Forma kosmiczna

W matematyce formą przestrzenną jest kompletna rozmaitość Riemanna M o stałej krzywiźnie przekroju K . Trzy najbardziej podstawowe przykłady to n -przestrzeń euklidesowa , n -wymiarowa sfera i przestrzeń hiperboliczna , chociaż formy przestrzenne nie muszą być po prostu połączone .

Redukcja do krystalografii uogólnionej

Killinga -Hopfa geometrii Riemanna stwierdza $.$$n$ pokrycie -wymiarowej formy przestrzeni krzywizną ${\ Displaystyle H ^ {n}}$ izometryczne , przestrzeń hiperboliczna z krzywizną jest izometryczna do ${\ Displaystyle R ^ {n}}$ , $Displaystyle K = 0}$ Euklidesowa n -przestrzeń i z krzywizną $jest$$izometryczna$ z n -wymiarową ${\ Displaystyle R ^ {n + 1}}$ początku .

Przeskalowując $displaystyle$ riemannowską na , możemy stworzyć przestrzeń ${\$$stałej$ krzywiźnie dla dowolnej . $n}}$$<0}$ . Podobnie, przeskalowując metrykę Riemanna na , możemy stworzyć przestrzeń o stałej krzywiźnie $M$$\ Displaystyle M_$$}$ dla dowolnego ${\ displaystyle K> 0}$ . Zatem uniwersalne pokrycie formy przestrzeni $o$ stałej krzywiźnie jest izometryczne do $M_ {K}$$displaystyle$ .

Zmniejsza to problem badania form przestrzennych do badania $izometrii$ grup $,$ które działają prawidłowo sposób nieciągły $}$ że podstawowa grupa będzie $izomorficzna$ z $displaystyle$ \ Grupy działające w ten sposób na ${\ displaystyle R ^ {n}}$ nazywane są grupami krystalograficznymi . Grupy działające w ten sposób na i ${$$\ displaystyle H ^ {3}}$ nazywane są grupami fuchsowskimi grupami kleinowskimi .

Zobacz też

• Przypuszczenie Borela

•   Goldberg, Samuel I. (1998), Krzywizna i homologia , Dover Publications , ISBN 978-0-486-40207-9
• Lee, John M. (1997), Rozmaitości Riemanna: wprowadzenie do krzywizny , Springer