Przepływ krzywizny Gaussa

W matematycznych dziedzinach geometrii różniczkowej i analizy geometrycznej przepływ krzywizny Gaussa jest przepływem geometrycznym dla zorientowanych hiperpowierzchni rozmaitości Riemanna . W przypadku krzywych w rozmaitości dwuwymiarowej jest tożsame z przepływem skracającym krzywą . Przepływ o średniej krzywiźnie jest innym przepływem geometrycznym, w którym szczególnym przypadkiem jest również przepływ skracający krzywą.

Definicja i dobra postawa

Niech S będzie gładką n -wymiarową rozmaitością i niech ( M , g ) będzie gładką rozmaitością Riemanna o wymiarze n + 1 . Biorąc pod uwagę zanurzenie f S w M wraz z jednostkowym normalnym polem wektorowym wzdłuż f , drugą podstawową postać f można postrzegać jako symetryczne 2-tensorowe pole na S . Za pomocą pierwszej podstawowej postaci , można go również postrzegać jako pole tensorowe (1,1) na S , gdzie jest znane jako operator kształtu . Krzywizna Gaussa lub krzywizna Gaussa-Kroneckera f , oznaczona przez K , może być następnie zdefiniowana jako wyznacznik operatora kształtu punkt po punkcie lub równoważnie (względem współrzędnych lokalnych) jako wyznacznik drugiej formy podstawowej podzielonej przez wyznacznik pierwszej formy podstawowej.

Równanie definiujące przepływ krzywizny Gaussa to

Tak więc przepływ krzywizny Gaussa składa się z gładkiej rozmaitości S , gładkiej rozmaitości Riemanna M o wymiarze o jeden większym i jednoparametrowej rodziny zanurzeń S w M , wraz z gładkim jednostkowym normalnym polem wektorowym wzdłuż każdego zanurzenia, tak że powyższe równanie jest spełnione.

Dobra pozycja przepływu krzywizny Gaussa jest ustalona, ​​​​jeśli S jest domknięty . Wtedy, jeśli n jest większe od jedności i jeśli dane zanurzenie, wzdłuż którego wybrano gładkie jednostkowe pole wektora normalnego, ma dodatnio określoną drugą postać podstawową, to istnieje unikalne rozwiązanie przepływu krzywizny Gaussa z „danymi początkowymi " F. _ Jeżeli n jest równe jeden, a więc jeden znajduje się w ustawieniu przepływu skracającego krzywą, warunek w drugiej postaci podstawowej jest zbędny.

Twierdzenia o zbieżności

Ze względu na powyższe twierdzenie o istnieniu i wyjątkowości, przepływ krzywizny Gaussa był zasadniczo badany tylko w przypadkach przepływu skracającego krzywą oraz w wyższych wymiarach dla zamkniętych wypukłych hiperpowierzchni. Niezależnie od wymiaru, najszerzej badano to w przypadku, gdy ( M , g ) jest przestrzenią euklidesową ℝ n + 1 .

W przypadku przepływu skracającego krzywą Michael Gage i Richard Hamilton wykazali, że każde wypukłe osadzenie koła w płaszczyźnie jest odkształcane do punktu w skończonym czasie, w taki sposób, że przeskalowanie krzywych w przepływie płynnie zbliża się do okrągłego koła . Zostało to wzmocnione przez wynik Matthew Graysona pokazujący, że każdy osadzony okrąg w płaszczyźnie jest zdeformowany w wypukłe osadzenie, w którym to momencie zastosowanie ma wynik Gage'a i Hamiltona. Od tego czasu znaleziono dowody, które nie traktują oddzielnie dwóch przypadków wypukłości i niewypukłości. W bardziej ogólnym układzie kompletnej dwuwymiarowej rozmaitości Riemanna, która ma pewną wypukłość bliską nieskończoności, Grayson udowodnił zbieżność do zamkniętej geodezyjnej lub do okrągłego punktu.

Kaising Tso zastosował metody rozwiązania problemu Minkowskiego Shiu-Yuen Chenga i Shing-Tung Yau do zbadania wielowymiarowej wersji wyniku Gage'a i Hamiltona. W szczególności przedstawił przepływ krzywizny Gaussa jako paraboliczne równanie Monge'a-Ampère'a dla funkcji podporowej hiperpowierzchni. Był w stanie wykazać, że maksymalny czas istnienia jest wyraźną stałą wielokrotnością objętości zamkniętej przez początkową hiperpowierzchnię i że każda hiperpowierzchnia w przepływie jest gładka i ściśle wypukła, a średnica zbiega się do zera, gdy czas zbliża się do maksimum.

W 1999 roku Ben Andrews udowodnił dobrze znaną hipotezę Firey'a , pokazując, że dla powierzchni wypukłych w ℝ 3 powierzchnie w wyniku Tso można przeskalować, aby płynnie zbiegały się do okrągłej kuli. Kluczem jego dowodu było zastosowanie zasady maksimum do wielkości H 2 − 4 K , pokazujące, że największa wielkość różnicy punkt po punkcie dwóch wartości własnych operatora kształtu nie może rosnąć w czasie. Poprzednie wyniki Andrewsa dla wypukłych hiperpowierzchni przestrzeni euklidesowej, a także nierówność Li – Yau Harnacka znaleziona przez Bennetta Chowa, a następnie zastosowane w celu uzyskania jednolitej kontroli geometrycznej nad powierzchniami składającymi się na przepływ. Pełna zbieżność do sfery wykorzystała twierdzenie Kryłowa-Safonowa.

Źródła

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Gauss_curvature_flow&oldid=1116562408 ”