Abstrakcyjne równanie różniczkowe

W matematyce abstrakcyjne równanie różniczkowe to równanie różniczkowe , w którym nieznana funkcja i jej pochodne przyjmują wartości w jakiejś ogólnej przestrzeni abstrakcyjnej (przestrzeń Hilberta, przestrzeń Banacha itp.). Równania tego rodzaju powstają np. przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych : jeśli jednej ze zmiennych nada się uprzywilejowaną pozycję (np. czas, w równaniach cieplnych lub falowych ), a wszystkie inne zostaną zestawione, powstanie zwykłe równanie „różniczkowe” z w odniesieniu do zmiennej, która została umieszczona w dowodzie. Dodawanie warunków brzegowych często można przetłumaczyć jako rozważanie rozwiązań w niektórych dogodnych przestrzeniach funkcyjnych.

Najczęściej spotykanym klasycznym abstrakcyjnym równaniem różniczkowym jest równanie

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = Au + f}

${\ Displaystyle u = u (t)}$ należy do jakiejś przestrzeni funkcyjnej ${\ Displaystyle X}$ , $infty}$ t $\ równoważnik T \ równoważnik$ \ i $w$ zwykle operatorem liniowym) działającym przestrzeni Wyczerpujące traktowanie przypadku jednorodnego ( $stałym$ daje teoria ₀ C - półgrup . Bardzo często badanie innych abstrakcyjnych równań różniczkowych sprowadza się (np. poprzez redukcję do układu równań pierwszego rzędu) do badania tego równania.

Teoria abstrakcyjnych równań różniczkowych została założona przez Einara Hille'a w kilku artykułach oraz w jego książce Functional Analysis and Semi-Groups. Inni główni współpracownicy to Kōsaku Yosida , Ralph Phillips , Isao Miyadera i Selim Grigorievich Krein.

Streszczenie problemu Cauchy'ego

Definicja

Niech ${\ Displaystyle B}$ dwoma operatorami liniowymi z domenami i re $Displaystyle$ $D (B)} ,$ ${$ \ Displaystyle Przestrzeń Banacha ${\ Displaystyle X}$ . Mówi się, że funkcja ${\ Displaystyle u (t): [0, T] \ do X}$ ma silną pochodną (lub jest różniczkowalna Frecheta lub po prostu różniczkowalna ) w punkcie ${\ Displaystyle t_ {0}},$ jeśli istnieje element taki, że y $\ Displaystyle y \ w X}$

{\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} \ lewo \ | {\ Frac {u (t_ {0} + h) - u(t_{0})}{h}}-y\prawo\|=0}

a jej pochodna to ${\ Displaystyle u' (t_ {0}) = y}$ .

Rozwiązanie równania _

{\ Displaystyle B {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = Au}

u ${\ Displaystyle u (t): [0, \ infty) \ do D (A) \ nasadka D (B)$ taka To:

$\ Displaystyle (Bu) (t) \ w C ([0, \ infty); X)}$
silna pochodna istnieje ${\ Displaystyle u' (t)}$ istnieje ${\ Displaystyle \ forall t \ w [0, \ infty)}$ i ${\ Displaystyle u' (t) \ w D (B)}$ dla każdego takiego i ${\ displaystyle t}$
poprzednia równość zachodzi ${\ Displaystyle \ forall t \ in [0, \ infty)}$ .

Problem Cauchy'ego polega na znalezieniu rozwiązania równania, spełniającego warunek początkowy ${\ Displaystyle u (0) = u_ {0} \ w D (A) \ czapka D(B)}$ .

Dobra postawa

Zgodnie z definicją dobrze postawionego problemu przez Hadamarda , mówi się, że problem Cauchy'ego jest dobrze postawiony (lub poprawny ) na ${\ Displaystyle [0, \ infty)}$

dla każdego ma unikalne rozwiązanie i ${\ Displaystyle u_ {0} \ w D (A) \ nasadka D (B)}$
$że$ $sposób$ danych początkowych ∩ ), a następnie ${\ Displaystyle u_ {n} (t) \ do 0}$ dla odpowiedniego rozwiązania w każdym ${\ displaystyle t \ w [0, \ infty).}$

$)$ $}$ ) { \ Displaystyle równomiernie w $]$ skończonym przedziale ${\ Displaystyle [0, T]$ }

Półgrupa operatorów związanych z problemem Cauchy'ego

$displaystyle 0<t<\infty }$ Cauchy'ego można powiązać półgrupę operatorów $tj$ . rodzinę ograniczonych operatorów liniowych zależnych od parametru ${\ displaystyle t}$ < ) takie, że

{\ Displaystyle U (t_ {1}+ t_ {2}) = U (t_ {1}) U (t_ {2}) \ quad (0 <t_ {1}, t_ {2}<\ infty).}

$U (t)}$ Displaystyle , który przypisuje elementowi ${\ Displaystyle u_ {n} (0) \ w D (A) \ cap D (B)}$ wartość rozwiązania problemu Cauchy'ego ( $\$ $Displaystyle u (0) = u_ {0}} ) u ( t ) {\ Displaystyle$ } chwila czasu ${\ displaystyle t> 0}$ . Jeśli problem Cauchy'ego jest dobrze postawiony, to operator $ZA$ zdefiniowany na $}$ i tworzy półgrupę.

$)$ , jeśli $gęsty$ w U $_ można rozszerzyć na$ _ $przestrzeni$ operator liniowy zdefiniowany na całej . $>$ można powiązać $t >0}$ $t$ , dowolnego . Taka funkcja nazywana jest uogólnionym rozwiązaniem problemu Cauchy'ego.

Jeśli jest $gęsty$ ${\ displaystyle U (t)}$ $postawiony$ Cauchy'ego jest półgrupą C ₀ w ${\ displaystyle X}$ .

₀ I odwrotnie $A}$ jeśli jest małym generatorem $Displaystyle$ , to problem Cauchy'ego

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = Au \ quad u (0) = u_ {0}\w D(A)}

jest równomiernie dobrze ustawione, a rozwiązanie jest podane przez

{\ Displaystyle u (t) = U (t) u_ {0}.}

Problem niejednorodny

problem Cauchy'ego

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = Au + f \ quad u ( 0)=u_{0}\w D(A)}

z ${\ Displaystyle f: [0, \ infty) \ do X}$ , nazywa się niejednorodnym, gdy ${\ Displaystyle f (t) \ neq 0}$ . Następujące twierdzenie podaje pewne warunki wystarczające dla istnienia rozwiązania:

₀ Twierdzenie. Jeśli jest $A$ małym generatorem i $\ Displaystyle$ różniczkowalna w sposób ciągły, to funkcja $} jest$ w

{\ Displaystyle u (t) = T (t) u_ {0} + \ int _ {0 }^{t}T(ts)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}

jest unikalnym rozwiązaniem (abstrakcyjnego) niejednorodnego problemu Cauchy'ego.

Całka po prawej stronie ma być całką Bochnera .

Problem zależny od czasu

Problem znalezienia rozwiązania problemu wartości początkowej

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = A (t )u+f\quad u(0)=u_{0}\w D(A),}

gdzie niewiadoma jest funkcją ${\ Displaystyle u: [0, T] \ do X}$ , ${\ Displaystyle f: [0, T] \ do X }$ $\ Displaystyle t \ w [0, T]}$ podane i dla każdego jest danym, zamkniętym $operatorem$ w $displaystyle X$ $} t$ ] $niezależną$ , i $gęstą$ X $}$ \ nazywa zależny problem Cauchy'ego.

Funkcja ceniona przez operatora z wartościami w (przestrzeń wszystkich ograniczonych operatorów liniowych z $}$ $}$ $\ tau$ $U (t$ do ${\ Displaystyle X}$ ), zdefiniowane i silnie ciągłe łącznie w ${\ Displaystyle t, \ tau}$ dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ tau \ równoważnik t \ równoważnik T}$ , nazywamy fundamentalnym rozwiązaniem problemu zależnego od czasu, jeśli:

δ $operatorname {\ delta} t}}}$ istnieje w silnej topologii ${\ Displaystyle X}$ należy do ${\ Displaystyle B (X)}$ dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ tau \ równoważnik t \ równoważnik$ T ${\ Displaystyle t}$ dla ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik \ tau \ równoważnik t \ równoważnik T}$ ;
zakres ${\ Displaystyle U (t, \ tau)}$ jest w ${\ displaystyle D}$ ;
${\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {\ delta} U (t, \ tau)} {\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\równik \tau \równik t\równik T,}$ i
${\ Displaystyle U (\ tau, \ tau) = ja}$ .

${\ Displaystyle U (\ tau, \ tau)}$ jest również nazywany operatorem ewolucji, propagatorem, operatorem rozwiązania lub funkcją Greena.

Funkcja $nazywana$ jest łagodnym rozwiązaniem problemu zależnego od czasu, jeśli dopuszcza reprezentację

{\ Displaystyle u (t) = U (t, 0) u_ {0} + \int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}

₀ Istnieją różne znane wystarczające warunki istnienia operatora ewolucji ${\ Displaystyle U (t, \ tau)}$ . W praktycznie $na$ przypadkach rozważanych w literaturze przyjmuje się, że jest to nieskończenie mały generator C X $X}$ Z grubsza mówiąc, jeśli $mówi się$ małym generatorem półgrupy skurczu, równanie jest typu ; jeśli $mówi$ małym generatorem analitycznej półgrupy, się, że parabolicznego .

Problem nieliniowy

Problem znalezienia rozwiązania dla obu

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = f (t, u) \ quad u(0)=u_{0}\w X}

gdzie ${\ Displaystyle f: [0, T] \ razy X \ do X}$ jest podane lub

{\ Displaystyle {\ Frac {\ operatorname {d} u} {\ operatorname {d} t}} = A (t) u \ quad u(0)=u_{0}\w D(A)}

gdzie $jest$ nieliniowym z $_$ problemem Cauchy'ego

Zobacz też