klasie w następujący sposób:

Zajęcia poranne = {62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98} Zajęcia popołudniowe = {81

, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99}

Średnia dla zajęć porannych wynosi 80, a średnia dla zajęć popołudniowych 90. Nieważona średnia z tych dwóch średnich wynosi 85. Nie uwzględnia to jednak różnicy w liczbie uczniów w każdej klasie (20 w porównaniu z 30); stąd wartość 85 nie odzwierciedla średniej oceny ucznia (niezależnej od klasy). Średnią ocen studenta można uzyskać, uśredniając wszystkie oceny, bez względu na zajęcia (dodać wszystkie oceny i podzielić przez ogólną liczbę uczniów):

$${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {4300} {50}} = 86.}$$

Lub można to osiągnąć, ważąc średnie klasy liczbą uczniów w każdej klasie. Większa klasa ma większą „wagę”:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {(20 \ razy 80) + (30 \ razy 90)} 20+30}}=86.}$

Zatem średnia ważona umożliwia znalezienie średniej średniej oceny ucznia bez znajomości wyniku każdego ucznia. Potrzebne są tylko średnie klasy i liczba uczniów w każdej klasie.

Przykład kombinacji wypukłej

Ponieważ istotne są tylko wagi względne , każdą średnią ważoną można wyrazić za pomocą współczynników, których suma wynosi jeden. Taka kombinacja liniowa nazywana jest kombinacją wypukłą .

Korzystając z poprzedniego przykładu, otrzymalibyśmy następujące wagi:

${\ Displaystyle {\ Frac {20} {20 + 30}} = 0,4}$

${\ Displaystyle {\ Frac {30} {20 + 30}} = 0,6}$

Następnie zastosuj ciężarki w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = (0,4 \ razy 80) + (0,6 \ razy 90) = 86.}$

Definicja matematyczna

Formalnie średnia ważona niepustej skończonej krotki danych $prawej)}$${\ Displaystyle \ lewo (x_ {1}, x_ {2}, \ kropki, x_ {n} \$ po , z odpowiednimi nieujemnymi wagami ${\ Displaystyle \ lewo (w_ {1}, w_ {2}, \ kropki, w_ {n} \ prawej)}$

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {\ suma \ ograniczenia _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

który rozszerza się do:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + \ cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} +w_{2}+\cdots +w_{n}}}.}$

Dlatego elementy danych o dużej wadze mają większy wpływ na średnią ważoną niż elementy o małej wadze. Wagi nie mogą być ujemne. Niektóre mogą być zerowe, ale nie wszystkie (ponieważ dzielenie przez zero jest niedozwolone).

$}'}=1}$$sumują się$ do 1 . Dla takich znormalizowanych wag średnia ważona wynosi równoważnie:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ suma \ ograniczenia _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} 'x_ {i}}}$ .

Zauważ, że zawsze można znormalizować wagi, dokonując następującej transformacji na oryginalnych wagach:

${\ Displaystyle w_ {i} '= {\ Frac {w_ {i}}} {\ suma \ limity _ {j = 1} ^ {n} {w_ {j }}}}}$ .

Zwykła średnia jest szczególnym przypadkiem ${\ textstyle {\ Frac {1} {n}} \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}}}$ średniej ważonej, gdzie wszystkie dane mają równe wagi.

Jeśli elementy danych są niezależnymi i identycznie rozłożonymi zmiennymi losowymi $}$ , standardowym błędem średniej ważonej , $^ {2}}$$\ Displaystyle \ sigma$ , można pokazać za pomocą propagacji niepewności jako:

${\ textstyle \ sigma _ {\ bar {x}} = \ sigma {\ sqrt {\ suma \ limity _ {i = 1} ^ {n} w_ { i}'^{2}}}}$

Wagi zdefiniowane przez wariancję

Główny artykuł: ważenie odwrotnej wariancji

Zobacz też: Ważona metoda najmniejszych kwadratów

Dla średniej ważonej listy danych, dla których każdy element $wariancją$ pochodzi z innego rozkładu prawdopodobieństwa ze znaną σ ${2}}$ , wszystkie mają tę samą średnią, jeden możliwy wybór wag wynika z odwrotności wariancji:

${\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {1} {\ sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Średnia ważona w tym przypadku wynosi:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo ({\ dfrac {x_ {i}}} {\ sigma _ {i} ^ {2} }}\right)}{\sum _{i=1}^{n}{\dfrac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}={\frac {\sum _{i =1}^{n}\left(x_{i}\cdot w_{i}\right)}{\suma _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

a błąd standardowy średniej ważonej (z wagami odwrotnej wariancji) wynosi:

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} = {\ sqrt {\ Frac {1} {\ suma _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}}}}={\sqrt {\frac {1}{\suma _{i=1}^{n}w_{i }}}},}$

Zauważ, że zmniejsza się to do ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} = \ sigma _ {0} ^ {2}/n},$ gdy wszystkie ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} = \ sigma _ {0}}$ . Jest to szczególny przypadek ogólnego wzoru z poprzedniej sekcji,

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2} \ sigma _ {i} ^ {2} }={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\sigma _{i}^{-4}\sigma _{i}^{2}}}{\left(\sum _{ i=1}^{n}\sigma _{i}^{-2}\right)^{2}}}.}$

Powyższe równania można połączyć, aby uzyskać:

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {x_ {i}}} {\ sigma _ {i}^{2}}}.}$

Znaczenie tego wyboru polega na tym, że ta średnia ważona jest estymatorem największej wiarygodności średniej rozkładów prawdopodobieństwa przy założeniu, że są one niezależne i mają rozkład normalny z tą samą średnią.

Właściwości statystyczne

Oczekiwanie

Średnia ważona próbki, $.$ jest zmienną losową Jego wartość oczekiwana i odchylenie standardowe są powiązane z wartościami oczekiwanymi i odchyleniami standardowymi obserwacji w następujący sposób. Dla uproszczenia przyjmujemy wagi znormalizowane (wagi sumujące się do jednego).

Jeśli obserwacje mają wartości oczekiwane

$${\ Displaystyle E (x_ {i}) = {\ mu _ {i}},}$$

wtedy średnia ważona próbki ma wartość oczekiwaną

$${\ Displaystyle E ({\ bar {x}}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '\ mu _ {i}}.}$$

W szczególności, jeśli średnie są równe, to oczekiwana średnia z próby ważonej będzie tą wartością, ${\ displaystyle \ mu _ {i} = \ mu}$

$${\ Displaystyle E ({\ bar {x}}) = \ mu.}$$

Zmienność

Prosty przypadek id

Traktując wagi jako stałe i mając próbę n obserwacji z nieskorelowanych zmiennych losowych , wszystkie z tą samą wariancją i oczekiwaniem (jak w przypadku zmiennych losowych iid ), wówczas wariancję średniej ważonej można oszacować jako mnożenie wariancji przez efekt projektowy Kisha (patrz dowód ):

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} ({\ bar {y}} _ {w}) = {\ Frac {{\ kapelusz {\ sigma }}_{y}^{2}}{n}}{\frac {\overline {w^{2}}}{{\bar {w}}^{2}}}}$

z ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {y} ^ {2} = {\ Frac {\ suma _ { ja = 1} ^ {n} (y_ {i} - {\ bar {y}}) ^ {2}} {n-1}}} , w Ż$ = ${ \bar {w}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}}{n}}}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {w ^ {2}}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {2}} { N}}}$

Jednak oszacowanie to jest raczej ograniczone ze względu na silne założenie dotyczące obserwacji y . Doprowadziło to do opracowania alternatywnych, bardziej ogólnych estymatorów.

Perspektywa doboru próby

Z perspektywy opartej na modelu jesteśmy zainteresowani $nie$ wariancji średniej ważonej, gdy różne zmiennymi losowymi . Alternatywną perspektywą dla tego problemu jest pewien arbitralny projekt próbkowania danych, w którym jednostki są wybierane z nierównymi prawdopodobieństwami (ze zamianą).

W metodologii Survey średnią populacji dla pewnej interesującej nas wielkości y oblicza się, biorąc oszacowanie sumy y dla wszystkich elementów w populacji ( Y lub czasami T ) i dzieląc ją przez wielkość populacji - albo znana ( ${\ Displaystyle N}$ ) lub szacunkowo ( ${\ Displaystyle {\ kapelusz {N}}}$ ). W tym kontekście każda wartość y uważa się za stałą, a zmienność wynika z procedury selekcji. W przeciwieństwie do podejść „opartych na modelu”, w których losowość jest często opisywana w wartościach y. Procedura doboru próby ankietowej daje serię wartości wskaźnika Bernoulliego $( )$ , które otrzymują 1, jeśli jakaś obserwacja i znajduje się w próbie, i 0, jeśli nie została Może się to zdarzyć w przypadku próby o stałej wielkości lub próbkowania o zróżnicowanej wielkości (np.: próbkowanie Poissona ). Prawdopodobieństwo wybrania jakiegoś elementu, biorąc pod uwagę próbkę, jest oznaczone jako ${\ Displaystyle P (I_ {i} = 1 \ mid {\ tekst {niektóre próbka o wielkości }}n)=\pi _{i}}$ , a prawdopodobieństwo wylosowania jednego losowania wynosi ${\ Displaystyle P (I_ {i} = 1 | {\ tekst {jeden losowanie próbki}}) = p_ {i} \ około {\ Frac {\ pi _ {i}} {n}}} (Jeśli N jest$ bardzo duży i każdy $)$ . W poniższym wyprowadzeniu założymy, że prawdopodobieństwo wybrania każdego elementu jest w pełni reprezentowane przez te prawdopodobieństwa. To znaczy: wybranie jakiegoś elementu nie wpłynie na prawdopodobieństwo wylosowania innego elementu (nie dotyczy to takich rzeczy, jak próbkowania klastrów ).

$, często$$)$ element ( ) jest stały, a losowość wynika z tego czy jest on zawarty w próbce, czy nie ( o mnożeniu z dwóch, co jest zmienną losową. Aby uniknąć nieporozumień w poniższej sekcji, nazwijmy ten termin: ${\ displaystyle y'_ {i} = y_ {i} ja_ {i}}$ . Z następującym oczekiwaniem: $\ Displaystyle E [y'_ {i}] = y_ {i} E [I_ {i}] = y_ {i} \ pi _ {i}}$ ; i wariancja: ${\ Displaystyle V [y'_ {i}] = y_ {i} ^ {2 }V[I_{i}]=y_{i}^{2}\pi _{i}(1-\pi _{i})}$ .

Kiedy każdy element próbki jest zawyżony o odwrotność jego prawdopodobieństwa wyboru, nazywa się to $rozszerzonymi$ y , tj.: y $\ displaystyle {\ check {y }}_{i}={\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}$ . Powiązana wielkość to rozszerzone wartości y : $y_ {i}} {p_ {i}}} = n {\ check {y }}_{I}}$$\ Displaystyle {\ Frac$ . Jak wyżej, możemy dodać znacznik wyboru, jeśli mnożymy przez funkcję wskaźnika. tj.: ${\ Displaystyle {\ sprawdź {y}} '_ {i} = ja_ {i} {\ sprawdź {y}} _ {i} ={\frac {I_{i}y_{i}}{\pi _{i}}}}$

W tej perspektywie projektowej wagi stosowane w liczniku średniej ważonej są otrzymywane z odwrotności prawdopodobieństwa wyboru (tj. współczynnika inflacji). tj. ${\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {1} {\ pi _ {i}}} \ około {\ Frac {1} {n \ razy p_ {i}}}}$ .

Wariancja sumy ważonej ( pwr -estymator dla sum)

Jeśli znana jest wielkość populacji N , możemy oszacować średnią populacji za pomocą ${\ Displaystyle {\ hat {\ bar {Y} }}_ {{\text{znany }}N}={\frac {{\hat {Y}}_{pwr}}{N}}\około {\frac {\sum _{i=1}^{ n}w_{i}y'_{i}}{N}}}$ .

Jeśli schemat doboru próby jest taki, który daje stałą wielkość próby n (na przykład w pps próbkowania ), to wariancja tego estymatora wynosi:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} \ lewo ({\ kapelusz {\ bar {Y}}}_{{\text{znany }}N}\right)={\frac {1}{N^{2}}}{\frac {n}{n-1}}\sum _{ i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}}$

Dowód

Ogólny wzór można rozwinąć w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ bar {Y}}} _ {{\ tekst {znany}} N} = {\ Frac {{\ kapelusz {Y}} _ {pwr}} {N}} = {\ frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{p_{i}}}}{N}}\około {\ frac {\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}}{N}}={\frac {\sum _{i= 1}^{n}w_{i}y'_{i}}{N}}.}$

Całkowita populacja jest oznaczona jako ${\ Displaystyle Y = \ suma _ {i = 1} ^ {N} y_ {i}}$ i może być oszacowana przez (bezstronny) Horvitz – Thompson estymator , zwany $także$ . Sam ten estymator można oszacować za pomocą estymatora pwr (tj. $o$ estymator zastępczy lub estymator „prawdopodobieństwo z zastępczym”). Przy powyższym zapisie jest to: ${\ Displaystyle {\ kapelusz {Y}} _ {pwr} = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {y'_ {i}} {p_ {i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {y'_{i}}{np_{i}}}\około \sum _{i=1}^{n} {\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}$ .

Oszacowana wariancja estymatora pwr jest dana wzorem:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {Y}} _ {pwr} )={\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{ 2}}$$

gdzie ${\ Displaystyle {\ overline {wy}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {w_ {i} y_ {i} }{n}}}$ .

Powyższy wzór został zaczerpnięty z Sarndal et al. (1992) (również przedstawiony w Cochran 1977), ale został napisany inaczej. Lewa strona to sposób, w jaki została zapisana wariancja, a prawa strona to sposób, w jaki opracowaliśmy wersję ważoną:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {Y}} _ {\ tekst {pwr}}) & = {\ Frac {1} {n}}} {\ Frac {1} n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}}{p_{i}}}-{\kapelusz {Y}}_{pwr}\right )^{2}\\&={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac { n}{n}}{\frac {y_{i}}{p_{i}}}-{\frac {n}{n}}\suma _{i=1}^{n}w_{i}y_ {i}\right)^{2}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(n{ \frac {y_{i}}{\pi _{i}}}-n{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y_{i}}{n}}\right )^{2}\\&={\frac {n^{2}}{n}}{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left( w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}\\&={\frac {n}{n-1}}\sum _{i=1}^{n }\left(w_{i}y_{i}-{\overline {wy}}\right)^{2}\end{wyrównane}}}$$

I doszliśmy do formuły z góry.

Alternatywny termin, gdy próbkowanie ma losową wielkość próby (jak w próbkowaniu Poissona ), jest przedstawiony w Sarndal et al. (1992) jako:

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {\bar {Y}}}_{{\text{pwr (znany }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i= 1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta}}_{ij}{\check {y}}_{i}{\check {y} }_{j}\prawo)}$$

Z ${\ Displaystyle {\ check {y}} _ {i} = {\ Frac {y_ {i}}} {\ pi _ {i}}}$ } do ${\ Displaystyle C (I_ {i}, I_ {j}) = \ pi _ {ij} - \ pi _$$jot {\ Displaystyle \ pi _ {ij}}$ gdzie jest prawdopodobieństwem wybrania zarówno i, jak i j. i $= 1- {\ Frac {\ pi _ {i} \ pi _ {j}} {\ pi _ {ij}}}}$ i dla i = j: ${\ Displaystyle {\ check {\ Delta}} _ {ii} =1-{\frac {\pi _{i}\pi _{i}}{\pi _{i}}}=1-\pi _{i}}$ .

Jeśli prawdopodobieństwo wyboru jest nieskorelowane (tj.: ${\ Displaystyle \ forall i \ neq j: C (I_ {i}, I_ {j}) = 0}$ , a przy założeniu, że prawdopodobieństwo każdego elementu jest bardzo małe, to:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {\ bar {Y}}} _ { {\text{pwr (znany }}N{\text{)}}})={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left(w_ {i}y_{i}\prawo)^{2}}$

Dowód

Zakładamy, że i że ${\ Displaystyle (1- \ pi _ {i}) \ około 0}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {Var} ({\ kapelusz {Y}} _ {{\ tekst {pwr (znany}} N {\ tekst {)}}}) & = {\ Frac {1 }{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta}}_{ij}{\ sprawdź {y}}_{i}{\check {y}}_{j}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^ {n}\left({\check {\Delta}}_{ii}{\check {y}}_{i}{\check {y}}_{i}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\frac {y_{i}}{\pi _{ i}}}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}\right)\\&={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{i=1 }^{n}\left(w_{i}y_{i}\right)^{2}\end{wyrównane}}}$$

Wariancja średniej ważonej ( π - estymator dla ilorazu średniej)

Poprzednia sekcja dotyczyła szacowania średniej populacji jako stosunku szacowanej całkowitej populacji ( ) do znanej wielkości populacji ( ) , a wariancja wynosiła $\$$displaystyle {\ kapelusz {Y} }}$ oszacowane w tym kontekście. $)$ to, że sama wielkość populacji ( $)$ jest nieznana i jest szacowana na podstawie próby (tj . Oszacowanie $.$ sumę wag Więc kiedy ${\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {1} {\ pi _ {i}}}}$ dostajemy ${\ Displaystyle {\ hat {N}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} I_ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {I_ { i}}{\pi _{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\check {1}}'_{i}}$ . Używając notacji z $i$ sekcji, stosunek, na którym nam zależy, to suma s . tj.: ${\ Displaystyle R = {\ bar {Y}} = {\ Frac {\ suma _ {i =1}^{N}{\frac {y_{i}}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{\pi _{ i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\ sprawdź {1}}_{i}}}={\frac {\suma _{i=1}^{N}w_{i}y_{i}}{\suma _{i=1}^{N} w_{i}}}}$ . Możemy to oszacować na podstawie naszej próby z: ${\ Displaystyle {\ kapelusz {R}} = {\ kapelusz {\ bar {Y}}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} I_ {i} {\ Frac {y_ {i }}{\pi _{i}}}}{\sum _{i=1}^{N}I_{i}{\frac {1}{\pi _{i}}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}{\check {y}}'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}{\check {1}}'_{i }}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}1' _{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i }1'_{i}}}={\bar {y}}_{w}}$ . Kiedy przeszliśmy od używania N do używania n, właściwie wiemy, że wszystkie zmienne wskaźnikowe otrzymują 1, więc możemy po prostu napisać: ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {w} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y_ {i}} {\ suma _{i=1}^{n}w_{i}}}}$ . Będzie to estymacja dla określonych wartości y i w, ale właściwości statystyczne uzyskuje się po uwzględnieniu zmiennej wskaźnikowej ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {w} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y'_ {i}} {\ suma _ {i = 1 }^{n}w_{i}1'_{i}}}}$ .

Nazywa się to estymatorem ilorazowym i jest w przybliżeniu nieobciążone dla R .

W tym przypadku zmienność wskaźnika zależy od zmienności zmiennych losowych zarówno w liczniku, jak iw mianowniku - oraz ich korelacji. Ponieważ nie ma zamkniętej postaci analitycznej do obliczania tej wariancji, do przybliżonego oszacowania stosuje się różne metody. Przede wszystkim linearyzacja pierwszego rzędu szeregu Taylora , asymptotyka i bootstrap/jackknife. Metoda linearyzacji Taylora może generalnie prowadzić do niedoszacowania wariancji dla małych próbek, ale zależy to od złożoności statystyki. W przypadku średniej ważonej przybliżona wariancja powinna być stosunkowo dokładna nawet dla średniej wielkości próby. Gdy próbkowanie ma losową wielkość próby (jak w próbkowanie Poissona ) przedstawia się następująco:

${\ Displaystyle {\ widehat {V ({\ bar {y }}_{w})}}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^ {n}w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}}$ .

Zauważmy, że jeśli ${\ Displaystyle \ pi _ {i} \ około p_ {i} n}$ , to albo używając ${\ Displaystyle w_ {i} = {\ frac {1 {\ pi _ {i}}}}$ lub ${\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {1} {p_ {i}}}}$ dałoby ten sam estymator, ponieważ mnożenie ${\ displaystyle w_ {i}}$ przez jakiś czynnik prowadziłoby do tego samego estymatora. Oznacza to również, że jeśli przeskalujemy sumę wag, aby była równa znanej wcześniej wielkości populacji N , obliczenie wariancji wyglądałoby tak samo. Kiedy wszystkie wagi są sobie równe, ten wzór jest redukowany do standardowego nieobciążonego estymatora wariancji.

Dowód

Linearyzacja Taylora stwierdza, że ​​​​dla estymatora ogólnego ilorazu dwóch sum ( ${\ Displaystyle {\ kapelusz {R}} = {\ Frac {\ kapelusz {Y}}} {\ kapelusz {Z}}} }$ ), można je rozszerzyć wokół rzeczywistej wartości R i otrzymać:

$${\ Displaystyle {\ kapelusz {R}} = {\ Frac {\ kapelusz {Y}} {\ kapelusz {Z}}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} y'_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}z'_{i}}}\około R+{\frac {1}{Z}}\sum _{i =1}^{n}\left({\frac {y'_{i}}{\pi _{i}}}-R{\frac {z'_{i}}{\pi _{i} }}\Prawidłowy)}$$

A wariancję można przybliżyć wzorem:

$${\ Displaystyle {\ widehat {V ({\ kapelusz {R}}}}} = {\ Frac {1} {{\ kapelusz {Z}} ^ {2}}} \ suma _ {i = 1} ^ { n}\sum _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta}}_{ij}{\frac {y_{i}-{\kapelusz {R}}z_{i}} {\pi _{i}}}{\frac {y_{j}-{\hat {R}}z_{j}}{\pi _{j}}}\right)={\frac {1}{ {\kapelusz {Z}}^{2}}}\left[{\widehat {V({\kapelusz {Y}})}}+{\kapelusz {R}}{\widehat {V({\kapelusz { Z}})}}-2{\kapelusz {R}}{\kapelusz {C}}({\kapelusz {Y}},{\kapelusz {Z}})\prawo]}$$

.

Termin $_$ _ oszacowana suma Z. Ponieważ jest to kowariancja dwóch sum zmiennych losowych , zawierałaby wiele kombinacji kowariancji, które będą zależeć od zmiennych wskaźnikowych. Jeśli prawdopodobieństwo wyboru jest nieskorelowane (tj.: ${\ Displaystyle \ forall i \ neq j: \ Delta _ {ij} = C (I_ {i}, I_ {j}) = 0}$ , termin ten nadal obejmowałby sumę n kowariancji dla każdy element ja między ${\ Displaystyle y'_ {i} = I_ {i} y_ {i}} i$$\ Displaystyle z'_ {i} = I_{i}z_{i}}$ ja . Pomaga to zilustrować, że ten wzór uwzględnia wpływ korelacji między y i z na wariancję estymatorów ilorazowych.

Z ${\ displaystyle z_ {i} = 1}$ powyższe staje się: z ja = 1 {\ displaystyle z_ {i} = 1

$${\ Displaystyle {\ widehat {V ({\ kapelusz {R}}}}} = {\ widehat {V ({\ bar {y}} _ {w})}} = {\ Frac {1} {{\ kapelusz {N}}^{2}}}\suma _{i=1}^{n}\suma _{j=1}^{n}\left({\check {\Delta}}_{ij} {\frac {y_{i}-{\bar {y}}_{w}}{\pi _{i}}}{\frac {y_{j}-{\bar {y}}_{w} }{\pi _{j}}}\prawo).}$$

$} = C (I_ {i} , I_ {j}) = 0}$ jot ), a przy założeniu, że prawdopodobieństwo każdego elementu jest bardzo małe (tj.: ${\ Displaystyle (1- \ pi _ {i}) \ około 0}$ ) , to powyższe zredukowano do następującego:

$${\ Displaystyle {\ widehat {V ({\ bar {y}} _ {w}}}} = {\ Frac {1} {{\ kapelusz {N}} ^ {2}}} \ suma _ {i = 1}^{n}\left((1-\pi _{i}){\frac {y_{i}-{\bar {y}}_{w}}{\pi _{i}}}\ dobrze)^{2}={\frac {1}{(\sum _{i=1}^{n}w_{i})^{2}}}\sum _{i=1}^{n} w_{i}^{2}(y_{i}-{\bar {y}}_{w})^{2}.}$$

Podobną rekonstrukcję dowodu (z pewnymi błędami na końcu) przedstawił Thomas Lumley w walidacji krzyżowej.

Mamy (co najmniej) dwie wersje wariancji średniej ważonej: jedną ze znaną i jedną z nieznanym oszacowaniem wielkości populacji. Nie ma jednakowo lepszego podejścia, ale literatura przedstawia kilka argumentów przemawiających za preferowaniem wersji szacowanej populacji (nawet jeśli znana jest wielkość populacji). Na przykład: jeśli wszystkie wartości y są stałe, estymator o nieznanej wielkości populacji da prawidłowy wynik, podczas gdy estymator o znanej wielkości populacji będzie miał pewną zmienność. Również, gdy sama wielkość próby jest losowa (np.: w próbkowaniu Poissona ), wersja z nieznaną średnią populacji jest uważana za bardziej stabilną. Wreszcie, jeśli proporcja próbkowania jest ujemnie skorelowana z wartościami (tj.: mniejsza szansa na pobranie próbki z obserwacji, która jest duża), wówczas wersja o nieznanej wielkości populacji nieznacznie to kompensuje.

Walidacja ładowania początkowego

Wykazano, że Gatz i in. (1995), że w porównaniu z ładowania początkowego następujące (oszacowanie wariancji średniej ilorazu przy użyciu linearyzacji szeregów Taylora ) jest rozsądnym oszacowaniem kwadratu błędu standardowego średniej (gdy jest stosowane w kontekście pomiaru składników chemicznych) :

${\ Displaystyle {\ widehat {\ sigma _ {{\ bar {x}} _ {w}} ^ {2}}} ={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\left[\suma (w_{i}x_{i}-{\bar {w} }{\bar {x}}_{w})^{2}-2{\bar {x}}_{w}\suma (w_{i}-{\bar {w}})(w_{i }x_{i}-{\bar {w}}{\bar {x}}_{w})+{\bar {x}}_{w}^{2}\suma (w_{i}-{ \bar {w}})^{2}\prawo]}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ bar {w}} = {\ Frac {\ suma w_ {i}} {n}}}$ . Dalsze uproszczenie prowadzi do

${\ Displaystyle {\ widehat {\ sigma _ {\ bar {x}} ^ { 2}}}={\frac {n}{(n-1)(n{\bar {w}})^{2}}}\suma w_{i}^{2}(x_{i}-{ \bar {x}}_{w})^{2}}$

Gatz i in. wspomnieć, że powyższy preparat został opublikowany przez Endlich et al. (1988) traktując średnią ważoną jako kombinację estymatora ważonego całkowitego podzielonego przez estymator wielkości populacji, na podstawie sformułowania opublikowanego przez Cochrana (1977), jako przybliżenie średniej ilorazowej. Jednak Endlich i in. nie opublikowali tego wyprowadzenia w swoim artykule (mimo że wspominają, że go użyli), a książka Cochrana zawiera nieco inne sformułowanie. Mimo to jest prawie identyczny z preparatami opisanymi w poprzednich sekcjach.

Estymatory oparte na replikacji

Ponieważ nie ma zamkniętej postaci analitycznej dla wariancji średniej ważonej, w literaturze zaproponowano poleganie na metodach replikacji, takich jak Jackknife i Bootstrapping .

Inne notatki

W przypadku nieskorelowanych obserwacji z wariancjami wariancja średniej ważonej próbki wynosi ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {w_ { i}'^{2}\sigma _{i}^{2}}}$

którego pierwiastek kwadratowy $można$ błędem standardowym średniej ważonej (przypadek .

W konsekwencji, jeśli wszystkie obserwacje mają równą wariancję, średnia ważona próbki będzie miała wariancję ${\ Displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2} = \ sigma _ {0} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} = \ sigma _ {0} ^ {2} \ suma _ {i =1}^{n}{w_{i}'^{2}},}$

gdzie ${\ textstyle 1/n \ równoważnik \ suma _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} '^ {2}} \ równoważnik 1 }$ . Wariancja osiąga swoją maksymalną wartość, gdy wszystkie wagi oprócz jednej $wynoszą$ Jego minimalną wartość można znaleźć, gdy wszystkie wagi są równe (tj. średnia nieważona), w którym to przypadku mamy ${\textstyle \sigma _{\bar {x}}=\sigma _{0}/{\sqrt {n}}} , czyli$ degeneruje się do standardowego błędu średniej kwadratowej.

Należy zauważyć, że ponieważ zawsze można przekształcić nieznormalizowane wagi na znormalizowane, wszystkie wzory w tej sekcji można dostosować do nieznormalizowanych wag, zastępując wszystkie ${\ displaystyle w_ {i} '={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}}$ .

Pojęcia pokrewne

Ważona wariancja próby

Zobacz też: § Korekcja nadmiernej lub niedostatecznej dyspersji

Zazwyczaj podczas obliczania średniej ważna jest znajomość wariancji i odchylenia standardowego tej średniej. Gdy używana jest średnia ważona $nieważonej$ wariancja próbki ważonej różni się od wariancji próbki

Obciążona ważona $w 2$ próbki $\ displaystyle kapelusz {\sigma}}^{2}}$ zdefiniowana podobnie do normalnej obciążonej wariancji próbki \ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {\ sigma}} ^ {2} \ & = {\ Frac {\ suma \ ograniczenia _ {i = 1} ^ {N} \ lewo (x_ {i} - \mu \right)^{2}}{N}}\\{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}&={\frac {\sum \limits _{i= 1}^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\suma _{i=1}^{N}w_{i}} }\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 1}$ dla znormalizowanych wag. Jeśli wagi są wagami częstotliwości (a zatem są zmiennymi losowymi), można wykazać , że ${\ Displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {\ operatorname {w}} ^ {2} }$ jest estymatorem największej wiarygodności dla iid σ $\ Displaystyle \ sigma ^ {2}}$ Obserwacje Gaussa.

W przypadku małych próbek zwykle stosuje się nieobciążony estymator wariancji populacji. W normalnych nieważonych próbkach N w mianowniku (odpowiadającym wielkości próby) zmienia się na N - 1 (patrz poprawka Bessela ). W ustawieniu ważonym istnieją w rzeczywistości dwa różne nieobciążone estymatory, jeden dla przypadku wag częstotliwości , a drugi dla przypadku wag niezawodności .

Wagi częstotliwości

Jeśli wagi są wagami częstotliwości (gdzie waga jest równa liczbie wystąpień), wówczas nieobciążonym estymatorem jest:

${\ Displaystyle s ^ {2} \ = {\ Frac {\ suma \ ograniczenia _ {i = 1 }^{N}w_{i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}-1 }}}$

To skutecznie stosuje poprawkę Bessela dla wag częstotliwości.

$rozkładu$ jeśli wartości tego jako próbkę nieważoną lub możemy traktować ją jako $wagami$$\$ { , i otrzymujemy ten sam wynik w obie strony.

Jeśli wagi częstotliwości są znormalizowane do 1, to poprawne wyrażenie po korekcie Bessela staje się { $\ Displaystyle \ {w_ {i} \}}$

${\ Displaystyle s ^ {2} \ = {\ Frac {\ suma _{i=1}^{N}w_{i}}{\suma _{i=1}^{N}w_{i}-1}}\suma _{i=1}^{N}w_{ i}\left(x_{i}-\mu ^{*}\right)^{2}}$

gdzie całkowita liczba próbek wynosi ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}$$($ nie . W każdym razie informacja o całkowitej liczbie $ma$ jest niezbędna do uzyskania obiektywnej korekty, nawet jeśli znaczenie niż waga częstotliwości.

Należy zauważyć, że estymator może być nieobciążony tylko wtedy, gdy wagi nie są wystandaryzowane ani znormalizowane , procesy te zmieniają średnią i wariancję danych, a tym samym prowadzą do utraty wskaźnika podstawowego (liczba populacji, która jest wymagana do poprawki Bessela).

Wagi niezawodności

Jeśli zamiast tego wagi są nielosowe ( wagi niezawodności ), możemy określić współczynnik korygujący, aby uzyskać nieobciążony estymator. Zakładając $, że każda zmienna losowa$ próbkowana z tego samego rozkładu ze średnią $pod$ rzeczywistą wariancją uwagę nasze oczekiwania,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ nazwa operatora {E} [{\ kapelusz {\ sigma}} ^ {2}] & = {\ Frac {\ suma \ limity _ {i = 1} ^ {N} \ nazwa operatora {E} [(x_{i}-\mu)^{2}]}{N}}\\&=\nazwa_operatora {E} [(X-\nazwa_operatora {E} [X])^{2}] -{\frac {1}{N}}\nazwa_operatora {E} [(X-\nazwa_operatora {E} [X])^{2}]\\&=\left({\frac {N-1}{ N}}\right)\sigma _{\text{rzeczywisty}}^{2}\\\operatorname {E} [{\hat {\sigma }}_{\mathrm {w} }^{2}]& ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}\operatorname {E} [(x_{i}-\mu ^{*})^{2}]}{V_ {1}}}\\&=\nazwa_operatora {E} [(X-\nazwa_operatora {E} [X])^{2}]-{\frac {V_{2}}{V_{1}^{2 }}}\nazwa_operatora {E} [(X-\nazwa_operatora {E} [X])^{2}]\\&=\left(1-{\frac {V_{2}}{V_{1}^ {2}}}\right)\sigma _{\text{rzeczywiste}}^{2}\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle V_ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}$ i ${\ styl wyświetlania V_{2}=\suma_{i=1}^{N}w_{i}^{2}}$ . Dlatego obciążenie w naszym estymatorze wynosi ${\ Displaystyle \ lewo (1- {\ Frac {V_ {2}} {V_ {1} ^ {2}}} \ prawej)$ } analogiczny do ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {N-1} {N}} \ prawej)}$ odchylenie w nieważonym estymatorze (zauważ również, że ${\ displaystyle \ V_{1}^{2}/V_{2}=N_{eff}}$ to efektywna wielkość próbki ). Oznacza to, że aby odciążyć nasz estymator, musimy wstępnie podzielić przez ${\ Displaystyle 1-\ lewo (V_ {2} / V_ {1} ^ {2} \ prawej)}$ , upewniając się, że oczekiwana wartość oszacowanej wariancji jest równa rzeczywistej wariancji rozkładu próbkowania.

Ostateczne, nieobciążone oszacowanie wariancji próbki to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s _ {\ operatorname {w}} ^ {2} \ & = {\ Frac {{\ kapelusz {\ sigma}} _ {\ operatorname {w}} ^ {2}} 1-(V_{2}/V_{1}^{2})}}\\[4pt]&={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}w_{i}(x_ {i}-\mu ^{*})^{2}}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}},\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {E} [s _ {\ operatorname {w}} ^ {2}] = \ sigma _ {\ tekst {rzeczywisty}} ^ {2}}$ .

Stopnie swobody ważonej, nieobciążonej wariancji próbki zmieniają się odpowiednio od N - 1 do 0.

Odchylenie standardowe to po prostu pierwiastek kwadratowy z powyższej wariancji.

Na marginesie, opisano inne podejścia do obliczania wariancji próbki ważonej.

Kowariancja próby ważonej

W próbie ważonej każdemu wektorowi wierszowemu $)$ każdemu zestawowi pojedynczych obserwacji każdej z K zmiennych losowych przypisuje się wagę $displaystyle w_ {i} }\geq 0}$ .

Wtedy średni ważony wektor jest określony przez ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu ^ {*}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu ^ {*}} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \ mathbf {x} _ {i}} {\ suma _ {i =1}^{N}w_{i}}}.}$

A ważona macierz kowariancji jest dana przez:

${\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \ lewo (\ mathbf {x} _ {i} - \ mu ^ {*} \ prawo )^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}}}.}$

Podobnie jak w przypadku wariancji próby ważonej, istnieją dwa różne estymatory nieobciążone w zależności od rodzaju wag.

Wagi częstotliwości

Jeśli wagi są wagami częstotliwości , nieobciążone ważone oszacowanie macierzy kowariancji ${\ displaystyle \ textstyle \ mathbf {C}}$ poprawką Bessela jest określone wzorem: do

${\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \ lewo (\ mathbf {x} _ {i} - \ mu ^ {*} \ prawo )^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-1}}.}$

Należy zauważyć, że ten estymator może być nieobciążony tylko wtedy, gdy wagi nie są wystandaryzowane ani znormalizowane , procesy te zmieniają średnią i wariancję danych, a tym samym prowadzą do utraty wskaźnika podstawowego (liczba populacji, która jest wymagana do korekty Bessela).

Wagi niezawodności

W przypadku wag niezawodności , wagi są znormalizowane :

${\ Displaystyle V_ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} = 1.}$

(Jeśli tak nie jest, podziel wagi przez ich sumę, aby znormalizować przed obliczeniem: ${\ displaystyle V_ {1}}$ :

${\ Displaystyle w_ {i} '= {\ Frac {w_ {i}}} {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}}} }$

Wtedy średni ważony wektor można uprościć do ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu ^ {*}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ mu ^ {*}} = \ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \ mathbf {x} _ {i}.}$

a nieobciążone ważone oszacowanie macierzy kowariancji ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$ : do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {C} & = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i}} {\ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {N}w_{i}\right)^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\sum _{i=1}^{N}w_ {i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right )\\&={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)^{T }\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{V_{1}-(V_{2}/V_{1})}}.\end{wyrównane}} }$

Rozumowanie tutaj jest takie samo jak w poprzedniej sekcji.

Ponieważ zakładamy, że wagi są znormalizowane, to sprowadza się to do: ${\ Displaystyle V_ {1} = 1}$

${\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} w_ {i} \ lewo (\ mathbf {x} _ {i} - \ mu ^ {*} \ prawo )^{T}\left(\mathbf {x} _{i}-\mu ^{*}\right)}{1-V_{2}}}.}$

$to$ takie same, tj. ważona i kowariancja zmniejszają się do .

Szacunki o wartościach wektorowych

Powyższe można łatwo uogólnić na przypadek przyjęcia średniej z oszacowań o wartościach wektorowych. Na przykład szacunki pozycji na płaszczyźnie mogą mieć mniejszą pewność w jednym kierunku niż w innym. Podobnie jak w przypadku skalarnym, średnia ważona wielu oszacowań może zapewnić maksymalnego prawdopodobieństwa . Po prostu zastępujemy wariancję macierzą kowariancji, a odwrotność arytmetyczną macierzą odwrotną do $sigma ^ {2}$$\ Displaystyle \$ (oba oznaczone w ten sam sposób, za pomocą indeksów górnych); macierz wag brzmi wtedy:

$${\ Displaystyle \ mathbf {W} _ {i} = \ mathbf {C} _ {i} ^ {- 1}.}$$

Średnia ważona w tym przypadku wynosi:

$${\ Displaystyle {\ bar {\ mathbf {x}}} = \ mathbf {C} _ {\ bar {\ mathbf {x}}} \left(\suma _{i=1}^{n}\mathbf {W} _{i}\mathbf {x} _{i}\right),}$$

(gdzie rząd iloczynu macierzowo-wektorowego nie jest przemienny ), pod względem kowariancji średniej ważonej:

$${\ Displaystyle \ mathbf {C} _ {\ bar {\ mathbf {x}}} = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ { n}\mathbf {W} _{i}\right)^{-1},}$$

Rozważmy na przykład średnią ważoną punktu [1 0] z dużą wariancją drugiego składnika i [0 1] z dużą wariancją pierwszego składnika. Następnie

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {1}: = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i 0 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ szczyt}, \qquad \mathbf {C} _{1}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&100\end{bmatrix}}} x 2$

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {2}: = {\ rozpocząć {bmatrix} 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} ^ {\ top}, \ qquad \ mathbf {C} _ {2}: = {\ rozpocząć { bmacierz}100&0\\0&1\end{bmacierz}}}$

wtedy średnia ważona wynosi:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ bar {\ mathbf {x}}} & = \ lewo (\ mathbf {C} _ {1} ^ {-1} + \ mathbf {C} _ {2} ^ {-1}\right)^{-1}\left(\mathbf {C} _{1}^{-1}\mathbf {x} _{1}+\mathbf {C} _{2}^{ -1}\mathbf {x} _{2}\right)\\[5pt]&={\begin{bmatrix}0.9901&0\\0&0.9901\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,9901\\0,9901\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

co ma sens: oszacowanie [1 0] jest „zgodne” w przypadku drugiego składnika, a oszacowanie [0 1] jest zgodne w przypadku pierwszego składnika, więc średnia ważona wynosi prawie [1 1].

Uwzględnianie korelacji

Zobacz także: Uogólnione najmniejsze kwadraty i Wariancja § Suma skorelowanych zmiennych

W ogólnym przypadku załóżmy, że ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = [x_ {1}, \ kropki, x_ {n}] ^ {T}}$ , ${ \ displaystyle \ mathbf {C}}$ to macierz kowariancji odnosząca się do ilości, ${\ displaystyle x_ {i}}$ , ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ to wspólna średnia do oszacowania, a ${ \displaystyle\mathbf {J}}$ to a macierz projektu $\ Displaystyle [1, \ kropki, 1] ^$ wektorowi jedynek ( o długości ${\ displaystyle n}$ . Twierdzenie Gaussa -Markowa stwierdza, że ​​​​oszacowanie średniej o minimalnej wariancji jest określone wzorem:

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} = (\ mathbf {J} ^ {T} \ mathbf {W} \ mathbf { J} )^{-1},}$

I

${\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2} (\ mathbf {J} ^ {T} \ mathbf {W} \mathbf {X} ),}$

Gdzie:

${\ Displaystyle \ mathbf {W} = \ mathbf {C} ^ {-1}.}$

Zmniejszenie siły interakcji

Rozważ szeregi czasowe zmiennej niezależnej $}$ zmiennej zależnej $.$ obserwacjami $displaystyle$ w dyskretnych czasach $t_ {i}$ W wielu typowych sytuacjach wartość $}$ czasie zależy tylko od $}$$i$ ale także na jej wartościach z przeszłości. Zwykle siła tej zależności maleje wraz ze wzrostem odległości obserwacji w czasie. $modelować$ tę sytuację, można zastąpić zmienną niezależną jej średnią $ślizgową$ okna .

${\ Displaystyle z_ {k} = \ suma _ {i = 1} ^ {m} w_ {i} x_ {k + 1-i}.}$

Wykładniczo malejące wagi

Zobacz też: Wykładniczo ważona średnia krocząca

W scenariuszu opisanym w poprzedniej sekcji najczęściej spadek siły interakcji podlega negatywnemu prawu wykładniczemu. $w$ zmniejszeniu o stały każdym kroku czasowym. Ustawiając ${\ Displaystyle w = 1- \ Delta}$ możemy zdefiniować znormalizowane wagi przez ${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle w_ {i} = {\ Frac {w ^ {i-1}} {V_ {1}}},}$

gdzie $.$ sumą nieznormalizowanych $jest$ przypadku po prostu

${\ Displaystyle V_ {1} = \ suma _ {i = 1} ^ {m} {w ^ {i-1}} ={\frac {1-w^{m}}{1-w}},}$

$_$ się m $_$ _

$odpowiadać$ tłumienia musi faktycznemu spadkowi siły interakcji. Jeśli nie można tego określić na podstawie rozważań teoretycznych, to do dokonania odpowiedniego wyboru przydatne są następujące właściwości wykładniczo malejących wag: w kroku ${\ Displaystyle (1-w) ^ {-1}$ } waga jest w przybliżeniu równa ${\ Displaystyle {e ^ {-1}} (1-w) = 0,39 (1-w)}$ , obszar ogona wartość mi $\ Displaystyle e ^ {-1}}$ , obszar głowy ${\ Displaystyle {1-e ^ {-1}} = 0,61}$ . Obszar ogona w kroku $Displaystyle$ ≤ $\ leq {e ^ {-n (1-w)}}}$ . Gdzie przede wszystkim najbliższy ${\ displaystyle n}$$,$ a wpływ pozostałych obserwacji można bezpiecznie zignorować, a następnie wybrać , aby obszar ogona był wystarczająco mały.

Średnie ważone funkcji

Pojęcie średniej ważonej można rozszerzyć na funkcje. Średnie ważone funkcji odgrywają ważną rolę w systemach rachunku różniczkowego i całkowego ważonego.

Korekcja nadmiernej lub niedostatecznej dyspersji

Zobacz też: § Wariancja próby ważonej

Średnie ważone są zwykle używane do znalezienia średniej ważonej danych historycznych, a nie danych generowanych teoretycznie. W takim przypadku wystąpi pewien błąd w wariancji każdego punktu danych. Zazwyczaj błędy eksperymentalne mogą być niedoszacowane, ponieważ eksperymentator nie bierze pod uwagę wszystkich źródeł błędów przy obliczaniu wariancji każdego punktu danych. $,$ aby uwzględnić fakt, że jest zbyt duża. Korekta, którą należy wprowadzić, to

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {\ bar {x}} ^ {2} = \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2 }\chi _{\nu }^{2}}$

gdzie jest zredukowanym chi-kwadrat : ${\ Displaystyle \ chi _ {\ nu} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ chi _ {\ nu} ^ {2} = {\ Frac {1} {(n-1)}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {(x_ {i} -{\bar {x}})^{2}}{\sigma _{i}^{2}}};}$

$skala$ kwadratowy można nazwać błędem średniej ważonej (wagi wariancji, .

Gdy wszystkie wariancje danych są równe, $\ bar {x}} ^ {2}}$$się$ średniej ważonej wariancji, , co ponownie sprowadza się do błędu standardowego średniej (do kwadratu), ${\ Displaystyle \ sigma _ {\ bar {x}} ^ {2 }=\sigma ^{2}/n}$ , sformułowane w postaci odchylenia standardowego próbki (do kwadratu),

${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}} {n-1} }.}$

Zobacz też

• Przeciętny
• Tendencji centralnej
• Mieć na myśli
• Odchylenie standardowe
• Statystyki podsumowujące
• Funkcja wagi
• Średni ważony koszt kapitału
• Ważona średnia geometryczna
• Ważona średnia harmoniczna
• Ważone metody najmniejszych kwadratów
• Ważona mediana
• Ważona średnia ruchoma
• Suma ważona zmiennych
• Ważenie
• Błąd standardowy oszacowania proporcji przy użyciu danych ważonych
• Estymator ilorazowy

Dalsza lektura

•   Bevington, Philip R. (1969). Redukcja danych i analiza błędów dla nauk fizycznych . Nowy Jork, NY: McGraw-Hill. OCLC 300283069 .
•   Strutz, T. (2010). Dopasowanie danych i niepewność (praktyczne wprowadzenie do ważonych najmniejszych kwadratów i nie tylko) . Zobaczeg+Teubner. ISBN 978-3-8348-1022-9 .

Linki zewnętrzne

• Dawid Terr. „Średnia ważona” . MathWorld .
• Narzędzie do obliczania średniej ważonej