Shiu-Yuen Cheng

Shiu-Yuen Cheng w 1977 r. Zdjęcie dzięki uprzejmości George'a M. Bergmana

Shiu-Yuen Cheng (鄭紹遠) jest matematykiem z Hongkongu . Obecnie jest profesorem katedry matematyki na Uniwersytecie Nauki i Technologii w Hongkongu . Cheng uzyskał tytuł doktora. w 1974 pod kierunkiem Shiing-Shen Chern z University of California w Berkeley . Następnie Cheng spędził kilka lat jako adiunkt i adiunkt na Uniwersytecie Princeton i Uniwersytecie Stanowym Nowego Jorku w Stony Brook . Następnie został profesorem zwyczajnym na Uniwersytecie Kalifornijskim w Los Angeles . Cheng przewodniczył wydziałom matematyki zarówno Chińskiego Uniwersytetu w Hongkongu, jak i Uniwersytetu Nauki i Technologii w Hongkongu w latach 90. W 2004 roku został dziekanem ds. nauki w HKUST. W 2012 roku został członkiem Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego .

Jest dobrze znany ze swojego wkładu w geometrię różniczkową i równania różniczkowe cząstkowe , w tym twierdzenie Chenga o porównywaniu wartości własnych , twierdzenie Chenga o maksymalnej średnicy oraz szereg prac z Shing-Tung Yau . Wiele prac Chenga i Yau stanowiło część zbioru prac, za które Yau otrzymał medal Fieldsa w 1982 roku. Od 2020 roku najnowsze prace badawcze Chenga zostały opublikowane w 1996 roku.

Wkład techniczny

Estymatory gradientów i ich zastosowania

W 1975 roku Shing-Tung Yau znalazł nowe oszacowanie gradientu dla rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu na pewnych kompletnych rozmaitościach riemannowskich. Cheng i Yau byli w stanie zlokalizować oszacowanie Yau, korzystając z metody opracowanej przez Eugenio Calabiego . Wynik, znany jako oszacowanie gradientu Chenga-Yau, jest wszechobecny w dziedzinie analizy geometrycznej . W konsekwencji Cheng i Yau byli w stanie wykazać istnienie funkcji własnej odpowiadającej pierwszej wartości własnej operatora Laplace'a-Beltramiego na kompletnej rozmaitości Riemanna.

Cheng i Yau zastosowali tę samą metodologię, aby zrozumieć przestrzennopodobne hiperpowierzchnie przestrzeni Minkowskiego i geometrię hiperpowierzchni w przestrzeni afinicznej . Szczególnym zastosowaniem ich wyników jest twierdzenie Bernsteina dla hiperpowierzchni podobnych do przestrzeni zamkniętych przestrzeni Minkowskiego, których średnia krzywizna wynosi zero; każda taka hiperpowierzchnia musi być płaszczyzną.

W 1916 roku Hermann Weyl znalazł tożsamość różniczkową dla danych geometrycznych powierzchni wypukłej w przestrzeni euklidesowej. Stosując zasadę maksimum, był w stanie kontrolować geometrię zewnętrzną w kategoriach geometrii wewnętrznej. Cheng i Yau uogólnili to na kontekst hiperpowierzchni w rozmaitościach Riemanna.

Problem Minkowskiego i równanie Monge'a-Ampère'a

Każdą ściśle wypukłą zamkniętą hiperpowierzchnię w przestrzeni euklidesowej ℝ ^{n + 1} można naturalnie uznać za osadzenie n -wymiarowej sfery za pomocą mapy Gaussa . Problem Minkowskiego dotyczy pytania, czy dowolną gładką i dodatnią funkcję na n -wymiarowej sferze można zrealizować jako skalarną krzywiznę metryki Riemanna indukowaną przez takie osadzenie. Zostało to rozwiązane w 1953 roku przez Louisa Nirenberga , w przypadku, gdy n jest równa dwóm. W 1976 roku Cheng i Yau ogólnie rozwiązali ten problem.

Dzięki zastosowaniu transformacji Legendre'a rozwiązania równania Monge'a-Ampère'a zapewniają również wypukłe hiperpowierzchnie przestrzeni euklidesowej; skalarna krzywizna metryki wewnętrznej jest określona przez prawą stronę równania Monge-Ampère'a. W związku z tym Cheng i Yau byli w stanie wykorzystać swoje rozwiązanie problemu Minkowskiego do uzyskania informacji o rozwiązaniach równań Monge-Ampère'a. Jako szczególne zastosowanie uzyskali pierwszą ogólną teorię istnienia i jednoznaczności dla problemu wartości brzegowych dla równania Monge-Ampère'a. Luis Caffarelli , Nirenberg i Joel Spruck później opracował bardziej elastyczne metody radzenia sobie z tym samym problemem.

Główne publikacje

C75.

Shiu-Yuen Cheng. Twierdzenia o porównywaniu wartości własnych i ich geometryczne zastosowania. Matematyka Z. 143 (1975), nr. 3, 289–297. doi : 10.1007/BF01214381

CY75.

SY Cheng i ST Yau. Równania różniczkowe na rozmaitościach Riemanna i ich zastosowania geometryczne. Kom. czysta aplikacja Matematyka 28 (1975), nr. 3, 333–354. doi : 10.1002/cpa.3160280303

C76.

Shiu-Yuen Cheng. Funkcje własne i zbiory węzłowe. Komentarz. Matematyka Helv. 51 (1976), nr. 1, 43–55. doi : 10.1007/BF02568142

CY76a.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. Maksymalne przestrzennopodobne hiperpowierzchnie w przestrzeniach Lorentza-Minkowskiego. Ann. z matematyki. (2) 104 (1976), nr. 3, 407–419. doi : 10.2307/1970963

CY76b.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. O regularności rozwiązania n -wymiarowego problemu Minkowskiego. Kom. czysta aplikacja Matematyka 29 (1976), nr. 5, 495–516. doi : 10.1002/cpa.3160290504

CY77a.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. O regularności równania Monge'a-Ampère'a det(∂ ² u /∂ x _i ∂ x _j ) = fa ( x , u ) . Kom. czysta aplikacja Matematyka 30 (1977), nie. 1, 41–68. doi : 10.1002/cpa.3160300104

CY77b.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. Hiperpowierzchnie o stałej krzywiźnie skalarnej. Matematyka Ann. 225 (1977), no. 3, 195–204. doi : 10.1007/BF01425237

CY80.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. O istnieniu kompletnej metryki Kählera na niezwartych rozmaitościach zespolonych i regularności równania Feffermana. Kom. czysta aplikacja Matematyka 33 (1980), nr. 4, 507–544. doi : 10.1002/cpa.3160330404

CY86.

Shiu-Yuen Cheng i Shing-Tung Yau. Kompletne hiperpowierzchnie afiniczne. I. Kompletność metryk afinicznych. Kom. czysta aplikacja Matematyka 39 (1986), nr. 6, 839–866. doi : 10.1002/cpa.3160390606

Linki zewnętrzne

• School of Science, Uniwersytet Nauki i Technologii w Hongkongu
• Wydział Matematyki Uniwersytetu Nauki i Technologii w Hongkongu