0 C -półgrupa

W matematyce półgrupa C ₀ silnie , znana również jako ciągła półgrupa jednoparametrowa , jest uogólnieniem funkcji wykładniczej . Tak jak funkcje wykładnicze dostarczają rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych o stałym współczynniku liniowym , tak półgrupy silnie ciągłe dostarczają rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych o stałym współczynniku liniowym w przestrzeniach Banacha . Takie równania różniczkowe w przestrzeniach Banacha wynikają np. z opóźnionych równań różniczkowych i równań różniczkowych cząstkowych .

Formalnie silnie ciągła półgrupa jest reprezentacją półgrupy ( R + _, + ) w pewnej przestrzeni Banacha X , która jest ciągła w topologii silnego operatora . Tak więc, ściśle mówiąc, silnie ciągła półgrupa nie jest półgrupą, ale raczej ciągłą reprezentacją bardzo określonej półgrupy.

Definicja formalna

Silnie ciągła półgrupa w przestrzeni Banacha $mathbb$ mapą taką, że $R} _ {+} \ do L (X)}$

1. ${\ displaystyle T (0) = ja}$ , ( operator tożsamości na ${\ displaystyle X}$ )
2. ${\ Displaystyle \ forall t, s \ geq 0: \ T (t + s) = T (t) T (s)}$
3. ${\ Displaystyle \ forall x_ {0} \ w X: \ \| T (t) x_ {0} -x_ {0} \|\ do 0}$ t $dół 0}$ .

Pierwsze dwa aksjomaty są $_ {+}, +)}}$ { \ Displaystyle $R$ ; ostatnia jest topologiczna i stwierdza $,$ że ​​mapa ciągła w topologii silnego operatora .

Nieskończenie mały generator

Nieskończenie mały generator A silnie ciągłej półgrupy T jest określony przez

${\ Displaystyle A \, x = \ lim _ {t \ downarrow 0} {\ Frac {1} {t}} \, (T (t )-I)\,x}$

ilekroć istnieje granica. Dziedziną A , D ( A ) jest zbiór x ∈ X , dla którego ta granica istnieje; D ( A ) jest podprzestrzenią liniową , a A jest liniowa w tej dziedzinie. Operator A jest domknięty , choć niekoniecznie ograniczony , a dziedzina w X jest gęsta .

Silnie ciągła półgrupa T z generatorem ${\ Displaystyle \ exp (At$ jest oznaczana symbolem (lub równoważnie $ZA$ . Notacja ta jest zgodna z notacją dla wykładników macierzowych i dla funkcji operatora zdefiniowanego za pomocą rachunku funkcyjnego (na przykład za pomocą twierdzenia spektralnego ).

Półgrupa jednostajnie ciągła

Jednostajnie ciągła półgrupa jest silnie ciągłą półgrupą T taką, że

${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do 0 ^ {+}} \| T (t) -I \ | = 0}$

posiada. W tym przypadku nieskończenie mały generator A z T jest ograniczony i mamy

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (A) = X}$

I

${\ Displaystyle T (t) = e ^ {At}: = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {A ^ {k}} {k!}} t ^ {k}.}$

I odwrotnie , dowolny operator ograniczony

${\ Displaystyle A \ dwukropek X \ do X}$

jest nieskończenie małym generatorem jednostajnie ciągłej półgrupy podanej przez

${\ Displaystyle T (t): = e ^ {At}}$ .

Zatem operator liniowy A jest nieskończenie małym generatorem jednostajnie ciągłej półgrupy wtedy i tylko wtedy, gdy A jest ograniczonym operatorem liniowym. Jeśli X jest skończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to każda silnie ciągła półgrupa jest jednostajnie ciągłą półgrupą. Dla silnie ciągłej półgrupy, która nie jest jednostajnie ciągłą półgrupą, nieskończenie mały generator A nie jest ograniczony. W tym przypadku $\ Displaystyle e ^ {At}}$ nie musi być zbieżne.

Przykłady

Półgrupa mnożenia

Rozważmy przestrzeń Banacha ${\ Displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R}): = \ {f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C} {\ tekst { ciągłe}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ takie, że }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [ -c,c]\}}$ obdarzone sup normą ${\ Displaystyle \ Vert f \ Vert: = {\ text {sup}} _ {x \ in \ mathbb {R}} \ vert f (x) \ vert}$ . Niech ${\ Displaystyle q: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C}}$ będzie funkcją ciągłą z ${\ Displaystyle {\ text {sup }}_{s\in \mathbb {R}}{\text{Re}}(q(s))<\infty}$ . Operator ${\ Displaystyle M_ {q} f: = q \ cdot f}$ z domeną ${\ Displaystyle D (M_ {q}): = \ {f \ w C_ {0} (\ mathbb {R}): q \ cdot f \ w C_ {0} (\ mathbb {R}) \}}$ jest zamkniętym, gęsto zdefiniowanym operatorem i generuje półgrupę mnożenia ${\ Displaystyle (T_ {q} (t)) _ {t \ geq 0}}$ gdzie ${\ Displaystyle T_ {q} (t) f: = \ operatorname {e} ^ {qt} f.}$ Operatory mnożenia można postrzegać jako nieskończenie wymiarowe uogólnienie macierzy ukośnych i wielu właściwości ${\ displaystyle M_ {q}}$ można wyprowadzić z właściwości ${\ displaystyle q}$ . Na przykład $jest$ ograniczony na $) {\ Displaystyle C_ {0}$${R)}}$ ( \ wtedy i tylko wtedy jest .

Półgrupa tłumaczeń

Niech $_$ ograniczonych $,$ sup normą . (Lewa) półgrupa translacji ${\ Displaystyle (T_ {l} (t)) _ {t \ geq 0}}$ jest dana przez ${\ Displaystyle T_ {l} (t) f (s): = f (s + t), \ quad s, t \ w \ mathbb {R}}$ .

${\ Displaystyle D (A): = \ {f \ w C_ {ub} (\ mathbb {R}): f {\ tekst {różniczkowalny z}} f '\ w C_ {ub} (\ mathbb {R} )\}}$$ZA$ pochodna z .

Streszczenie problemów Cauchy'ego

Rozważmy abstrakcyjny problem Cauchy'ego :

${\ Displaystyle u' (t) = Au (t), ~~~ u (0) = x,}$

gdzie A jest operatorem domkniętym na przestrzeni Banacha X i x ∈ X . Istnieją dwie koncepcje rozwiązania tego problemu:

• funkcja różniczkowalna w sposób ciągły u : [0, ∞) → X nazywana jest klasycznym rozwiązaniem problemu Cauchy'ego, jeśli u ( t ) ∈ D ( A ) dla wszystkich t > 0 i spełnia problem wartości początkowej,
• funkcja ciągła u : [0, ∞) → X nazywana jest łagodnym rozwiązaniem problemu Cauchy'ego, jeśli

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds \ w D (A) {\ tekst {i}} A \ int _ {0} ^ {t} u (s) \, ds=u(t)-x.}$

Każde klasyczne rozwiązanie jest rozwiązaniem łagodnym. Rozwiązanie łagodne jest rozwiązaniem klasycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalne w sposób ciągły.

Następujące twierdzenie łączy abstrakcyjne problemy Cauchy'ego i silnie ciągłe półgrupy.

Twierdzenie: Niech A będzie operatorem domkniętym na przestrzeni Banacha X . Następujące twierdzenia są równoważne:

1. dla wszystkich x ∈ X istnieje unikalne łagodne rozwiązanie abstrakcyjnego problemu Cauchy'ego,
2. operator A generuje silnie ciągłą półgrupę,
3. zbiór resolwentowy A jest niepusty i dla wszystkich x ∈ D ( A ) istnieje unikalne klasyczne rozwiązanie problemu Cauchy'ego.

Gdy te twierdzenia są spełnione, rozwiązanie problemu Cauchy'ego jest dane przez u ( t ) = T ( t ) x z T silnie ciągłą półgrupą generowaną przez A .

Twierdzenia generacji

W związku z problemami Cauchy'ego zwykle podawany jest operator liniowy A i pytanie, czy jest to generator silnie ciągłej półgrupy. Twierdzenia, które odpowiadają na to pytanie, nazywane są twierdzeniami o generacji . Pełną charakterystykę operatorów generujących silnie ciągłe półgrupy o wykładniczych ograniczeniach podaje twierdzenie Hille-Yosida . Większe znaczenie praktyczne mają jednak znacznie łatwiejsze do zweryfikowania warunki podane przez twierdzenie Lumera-Phillipsa .

Specjalne klasy półgrup

Jednostajnie ciągłe półgrupy

Silnie ciągłą półgrupę T nazywamy jednostajnie ciągłą , jeśli mapa t → T ( t ) jest ciągła od [0, ∞) do L ( X ).

Generatorem jednostajnie ciągłej półgrupy jest operator ograniczony .

Półgrupy analityczne

Główny artykuł: półgrupa analityczna

Półgrupy skurczów

Główny artykuł: półgrupa skurczowa

Różniczkowalne półgrupy

Silnie ciągłą półgrupę T nazywamy ostatecznie różniczkowalną, jeśli istnieje a ₀ t > 0 takie, że ₀ T ( t ) X ⊂ D ( A ) (równoważnie: T ( t ) X ⊂ D ( A ) dla wszystkich ₀ t ≥ t ) i T jest natychmiast różniczkowalna, jeśli T ( t ) X ⊂ D ( A ) dla wszystkich t > 0 .

Każda analityczna półgrupa jest natychmiast różniczkowalna.

Równoważna charakterystyka w kategoriach problemów Cauchy'ego jest następująca: silnie ciągła półgrupa generowana przez A jest ostatecznie różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a t ₁ ≥ 0 takie, że dla wszystkich x ∈ X rozwiązanie u abstrakcyjnego problemu Cauchy'ego jest różniczkowalne na ( t ₁ , ∞) . Półgrupa jest natychmiast różniczkowalna, jeśli _t1 można wybrać jako zero.

Zwarte półgrupy

₀₀₀ Silnie ciągłą półgrupę T nazywamy ostatecznie zwartą, jeśli istnieje t > 0 takie, że T ( t ) jest operatorem zwartym (równoważnie, jeśli T ( t ) jest operatorem zwartym dla wszystkich t ≥ t ). Półgrupę nazywamy natychmiast zwartą , jeśli T ( t ) jest operatorem zwartym dla wszystkich t > 0.

Normowe ciągłe półgrupy

₀₀₀ Silnie ciągłą półgrupę nazywamy ostatecznie normą ciągłą, jeśli istnieje t ≥ 0 takie, że mapa t → T ( t ) jest ciągła od ( t , ∞) do L ( X ). Półgrupa jest nazywana natychmiast normą ciągłą, jeśli t można wybrać jako zero.

Zauważ, że dla półgrupy o natychmiastowej normie ciągłej mapa t → T ( t ) może nie być ciągła w t = 0 (co uczyniłoby półgrupę jednostajnie ciągłą).

Analityczne półgrupy, (ewentualnie) różniczkowalne półgrupy i (ewentualnie) zwarte półgrupy są ostatecznie normą ciągłą.

Stabilność

Stabilność wykładnicza

Ograniczenie wzrostu półgrupy T jest stałą

${\ Displaystyle \ omega _ {0} = \ inf _ {t> 0} {\ Frac {1} {t}} \ log \| T (t) \ |.}$

Nazywa się to tak, ponieważ liczba ta jest również infimum wszystkich liczb rzeczywistych ω takich, że istnieje stała M (≥ 1) z

${\ Displaystyle \| T (t) \|\ równoważnik ja ^ {\ omega t}}$

dla wszystkich t ≥ 0.

Następujące są równoważne:

1. Istnieje M , ω > 0 takie, że dla wszystkich t ≥ 0: ${\ Displaystyle \| T (t) \|\ równoważnik M {\ rm {e}} ^ {-\ omega t},}$
2. ₀ Granica wzrostu jest ujemna: ω < 0,
3. Półgrupa zbiega się do zera w jednolitej topologii operatora : ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} \| T (t) \|= 0}$ ,
4. ₀ Istnieje t > 0 takie, że ${\ Displaystyle \| T (t_ {0}) \| <1}$ ,
5. Istnieje t ₁ > 0 takie, że promień widmowy T ( t ₁ ) jest ściśle mniejszy od 1,
6. Istnieje p ∈ [1, ∞) takie, że dla wszystkich x ∈ X : ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ | T ( t)x\|^{p}\,dt<\infty }$ ,
7. Dla wszystkich p ∈ [1, ∞) i wszystkich x ∈ X : ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \| T (t) x \|^ {p} \, dt <\ infty.}$

Półgrupa, która spełnia te równoważne warunki, nazywana jest wykładniczo stabilną lub jednostajnie stabilną (w niektórych częściach literatury za definicję przyjmuje się jedno z pierwszych trzech z powyższych stwierdzeń). To, że Lp ^twierdzeniem są równoważne stabilności wykładniczej, nazywa się Datko-Pazy'ego .

W przypadku, gdy X jest przestrzenią Hilberta, istnieje inny warunek, który jest równoważny stabilności wykładniczej pod względem operatora rozdzielczego generatora: wszystkie λ z dodatnią częścią rzeczywistą należą do zbioru rozdzielczego A , a operator rozdzielczy jest jednostajnie ograniczony po prawej stronie półpłaszczyzna, tj. ( λ I - ZA ) ^-1 należy do przestrzeni Hardy'ego ${\ Displaystyle H ^ {\ infty} (\ mathbb {C} _ {+}; L (X ))}$ . Nazywa się to twierdzeniem Gearharta-Prussa .

Wiązanie widmowe operatora A jest stałą

${\ Displaystyle s (A): = \ sup \ {{\ rm {Re}} \, \ lambda: \ lambda \ w \ sigma (A)\}}$ ,

z konwencją, że s ( A ) = −∞ jeśli widmo A jest puste.

₀₀₀ Granica wzrostu półgrupy i granica widmowa jej generatora są powiązane przez s ( A ) ≤ ω ( T ). Istnieją przykłady, gdzie s ( A ) < ω ( T ). Jeśli s ( A ) = ω ( T ), to mówi się, że T spełnia określony widmowo warunek wzrostu . Ostatecznie półgrupy z ciągłą normą spełniają warunek wzrostu określony widmowo. Daje to kolejną równoważną charakterystykę stabilności wykładniczej dla tych półgrup:

• Ostatecznie półgrupa ciągła normowo jest wykładniczo stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy s ( A ) < 0.

Należy zauważyć, że ostatecznie zwarte, ostatecznie różniczkowalne, analityczne i jednostajnie ciągłe półgrupy są ostatecznie normo-ciągłe, tak że określony widmowo warunek wzrostu obowiązuje w szczególności dla tych półgrup.

Silna stabilność

Silnie ciągła półgrupa T nazywana jest silnie stabilną lub asymptotycznie stabilną , jeśli dla wszystkich x ∈ X : ${\ Displaystyle \ lim _ {t \ do \ infty} \| T (t) x\|=0}$ .

Stabilność wykładnicza implikuje silną stabilność, ale odwrotność nie jest generalnie prawdziwa, jeśli X jest nieskończenie wymiarowy (jest to prawdą dla skończonego wymiaru X ).

Następujący warunek wystarczający dla silnej stabilności nazywany jest twierdzeniem Arendta – Batty'ego – Lyubicha – Phonga : Załóżmy, że

1. T jest ograniczony: istnieje M ≥ 1 takie, że ${\ Displaystyle \| T (t) \|\ równoważnik M}$ ,
2. A nie ma widma szczątkowego na wyimaginowanej osi i
3. Widmo A znajdujące się na wyimaginowanej osi jest policzalne.

Wtedy T jest silnie stabilne.

Jeśli X jest zwrotny, to warunki upraszczają się: jeśli T jest ograniczone, A nie ma wartości własnych na osi urojonej, a widmo A znajdujące się na osi urojonej jest policzalne, to T jest silnie stabilne.

Zobacz też

• Twierdzenie Hille'a-Yosidy
• Twierdzenie Lumera-Phillipsa
• Twierdzenie Trottera-Kato
• Półgrupa analityczna
• Półgrupa skurczu
• Wykładnicza macierz
• Silnie ciągła rodzina operatorów
• Abstrakcyjne równanie różniczkowe

Notatki

• E Hille, RS Phillips: Analiza funkcjonalna i półgrupy . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 1975.
• Kurtyna RF , HJ Zwart: Wprowadzenie do teorii nieskończenie wymiarowych systemów liniowych . Springer Verlag, 1995.
•   EB Davies : Półgrupy jednoparametrowe (monografie LMS), Academic Press, 1980, ISBN 0-12-206280-9 .
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), Jednoparametrowe półgrupy dla liniowych równań ewolucji , Springer
• Arendt, Wolfgang; Batty, Karol; Hieber, Maciej; Neubrander, Frank (2001), Przekształcenia Laplace'a o wartościach wektorowych i problemy Cauchy'ego , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Dobrze ustawione systemy liniowe , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Stabilność i stabilizacja systemów nieskończonych wymiarów z aplikacjami , Springer
•   Partington, Jonathan R. (2004), Operatory liniowe i systemy liniowe , London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press , ISBN 0-521-54619-2