Formuła monotoniczności Huiskena

W geometrii różniczkowej wzór monotoniczności Huiskena stwierdza, że ​​jeśli n - wymiarowa powierzchnia w ( n + 1) -wymiarowej przestrzeni euklidesowej podlega średniemu przepływowi krzywizny , to jej splot z odpowiednio przeskalowanym i odwróconym w czasie jądrem ciepła nie rośnie. Wynik został nazwany na cześć Gerharda Huiskena , który opublikował go w 1990 roku.

W szczególności ( n + 1) -wymiarowe jądro ciepła odwrócone w czasie, zbiegające się do punktu x ₀ w czasie t ₀ , można wyrazić wzorem

${\ Displaystyle u (x, t) = {\ Frac {1} {(4 \ pi (t_ {0} -t)) ^ {n/2}}} \ exp \ lewo (- {\ Frac {| x -x_{0}|^{2}}{4(t_{0}-t)}}\prawo).}$

Następnie wzór na monotoniczność Huiskena daje wyraźne wyrażenie na pochodną

${\ Displaystyle \ int u (x, t) d \ mu,}$

gdzie μ jest elementem powierzchni rozwijającej się powierzchni w czasie t . Wyrażenie obejmuje zaprzeczenie innej całki, której całka jest nieujemna, więc pochodna nie jest dodatnia.

Zazwyczaj x ₀ i t ₀ są wybierane jako czas i położenie osobliwości rozwijającej się powierzchni, a wzór na monotoniczność może być użyty do analizy zachowania powierzchni, gdy ewoluuje w kierunku tej osobliwości. W szczególności jedyne powierzchnie, dla których splot z jądrem ciepła pozostaje stały, a nie maleje, to te, które pozostają samopodobne w miarę ewolucji, a wzór na monotoniczność może być użyty do sklasyfikowania tych powierzchni.

Grigorij Perelman wyprowadził analogiczne wzory dla przepływu Ricciego .