Zewnętrzne przepływy geometryczne

Pierwsza edycja

Zewnętrzne przepływy geometryczne to podręcznik do zaawansowanej matematyki, który omawia przepływy geometryczne , problemy matematyczne, w których krzywa lub powierzchnia porusza się w sposób ciągły zgodnie z pewną regułą. Skupia się raczej na przepływach zewnętrznych, w których zasada zależy od osadzenia powierzchni w przestrzeni, niż na przepływach wewnętrznych, takich jak przepływ Ricciego, które zależą od wewnętrznej geometrii powierzchni i można je zdefiniować bez względu na osadzenie.

Zewnętrzne przepływy geometryczne zostały napisane przez Bena Andrewsa , Bennetta Chow, Christine Guenther i Mata Langforda i opublikowane w 2020 roku jako tom 206 Graduate Studies in Mathematics , serii książek Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego .

Tematy

Książka składa się z czterech rozdziałów, z grubsza podzielonych na cztery sekcje:

• Rozdziały od 1 do 4 dotyczą równania ciepła i zdefiniowanego na jego podstawie przepływu skracającego krzywą , w którym krzywa porusza się w płaszczyźnie euklidesowej , prostopadle do siebie, z prędkością proporcjonalną do jej krzywizny. Obejmuje materiał na krzywych, które pozostają samopodobne podczas ich przepływu, takie jak okręgi i krzywa ponurego żniwiarza ${\ Displaystyle y = - \ log \ cos x}$ , twierdzenie Gage-Hamiltona-Graysona zgodnie z którą każda prosta zamknięta krzywa zbiega się w okrąg, aż w końcu zapada się w punkt, nigdy nie przecinając się sama ze sobą, oraz klasyfikacja starożytnych rozwiązań przepływu.
• Rozdziały od 5 do 14 dotyczą przepływu o średniej krzywiźnie , wyższego wymiarowego uogólnienia przepływu skracającego krzywą, który wykorzystuje średnią krzywiznę powierzchni do kontrolowania prędkości jej ruchu prostopadłego. Po wstępnym rozdziale dotyczącym geometrii hiperpowierzchni , zawiera wyniki Eckera i Huiskena dotyczące „lokalnie całych wykresów Lipschitza” oraz twierdzenie Huiskena, że ​​równomiernie wypukłe powierzchnie pozostają gładkie i wypukłe, zbiegając się w kulę, zanim zapadną się w punkt. Formuła monotoniczności Huiskena jest omówiona, podobnie jak twierdzenia o regularności Brakkego i White'a, zgodnie z którymi przepływ jest prawie wszędzie gładki. Kilka rozdziałów w tej sekcji dotyczy osobliwości, które mogą powstać w tym przepływie, a także powierzchni, które pozostają samopodobne podczas przepływu.
• Rozdziały od 15 do 17 dotyczą przepływu krzywizny Gaussa , innego sposobu uogólnienia przepływu skracającego krzywą do wyższych wymiarów przy użyciu krzywizny Gaussa zamiast krzywizny średniej. Chociaż krzywizna Gaussa jest wewnętrzna, w przeciwieństwie do krzywizny średniej, przepływ krzywizny Gaussa jest zewnętrzny, ponieważ obejmuje ruch osadzonej powierzchni. W tym przypadku zmiany przepływu polegają na użyciu potęgi krzywizny, a nie samej krzywizny, do określenia prędkości przepływu, co rodzi pytania dotyczące istnienia przepływu w skończonych przedziałach czasu, istnienia rozwiązań samopodobnych i ograniczające kształty. Wykładnik krzywizny jest tutaj krytyczny, z wypukłymi powierzchniami zbiegającymi się do elipsoidy na wykładniku $do$ krzywą afiniczną) i okrągła kula dla większych wykładników.
• Rozdziały 18-20 przedstawiają szerszą panoramę nieliniowych przepływów geometrycznych.

Treść każdego rozdziału zawiera zarówno dowody wyników omówionych w rozdziale, jak i odniesienia do literatury matematycznej; dodatkowe odniesienia znajdują się w sekcji komentarzy na końcu każdego rozdziału, która zawiera również dodatkowe intuicje i opisy otwartych problemów, a także krótkie opisy dodatkowych wyników w tej samej dziedzinie. Oprócz zilustrowania omawianej matematyki wieloma liczbami, humanizuje treść, dostarczając zdjęcia wielu matematyków, do których się odwołuje. Rozdziały zawierają ćwiczenia, dzięki czemu książka nadaje się jako podręcznik dla absolwentów.

Publiczność i odbiór

Chociaż przepływy wewnętrzne były ostatnio przedmiotem znacznej uwagi w matematyce po ich użyciu przez Grigorija Perelmana do rozwiązania zarówno hipotezy Poincarégo , jak i hipotezy geometryzacji , przepływy zewnętrzne mają również długą historię ważnych zastosowań w matematyce, ściśle związanych z rozwiązaniami częściowych równania różniczkowe . Ich zastosowania obejmują modelowanie wzrostu komórek biologicznych, ziaren kryształów metalicznych, pęcherzyków w piankach, a nawet „odkształcania toczących się kamieni na plaży”.

Dowody zawarte w książce są często uproszczeniami dowodów w literaturze naukowej, ale mimo to nadal są dość techniczne, skierowane do doktorantów i naukowców zajmujących się analizą geometryczną . Od czytelników oczekuje się znajomości podstaw geometrii różniczkowej i równań różniczkowych cząstkowych. W książce jest więcej materiału, niż można by omówić w jednym kursie, ale może on stanowić podstawę sekwencji kilku kursów lub kursu tematycznego, który wybiera tylko część materiału. Poza tym, że jest podręcznikiem, Zewnętrzne przepływy geometryczne mogą służyć jako materiał referencyjny na temat przepływów dla specjalistów w tej dziedzinie.

Powiązane prace

To nie pierwsza książka o przepływach geometrycznych. Inne obejmują:

•    Chou, Kai-Seng; Zhu, Xi-Ping (2001), The Curve Shortening Problem , Chapman & Hall/CRC, doi : 10.1201/9781420035704 , ISBN 1-58488-213-1 , MR 1888641
•    Zhu, Xi-Ping (2002), Wykłady o przepływach średniej krzywizny , AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, tom. 32, International Press, doi : 10.1090/amsip/032 , ISBN 0-8218-3311-1 , MR 1931534
•    Ecker, Klaus (2004), Teoria regularności średniego przepływu po krzywiźnie , Postęp w nieliniowych równaniach różniczkowych i ich zastosowania, tom. 57, Birkäuser, doi : 10.1007/978-0-8176-8210-1 , ISBN 0-8176-3243-3 , MR 2024995
•    Giga, Yoshikazu (2006), Surface Evolution Equations: A Level Set Approach , Monografie z matematyki, tom. 99, Birkäuser, ISBN 978-3-7643-2430-8 , MR 2238463

Chociaż Extrinsic Geometric Flows jest bardziej wszechstronna i aktualna niż te prace, pomija niektóre z ich tematów, w tym anizotropowe przepływy krzywych w Chou i Zhu (2001) , zastosowania do teorii względności w Zhu (2002) oraz metody ustalania poziomów Giga (2006) .