Twierdzenie o podwójnej bańce
W matematycznej teorii powierzchni minimalnych twierdzenie o podwójnym bąblu stwierdza, że kształt, który zawiera i oddziela dwie dane objętości i ma minimalną możliwą powierzchnię , jest standardowym podwójnym bąblem : trzy kuliste powierzchnie stykające się pod kątem 120° na wspólnym okręgu. Twierdzenie o podwójnej bańce zostało sformułowane i uznane za prawdziwe w XIX wieku i stało się „poważnym przedmiotem badań” w 1989 roku, ale zostało udowodnione dopiero w 2002 roku.
Dowód łączy w sobie wiele składników. Zwartość prostowalnych prądów (uogólniona definicja powierzchni) pokazuje, że rozwiązanie istnieje. Argument symetrii dowodzi, że rozwiązanie musi być powierzchnią obrotową i może być dodatkowo ograniczone do posiadania ograniczonej liczby gładkich elementów. Dowód praw Plateau autorstwa Jeana Taylora opisuje, w jaki sposób te części muszą być ukształtowane i połączone ze sobą, a ostateczna analiza przypadku pokazuje, że spośród połączonych w ten sposób powierzchni obrotowych tylko standardowa podwójna bańka ma lokalnie minimalną powierzchnię.
Twierdzenie o podwójnym bąblu rozszerza nierówność izoperymetryczną , zgodnie z którą obramowaniem o minimalnym obwodzie dowolnego obszaru jest okrąg , a obramowaniem o minimalnym polu powierzchni dowolnej pojedynczej objętości jest kula . Analogiczne wyniki dotyczące optymalnego zamknięcia dwóch objętości uogólniają się na ważone formy energii powierzchniowej, gaussowską miarę powierzchni i przestrzenie euklidesowe o dowolnym wymiarze.
Oświadczenie
Zgodnie z nierównością izoperymetryczną , obramowaniem o minimalnym obwodzie dowolnego obszaru jest okrąg , a obramowaniem o minimalnym polu powierzchni dowolnej pojedynczej objętości jest kula . Istnienie kształtu o ograniczonej powierzchni, który obejmuje dwie objętości, jest oczywiste: po prostu zamknij je dwiema oddzielnymi kulami. Mniej oczywiste jest, że musi istnieć jakiś kształt, który obejmuje dwie objętości i ma minimalną możliwą powierzchnię: zamiast tego może być tak, że sekwencja kształtów zbiega się do minimum (lub do zera), nie osiągając go. Ten problem wiąże się również z trudnymi kwestiami definicyjnymi: co należy rozumieć przez kształt, pole powierzchni kształtu i objętość, którą obejmuje, skoro takie rzeczy mogą nie być gładkie, a nawet fraktalne ? Niemniej jednak możliwe jest rygorystyczne sformułowanie problemu optymalnych obudów przy użyciu teorii prądów prostowniczych i udowodnienie za pomocą zwartości w przestrzeni prądów prostowniczych, że co dwie objętości mają obudowę o minimalnej powierzchni.
Prawa płaskowyżu mówią, że każdy minimalny obszar fragmentarycznie gładkiego kształtu, który obejmuje dowolną objętość lub zestaw objętości, musi mieć postać powszechnie spotykaną w bańkach mydlanych , w których powierzchnie o stałej średniej krzywiźnie spotykają się trójkami, tworząc kąty dwuścienne 120 ° ( radianów ). W standardowej podwójnej bańce trzy płaty sfer spotykają się pod tym kątem wzdłuż wspólnego okręgu. Dwie z tych kulistych powierzchni tworzą zewnętrzną granicę podwójnej bańki, a trzecia we wnętrzu oddziela te dwie objętości od siebie. W fizycznych bańkach promienie kulek są odwrotnie proporcjonalne do różnic ciśnień między objętościami, które rozdzielają, zgodnie z równaniem Younga-Laplace'a . Ten związek między ciśnieniem a promieniem jest matematycznie odzwierciedlony w fakcie, że dla każdego standardowego podwójnego pęcherzyka trzy promienie , i trzech sferycznych powierzchni jest zgodny z równaniem
na płaszczyźnie euklidesowej minimalny obwód układu krzywych obejmujących dwa dane obszary tworzą trzy łuki kołowe , których promienie są takie same w stosunku do siebie i spotykają się pod tym samym kątem 120°. W przypadku dwóch równych obszarów środkowy łuk degeneruje się do odcinka linii prostej. Trójwymiarowy standardowy podwójny bąbel można postrzegać jako powierzchnię obrotu tego dwuwymiarowego podwójnego bąbla. W dowolnym wyższym wymiarze optymalne zamknięcie dla dwóch tomów jest ponownie utworzone przez trzy płaty hipersfer , spotykających się pod tym samym kątem 120°.
Historia
Trójwymiarowa nierówność izoperymetryczna , zgodnie z którą kula ma minimalną powierzchnię dla swojej objętości, została sformułowana przez Archimedesa , ale została rygorystycznie udowodniona dopiero w XIX wieku przez Hermanna Schwarza . W XIX wieku Joseph Plateau badał podwójną bańkę, a prawdziwość twierdzenia o podwójnej bańce została przyjęta bez dowodu przez CV Boysa w wydaniu jego książki o bańkach mydlanych z 1912 roku. Plateau sformułował prawa Plateau , opisujące kształt i połączenia między gładkimi kawałkami powierzchni w złożonych bańkach mydlanych; zostało to udowodnione matematycznie dla obudów o minimalnej objętości przez Jeana Taylora w 1976 roku.
Do 1989 roku problem podwójnej bańki stał się „poważnym przedmiotem badań”. W 1991 roku Joel Foisy, student studiów licencjackich w Williams College , był liderem zespołu studentów, którzy udowodnili dwuwymiarową analogię hipotezy podwójnej bańki. W swojej pracy licencjackiej Foisy jako pierwszy przedstawił precyzyjne stwierdzenie trójwymiarowej hipotezy podwójnej bańki, ale nie był w stanie tego udowodnić.
Dowód na ograniczony przypadek hipotezy podwójnej bańki, dla dwóch równych tomów, został ogłoszony przez Joela Hassa i Rogera Schlafly'ego w 1995 r. I opublikowany w 2000 r. Dowód pełnego przypuszczenia Hutchingsa , Morgana , Ritoré i Ros został ogłoszony w 2000 r. i opublikowany w 2002 r. Po wcześniejszych pracach nad przypadkiem czterowymiarowym, pełne uogólnienie na wyższe wymiary zostało opublikowane przez Reichardta w 2008 r., aw 2014 r. Lawlor opublikował alternatywny dowód twierdzenia o podwójnej bańce, uogólniający zarówno na wyższe wymiary, jak i do ważonych form energii powierzchniowej. Zbadano również warianty problemu uwzględniające inne miary wielkości otaczającej powierzchni, takie jak miara Gaussa .
Dowód
Lemat Briana White'a pokazuje, że minimalna powierzchnia podwójnego bąbla musi być powierzchnią obrotową . Jeśli nie, można użyć argumentu podobnego do twierdzenia kanapki z szynką , aby znaleźć dwie prostopadłe płaszczyzny, które przecinają obie objętości, zastąpić powierzchnie w dwóch z czterech ćwiartek odbiciami powierzchni w innych ćwiartkach, a następnie wygładzić osobliwości w płaszczyznach odbicia, zmniejszając całkowity obszar. Na podstawie tego lematu Michael Hutchings był w stanie ograniczyć możliwe kształty niestandardowych optymalnych podwójnych bąbelków, aby składały się z warstw toroidalnych rurek.
Ponadto Hutchings wykazał, że liczba toroidów w niestandardowym, ale minimalizującym podwójnym bąblu może być ograniczona funkcją dwóch objętości. W szczególności dla dwóch równych objętości jedyny możliwy niestandardowy podwójny bąbel składa się z pojedynczego centralnego bąbla z pojedynczym toroidem wokół jego równika. Opierając się na tym uproszczeniu problemu, Joel Hass i Roger Schlafly byli w stanie zredukować dowód tego przypadku hipotezy podwójnej bańki do dużej skomputeryzowanej analizy przypadku, która zajęła 20 minut na komputerze osobistym z 1995 roku. Ostateczny dowód hipotezy pełnego podwójnego bąbelka również wykorzystuje metodę Hutchingsa, aby zredukować problem do skończonej analizy przypadków, ale unika stosowania obliczeń komputerowych, a zamiast tego działa, pokazując, że wszystkie możliwe niestandardowe podwójne bąbelki są niestabilne: mogą być zakłócony przez dowolnie małe ilości, aby wytworzyć inną powierzchnię o mniejszej powierzchni. Perturbacje potrzebne do udowodnienia tego wyniku to starannie dobrany zestaw obrotów. Ponieważ istnieje powierzchnia o minimalnej powierzchni, a żadna z pozostałych kandydujących powierzchni nie ma powierzchni minimalnej, powierzchnia o minimalnej powierzchni może być tylko standardową podwójną bańką.
Powiązane problemy
John M. Sullivan przypuszczał, że dla dowolnego wymiaru obudowa do objętości ( ma postać stereograficznego rzutu simplex re { . W szczególności w tym przypadku wszystkie granice między bąbelkami byłyby plamami sfer. Udowodniono szczególny przypadek tego przypuszczenia dla trzech bąbelków w dwóch wymiarach; w tym przypadku trzy bąbelki są utworzone przez sześć okrągłych łuków i prostych odcinków, spotykających się w tym samym kombinatorycznym wzorze, co krawędzie czworościanu . Frank Morgan nazwał nawet przypadek trzech tomów w trzech wymiarach „niedostępnymi”, ale w 2022 roku ogłoszono dowód trzytomowego przypadku we wszystkich wymiarach oraz dodatkowe częściowe wyniki w wyższych wymiarach. Eksperymenty numeryczne wykazały, że dla sześciu lub więcej objętości w trzech wymiarach niektóre granice między bąbelkami mogą być niekuliste.
Dla nieskończonej liczby równych obszarów na płaszczyźnie minimalnym zestawem krzywych oddzielających te obszary jest heksagonalny kafelek , znany z wykorzystania go przez pszczoły do tworzenia plastrów miodu , a jego optymalność ( hipoteza plastra miodu ) została udowodniona przez TC Hales w 2001. Dla tego samego problemu w trzech wymiarach nie jest znane optymalne rozwiązanie; Lord Kelvin przypuszczał, że zostało to nadane przez strukturę kombinatorycznie równoważną sześciennemu plasterowi miodu z bitami , ale przypuszczenie to zostało obalone przez odkrycie struktury Weaire-Phelana , podziału przestrzeni na komórki o równej objętości o dwóch różnych kształtach przy użyciu mniejszej średniej ilości powierzchni przypadającej na komórkę.
Naukowcy badali również dynamikę procesów fizycznych, w których pary bąbelków łączą się w podwójny bąbel. Ten temat odnosi się do bardziej ogólnego tematu w geometrii różniczkowej dynamicznego zachowania krzywych i powierzchni w różnych procesach, które zmieniają je w sposób ciągły. Na przykład przepływ skracający krzywą to proces, w którym krzywe w płaszczyźnie poruszają się z prędkością proporcjonalną do ich krzywizny . Dla dwóch nieskończonych obszarów oddzielonych linią, z trzecim skończonym obszarem między nimi, skracający krzywą przepływ na ich granicach (przeskalowany w celu zachowania obszaru skończonego obszaru) zbiega się w kierunku ograniczającego kształtu w postaci zdegenerowanej podwójnej bańki: vesica piscis wzdłuż linii między dwoma nieograniczonymi regionami.