Twierdzenie Chenga o porównaniu wartości własnych

W geometrii Riemanna twierdzenie Chenga o porównaniu wartości własnych stwierdza ogólnie, że gdy domena jest duża, pierwsza wartość własna Dirichleta jej operatora Laplace'a-Beltramiego jest mała. Ta ogólna charakterystyka nie jest precyzyjna, po części dlatego, że pojęcie „rozmiaru” domeny musi również uwzględniać jej krzywiznę . Twierdzenie pochodzi od Chenga (1975b) autorstwa Shiu-Yuen Chenga . Używając kul geodezyjnych , można to uogólnić na pewne domeny rurowe ( Lee 1990 ).

Twierdzenie

Niech M będzie rozmaitością riemannowską o wymiarze n i niech B _M ( p , r ) będzie kulą geodezyjną o środku w p o promieniu r mniejszym niż promień iniekcji p ∈ M . Dla każdej liczby rzeczywistej k niech N ( k ) oznacza prosto spójną postać przestrzenną o wymiarze n i stałej krzywiźnie przekroju k . Twierdzenie Chenga o porównywaniu wartości własnych porównuje pierwszą wartość własną λ ₁ ( B _M ( p , r )) problemu Dirichleta w B _M ( p , r ) z pierwszą wartością własną w B _{N ( k )} ( r ) dla odpowiednich wartości k . Twierdzenie składa się z dwóch części:

• Załóżmy, że , _krzywizna przekroju M , spełnia

${\ Displaystyle K_ {M} \ równoważnik k.}$

Następnie

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ lewo (B_ {N (k)} (r) \ prawo) \ równoważnik \ lambda _ {1} \ lewo (B_ {M} (p, r) \ prawo).}$

Druga część to twierdzenie porównawcze dla krzywizny Ricciego M :

• Załóżmy, że krzywizna Ricciego M spełnia dla każdego pola wektorowego X ,

${\ Displaystyle \ operatorname {Ric} (X, X) \ geq k (n-1) | X | ^ {2}.}$

Następnie, z taką samą notacją jak powyżej,

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ lewo (B_ {N (k)} (r) \ prawo) \ geq \ lambda _ {1} \ lewo (B_ {M} (p, r) \ prawo).}$

SY Cheng wykorzystał twierdzenie Barty do wyprowadzenia twierdzenia o porównaniu wartości własnych. W szczególnym przypadku, jeśli k = −1 i inj( p ) = ∞, nierówność Chenga przyjmuje postać λ ^* ( N ) ≥ λ ^* ( H   ⁿ (−1)), co jest nierównością McKeana.

Zobacz też

• Twierdzenie porównawcze
• Twierdzenie o porównaniu wartości własnych

Bibliografia

•   Bessa, lekarz rodzinny; Czarnogóra, JF (2008), „O twierdzeniu porównania wartości własnych Chenga”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 144 (3): 673–682, doi : 10.1017 / s0305004107000965 , ISSN 0305-0041 .
• Chavel, Isaac (1984), Wartości własne w geometrii Riemanna , Pure Appl. Matematyka, tom. 115, Prasa Akademicka .
•   Cheng, Shiu Yuen (1975a), „Funkcje własne i wartości własne Laplace'a”, Geometria różniczkowa (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVII, Stanford Univ., Stanford, Kalifornia, 1973), część 2, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. 185–193, MR 0378003
• Cheng, Shiu Yuen (1975b), „Twierdzenia dotyczące porównania wartości własnych i ich zastosowania geometryczne”, Math. Z. , 143 : 289–297, doi : 10.1007/BF01214381 .
•   Lee, Jeffrey M. (1990), „Porównanie wartości własnych dla domen rurowych”, Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 109 (3): 843–848, doi : 10,2307/2048228 , JSTOR 2048228 .
• McKean, Henry (1970), „Górna granica widma △ na rozmaitości o ujemnej krzywiźnie”, Journal of Differential Geometry , 4 : 359–366 .
• Lee, Jeffrey M.; Richardson, Ken (1998), „Foliacje riemannowskie i porównanie wartości własnych”, Ann. Globalny anal. Geom. , 16 : 497–525, doi : 10.1023/A:1006573301591 /