Energia Willmore'a

Rzeźba „Willmore Surface” na Uniwersytecie w Durham ku pamięci Thomasa Willmore'a

W geometrii różniczkowej energia Willmore'a jest ilościową miarą tego, jak bardzo dana powierzchnia odchyla się od okrągłej kuli . Matematycznie energia Willmore'a gładkiej, zamkniętej powierzchni osadzonej w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej jest definiowana jako całka kwadratu średniej krzywizny minus krzywizna Gaussa . Jej nazwa pochodzi od angielskiego geometra Thomasa Willmore'a .

Definicja

Wyrażona symbolicznie energia Willmore'a S to:

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} = \ int _ {S} H ^ {2} \, dA- \ int _ {S} K \, dA }$

gdzie jest średnią $krzywizną$ , $jest$ krzywizną Gaussa , a dA formą S. W przypadku powierzchni zamkniętej, na podstawie twierdzenia Gaussa-Bonneta , całkę krzywizny Gaussa można obliczyć za pomocą charakterystyki Eulera powierzchni, więc ${\ Displaystyle \ chi (S)}$

${\ Displaystyle \ int _ {S} K \, dA = 2 \ pi \ chi (S)}$

który jest $które$ , a zatem niezależnym od konkretnego osadzania, zostało wybrane. Zatem energię Willmore'a można wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} = \ int _ {S} H ^ {2} \ dA-2 \ pi \ chi (S)}$

Alternatywną, ale równoważną formułą jest

${\ Displaystyle {\ mathcal {W}} = {1 \ ponad 4} \ int _ {S} (k_ {1} -k_ {2}) ^{2}\,dA}$

gdzie ${\ displaystyle k_ {1}}$ i ${\ displaystyle k_ {2}}$ to główne krzywizny powierzchni.

Nieruchomości

Energia Willmore'a jest zawsze większa lub równa zeru. Okrągła kula ma zerową energię Willmore'a.

Energię Willmore'a można uznać za funkcjonał na przestrzeni zanurzeń danej powierzchni, w sensie rachunku wariacyjnego , i można zmieniać osadzenie powierzchni, pozostawiając ją niezmienioną topologicznie.

Punkt krytyczny

Podstawowym problemem w rachunku wariacyjnym jest znalezienie punktów krytycznych i minimów funkcjonału.

Dla danej przestrzeni topologicznej jest to równoznaczne ze znalezieniem punktów krytycznych funkcji

${\ Displaystyle \ int _ {S} H ^ {2} \, dA}$

ponieważ charakterystyka Eulera jest stała.

Można znaleźć (lokalne) minima dla energii Willmore'a za pomocą spadku gradientu , który w tym kontekście nazywany jest przepływem Willmore'a.

W przypadku osadzania kuli w przestrzeni 3 punkty krytyczne zostały sklasyfikowane: wszystkie są konformalnymi transformacjami minimalnych powierzchni , okrągła kula jest minimum, a wszystkie inne wartości krytyczne są liczbami całkowitymi większymi lub równymi 4 ${\ displaystyle \pi }$ . Nazywa się je powierzchniami Willmore'a.

przepływ Willmore'a

Przepływ Willmore'a to przepływ geometryczny odpowiadający energii Willmore'a; jest to przepływ gradientowy . L $\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ Displaystyle e [{\ mathcal {M}}] = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {\ mathcal {M}} H ^ { 2}\,\mathrm {d} A}$

gdzie H oznacza średnią krzywiznę kolektora $M}}}$ { .

Linie przepływu spełniają równanie różniczkowe:

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} x (t) = - \ nabla {\ mathcal {W}} [x (t)] \}$

gdzie $jest$ należącym do powierzchni.

Ten przepływ prowadzi do problemu ewolucji w geometrii różniczkowej : powierzchnia ewoluuje w czasie $, podążając za zmianami najbardziej$ spadku energii. Podobnie jak dyfuzja powierzchniowa, jest to przepływ czwartego rzędu, ponieważ zmiana energii zawiera czwarte pochodne.

Aplikacje

• Błony komórkowe mają tendencję do ustawiania się tak, aby zminimalizować energię Willmore'a.
• Energia Willmore'a jest wykorzystywana do konstruowania klasy optymalnych wywróceń sfer , minimaksowych wywróceń .

Zobacz też

• Przypuszczenie Willmore'a

Notatki

•   Willmore, TJ (1992), „Ankieta dotycząca zanurzeń Willmore'a”, Geometria i topologia podrozmaitości, IV (Leuven, 1991) , River Edge, NJ: World Scientific, s. 11–16, MR 1185712 .