Transformata Weierstrassa

W matematyce transformata Weierstrassa funkcji f $: R \to R,$ nazwana na cześć Karla Weierstrassa , jest „wygładzoną” wersją $f (x)$ uzyskaną przez uśrednienie wartości $f$ , ważonych z Gaussem wyśrodkowanym w x .

Wykres funkcji f ( x ) (czarny) i jej uogólniona transformacja Weierstrassa dla pięciu parametrów szerokości ( t ). Standardowa transformata Weierstrassa

F (x)

jest określona przez przypadek t = 1 (na zielono)

W szczególności jest to funkcja $F$ zdefiniowana przez

{\ Displaystyle F (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (y) \; e ^ {- {\ frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi}}}\int _{-\infty}^{\infty}f(xy )\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}

splot f $z$ funkcją Gaussa _

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {-x ^ {2}/4} ~.}

Współczynnik 1/√(4 π ) jest tak dobrany, że całka gaussowska będzie miała całkowitą całkę równą 1, w wyniku czego funkcje stałe nie zostaną zmienione przez transformatę Weierstrassa.

Zamiast $F (x)$ pisze się też $W [f](x)$ . Zauważ, że $F (x)$ nie musi istnieć dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , gdy całka definiująca nie jest zbieżna.

Transformata Weierstrassa jest ściśle związana z równaniem ciepła (lub równoważnie z równaniem dyfuzji ze stałym współczynnikiem dyfuzji). Jeżeli funkcja $f$ opisuje temperaturę początkową w każdym punkcie nieskończenie długiego pręta o stałym przewodnictwie cieplnym równym 1, to rozkład temperatury pręta t = 1 jednostki czasu później będzie dany funkcją F . Używając wartości t różnych od 1, możemy zdefiniować uogólnioną transformatę Weierstrassa $fa$ .

Uogólniona transformata Weierstrassa umożliwia aproksymację danej funkcji całkowalnej $f$ dowolnie dobrze za pomocą funkcji analitycznych .

Nazwy

Weierstrass użył tej transformacji w swoim oryginalnym dowodzie twierdzenia o aproksymacji Weierstrassa . Jest również znany jako transformata Gaussa lub transformata Gaussa – Weierstrassa od nazwiska Carla Friedricha Gaussa oraz jako transformata Hille'a od nazwiska Einara Carla Hille'a , który intensywnie ją studiował. Wspomniane poniżej uogólnienie W _t jest znane w analizie sygnału jako filtr Gaussa oraz w przetwarzaniu obrazu (jeśli jest zaimplementowane na R ² ) jako rozmycie gaussowskie .

Transformacje niektórych ważnych funkcji

Jak wspomniano powyżej, każda stała funkcja jest własną transformatą Weierstrassa. Transformata Weierstrassa dowolnego wielomianu jest wielomianem tego samego stopnia, a właściwie tego samego współczynnika wiodącego ( wzrost asymptotyczny pozostaje niezmieniony). Rzeczywiście $Hn,$ jeśli $Hn prostu$ oznacza $xn ($ fizyka) wielomian Hermite'a stopnia n , to transformata Weierstrassa ( $x$ /2) wynosi po . Można to wykazać, wykorzystując fakt, że funkcja generująca dla wielomianów Hermite'a jest ściśle powiązany z jądrem Gaussa używanym w definicji transformaty Weierstrassa.

Transformata Weierstrassa funkcji e ^ax (gdzie a jest dowolną stałą) to e ^{a ²} e ^ax . Funkcja e ^ax jest zatem funkcją własną transformaty Weierstrassa. (W rzeczywistości jest to bardziej ogólnie prawdziwe dla wszystkich przekształceń splotu).

Ustawiając a = bi , gdzie i jest jednostką urojoną , i stosując tożsamość Eulera , widać, że transformata Weierstrassa funkcji cos( bx ) to e ^{- b ²} cos( bx ), a transformata Weierstrassa funkcji sin( bx ) to mi ^{- b ²} grzech( bx ).

Transformata Weierstrassa funkcji e ^{ax ²} to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sqrt {1-4a}}} e ^ {\ Frac {ax ^ {2}} {1-4a}} }

jeśli a < 1/4 i niezdefiniowane, jeśli a ≥ 1/4.

W szczególności, wybierając wartość ujemną, oczywiste jest, że transformata Weierstrassa funkcji Gaussa jest ponownie funkcją Gaussa, ale „szerszą”.

Właściwości ogólne

Transformata Weierstrassa przypisuje każdej funkcji f nową funkcję F ; to przypisanie jest liniowe . Jest również niezmiennikiem translacji, co oznacza, że transformacja funkcji f ( x + a ) to F ( x + a ). Oba te fakty są bardziej ogólnie prawdziwe dla każdej transformacji całkowej zdefiniowanej za pomocą splotu.

Jeśli transformata F ( x ) istnieje dla liczb rzeczywistych x = a i x = b , to istnieje również dla wszystkich wartości rzeczywistych pomiędzy i tworzy tam funkcję analityczną ; ponadto F ( x ) będzie istnieć dla wszystkich wartości zespolonych x z a ≤ Re ( x ) ≤ b i tworzy funkcję holomorficzną na tym pasku płaszczyzny zespolonej . Jest to formalne stwierdzenie wspomnianej powyżej „gładkości” F.

Jeśli f jest całkowalna na całej osi rzeczywistej (tj. f ∈ L ¹ ( R ) ), to także jest całkowalna jego transformata Weierstrassa F , a ponadto jeśli f ( x ) ≥ 0 dla wszystkich x , to także F ( x ) ≥ 0 dla wszystkie x i całki f i F są równe. Wyraża to fizyczny fakt, że całkowita energia cieplna lub ciepło jest zachowana przez równanie ciepła lub że całkowita ilość materiału dyfuzyjnego jest zachowana przez równanie dyfuzji.

Korzystając z powyższego można pokazać, że dla 0 < p ≤ ∞ i f ∈ L ^p ( R ) , mamy F ∈ L ^p ( R ) i || F || _p ≤ || f || _str . W konsekwencji transformata Weierstrassa daje ograniczony operator W : L ^p ( R ) → L ^p ( R ).

Jeśli f jest wystarczająco gładkie, to transformata Weierstrassa k - tej pochodnej f jest równa k - tej pochodnej transformaty Weierstrassa f .

Istnieje wzór odnoszący się do transformaty Weierstrassa W i dwustronnej transformaty Laplace'a L . Jeśli zdefiniujemy

{\ Displaystyle g (x) = e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {4}}} f (x)}

Następnie

{\ Displaystyle W [f] (x) = {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {-x ^ {2}/4} L [g] \ lewo (- {\ frac {x}{2}}\prawo).}

Filtr dolnoprzepustowy

Widzieliśmy powyżej, że transformata Weierstrassa funkcji cos( bx ) to e ^{− b ²} cos( bx ) i analogicznie dla sin( bx ). Z punktu widzenia analizy sygnału sugeruje to, że jeśli sygnał f zawiera częstotliwość b (tj. zawiera sumę będącą kombinacją sin( bx ) i cos( bx )), to przekształcony sygnał F będzie zawierał tę samą częstotliwość, ale z amplitudą pomnożoną przez współczynnik mi ^{- b ²} . Powoduje to, że wyższe częstotliwości są redukowane bardziej niż niższe, a zatem transformata Weierstrassa działa jak filtr dolnoprzepustowy . Można to również pokazać za pomocą ciągłej transformaty Fouriera w następujący sposób. Transformata Fouriera analizuje sygnał pod kątem jego częstotliwości, przekształca sploty w produkty i przekształca gaussy w gaussy. Transformata Weierstrassa jest splotem z Gaussem, a zatem jest mnożeniem sygnału przekształconego Fouriera za pomocą Gaussa, a następnie zastosowanie odwrotnej transformaty Fouriera. To mnożenie z Gaussem w przestrzeni częstotliwości miesza wysokie częstotliwości, co jest innym sposobem opisywania „wygładzającej” właściwości transformaty Weierstrassa.

Transformacja odwrotna

Poniższy wzór, ściśle powiązany z transformatą Laplace'a funkcji Gaussa i prawdziwym odpowiednikiem transformacji Hubbarda-Stratonowicza , jest stosunkowo łatwy do ustalenia:

{\ Displaystyle e ^ {u ^ {2}} = {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-uy} e ^ {-y^{2}/4}\;dy.}

Teraz zastąp u formalnym operatorem różniczkowania D = d / dx i użyj operatora przesunięcia Lagrange'a

{\ Displaystyle e ^ {-yD} f (x) = f (xy)}

,

(konsekwencja wzoru na szereg Taylora i definicji funkcji wykładniczej ), otrzymać

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e ^ {D ^ {2}} f (x) & = {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} \ int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt { 4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{wyrównane }}}

aby w ten sposób otrzymać następujące formalne wyrażenie dla transformaty Weierstrassa W ,

${\ Displaystyle W = e ^ {D ^ {2}} ~,}$

gdzie operator po prawej stronie należy rozumieć jako działający na funkcji f ( x ) as

{\ Displaystyle e ^ {D ^ {2}} f (x) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {D ^ {2k} f (x)} {k!}} ~ .}

Powyższe formalne wyprowadzenie pomija szczegóły zbieżności, a zatem wzór W = e ^{D ²} nie jest powszechnie ważny; istnieje kilka funkcji f , które mają dobrze zdefiniowaną transformatę Weierstrassa, ale dla których e ^{D ²} f ( x ) nie można sensownie zdefiniować.

Niemniej jednak reguła jest nadal całkiem użyteczna i można ją na przykład wykorzystać do wyprowadzenia wspomnianych powyżej transformat Weierstrassa wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych.

Formalna odwrotność transformaty Weierstrassa jest zatem dana przez

{\ Displaystyle W ^ {-1} = e ^ {- D ^ {2}} ~.}

Ponownie, ta formuła nie jest uniwersalna, ale może służyć jako przewodnik. Można wykazać, że jest poprawny dla pewnych klas funkcji, jeśli operator po prawej stronie jest poprawnie zdefiniowany.

Można alternatywnie spróbować odwrócić transformatę Weierstrassa w nieco inny sposób: biorąc pod uwagę funkcję analityczną

{\ Displaystyle F (x) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} ~,}

zastosuj W ^-1 , aby uzyskać

{\ Displaystyle f (x) = W^{-1}[F(x)]=\suma _{n=0}^{\infty}a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\suma _{n= 0}^{\infty}a_{n}H_{n}(x/2)}

ponownie wykorzystując fundamentalną własność (fizyków) wielomianów Hermite'a $H n$ .

Ponownie, ten wzór na f ( x ) jest w najlepszym razie formalny, ponieważ nie sprawdzano, czy końcowy szereg jest zbieżny. Ale jeśli np. f ∈ L ² ( R ), to znajomość wszystkich pochodnych F przy x = 0 wystarczy, aby otrzymać współczynniki a _n ; iw ten sposób zrekonstruować $f$ jako szereg wielomianów hermite'a .

Trzecia metoda odwracania transformaty Weierstrassa wykorzystuje jej połączenie ze wspomnianą powyżej transformatą Laplace'a oraz dobrze znaną formułą inwersji dla transformaty Laplace'a. Wynik podano poniżej dla dystrybucji.

Uogólnienia

Możemy użyć splotu z jądrem Gaussa ${\ textstyle {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ frac {x ^ {2 }} {4t}}}}$ (z pewnym $t > 0$ ) zamiast ${\ textstyle {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi}}} e ^ {- {\ frac {x^{2}}{4}}}}$ , definiując w ten sposób operator $W t$ , uogólnioną transformatę Weierstrassa.

Dla małych wartości $. t W t [f]$ jest bardzo zbliżone do $f$ , ale gładkie Im większe $t$ , tym bardziej ten operator uśrednia i zmienia $f$ . Fizycznie $W t$ odpowiada następującemu równaniu ciepła (lub dyfuzji) dla $t$ jednostek czasu, a to jest addytywne,

{\ Displaystyle W_ {s} \ circ W_ {t} = W_ {s + t},}

co odpowiada „dyfuzji dla

t

jednostek czasu, a następnie

s

jednostek czasu, jest równoważne dyfuzji dla

s + t

jednostek czasu”. Można to rozszerzyć do

t = 0

, ustawiając

W 0

jako operatora tożsamości (tj. Splot z funkcją Diraca delta ), a następnie tworzą one jednoparametrową półgrupę operatorów.

Jądro ${\ textstyle {\ Frac {1} {\ sqrt {4 \ pi t}}} e ^ {- {\ Frac {x ^ {2}} {4t}} }}$ używana do uogólnionej transformaty Weierstrassa jest czasami nazywana jądrem Gaussa-Weierstrassa i jest funkcją Greena dla równania dyfuzji ${\ Displaystyle (\ częściowe _ {t} -D ^ {2}) (e ^ {tD ^ {2}} f (x)) = 0}$ na $R$ .

$W t$ można obliczyć z $W$ : mając daną funkcję $f (x)$ zdefiniuj nową funkcję $f t (x) = f (x \sqrt t)$ ; wtedy $W t [fa](x) = W [fa t] (x /\sqrt t)$ , co jest konsekwencją reguły podstawienia .

Transformatę Weierstrassa można również zdefiniować dla pewnych klas rozkładów lub „funkcji uogólnionych”. $_ /4}}$ Weierstrassa delty gaussowska .

W tym kontekście można udowodnić rygorystyczne wzory inwersji, np.

{\ Displaystyle f (x) = \ lim _ {r \ do \infty}{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi}}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{ \frac {(xz)^{2}}{4}}\;dz}

gdzie

x 0

jest dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą, dla której istnieje

0 F (x)

, całka rozciąga się po linii pionowej na płaszczyźnie zespolonej z częścią rzeczywistą

x 0

, a granicę należy przyjąć w sensie rozkładów.

Ponadto transformatę Weierstrassa można zdefiniować dla funkcji (lub rozkładów) o wartościach rzeczywistych (lub zespolonych) zdefiniowanych $na Rn$ . Używamy tego samego wzoru na splot, co powyżej, ale interpretujemy całkę jako rozciągającą się na całe $R n$ , a wyrażenie $(x - y) 2$ jako kwadrat długości euklidesowej wektora $x - y$ ; współczynnik przed całką musi zostać dostosowany tak, aby całka Gaussa miała całkowitą całkę równą 1.

Mówiąc bardziej ogólnie, transformatę Weierstrassa można zdefiniować na dowolnej rozmaitości riemannowskiej : równanie ciepła można tam sformułować (za pomocą operatora Laplace'a – Beltramiego rozmaitości ), a transformata Weierstrassa $W [f]$ jest następnie dana przez rozwiązanie równania ciepła dla jednej jednostki czasu, zaczynając od początkowego „rozkładu temperatur” $f$ .

Powiązane transformacje

Jeśli rozważymy splot z jądrem $1/(π(1 + x 2))$ zamiast z Gaussem, otrzymamy transformatę Poissona , która wygładza i uśrednia daną funkcję w sposób podobny do transformaty Weierstrassa.

Zobacz też