Wypukłość geodezyjna

W matematyce - a konkretnie w geometrii riemannowskiej - wypukłość geodezyjna jest naturalnym uogólnieniem wypukłości dla zbiorów i funkcji na rozmaitości riemannowskie . Często odrzuca się przedrostek „geodezyjny” i odnosi się po prostu do „wypukłości” zbioru lub funkcji.

Definicje

Niech ( M , g ) będzie rozmaitością Riemanna.

• podzbiór C z M jest zbiorem geodezyjnie wypukłym , jeśli przy danych dowolnych dwóch punktach w C istnieje unikalny geodezyjny minimalizujący zawarty w C , który łączy te dwa punkty.
• Niech C będzie geodezyjnie wypukłym podzbiorem M . Mówi się, że funkcja jest ( ściśle ) geodezyjnie wypukła, ${\ Displaystyle f: C \ do \ mathbf {R}}$ kompozycja

${\ Displaystyle f \ circ \ gamma: [0, T] \ do \ mathbf {R}}$

jest (ściśle) funkcją wypukłą w zwykłym znaczeniu dla każdego łuku geodezyjnego o prędkości jednostkowej γ : [0, T ] → M zawarte w C .

Nieruchomości

• Geodezyjnie wypukła (podzbiór a) rozmaitość riemannowska jest również wypukłą przestrzenią metryczną w odniesieniu do odległości geodezyjnej.

Przykłady

• Podzbiór n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej E ⁿ ze swoją zwykłą płaską metryką jest geodezyjnie wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukły w zwykłym sensie i podobnie dla funkcji.
• „Półkula północna” dwuwymiarowej kuli S ² z jej zwykłą metryką jest geodezyjnie wypukła. Jednak podzbiór A z S ² składający się z punktów o szerokości geograficznej położonej dalej na północ niż 45° na południe nie jest geodezyjnie wypukły, ponieważ minimalizujący łuk geodezyjny ( wielkie koło ) łączący dwa różne punkty na południowej granicy A pozostawia A (np. w przypadku dwóch punktów oddalonych od siebie o 180° na długości geograficznej łuk geodezyjny przechodzi przez biegun południowy).

•    Rapcsák, Tamás (1997). Płynna optymalizacja nieliniowa w R ⁿ . Optymalizacja niewypukła i jej zastosowania. Tom. 19. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4680-7 . MR 1480415 .

•   Udriste, Constantin (1994). Funkcje wypukłe i metody optymalizacji na rozmaitościach riemannowskich . Matematyka i jej zastosowania . Tom. 297. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-3002-1 .