Twierdzenie Myersa

Twierdzenie Myersa , znane również jako twierdzenie Bonneta-Myersa , jest znanym, fundamentalnym twierdzeniem w matematycznej dziedzinie geometrii Riemanna . Został odkryty przez Sumnera Byrona Myersa w 1941 roku. Stwierdza, co następuje:

Niech

{\ Displaystyle (M, g)}

będzie

kompletną rozmaitością Riemanna o wymiarze której krzywizna Ricciego spełnia

{\ Displaystyle \ operatorname { Ric} (g)\geq (n-1)k}

dla pewnej dodatniej liczby rzeczywistej

{\ Displaystyle k.}

Wtedy dowolne dwa punkty M może być połączony odcinkiem geodezyjnym o długości co najwyżej

{\ textstyle {\ frac {\ pi} {\ sqrt {k}}} {\ text {.}}}

W szczególnym przypadku powierzchni wynik ten został udowodniony przez Ossian Bonnet w 1855 r. W przypadku powierzchni krzywizny Gaussa, przekroju i Ricciego są takie same, ale dowód Bonneta można łatwo uogólnić na wyższe wymiary, jeśli przyjmie się dodatnią dolną granicę krzywizna przekroju . Kluczowym wkładem Myersa było zatem pokazanie, że dolna granica Ricciego to wszystko, czego potrzeba, aby dojść do tego samego wniosku.

Wnioski

$,$ twierdzenia mówi w szczególności . $Twierdzenie$ Hopfa -Rinowa implikuje zatem, że musi być zwarta, jako zamknięta (a zatem zwarta) kula o promieniu w dowolnej przestrzeni stycznej $k}}}$ jest przenoszony na całą $wykładniczą$ .

Jako bardzo szczególny przypadek pokazuje to, że każda kompletna i niezwarta gładka rozmaitość Riemanna, którą jest Einstein, musi mieć niedodatnią stałą Einsteina.

Rozważmy gładką uniwersalną mapę pokrycia ${\ Displaystyle \ pi: N \ do M.}$ Można rozważyć metrykę Riemanna $π * g$ na $Displaystyle N.}$ $\$ Ponieważ jest lokalnym dyfeomorfizmem, twierdzenie Myersa ma zastosowanie do rozmaitości Riemanna $(N, π * g)$ a zatem ${\ Displaystyle N}$ jest zwarty. Oznacza to, że podstawowa grupa $skończona$ .

Twierdzenie Chenga o sztywności średnicy

Konkluzja twierdzenia Myersa $ma re sol ( , że dla) mówi \sqrt .$ $q$ każdego jeden W 1975 roku Shiu-Yuen Cheng udowodnił:

Niech ${\ Displaystyle (M, g)}$ będzie kompletną i gładką rozmaitością Riemanna o wymiarze $n$ . Jeśli $k$ jest liczbą dodatnią z $Ric g \geq (n -1) k$ , i jeśli istnieje $p$ i $q$ w $M$ z $d g (p, q) = π / \sqrt k$ , to $(M, g)$ jest prosto spójny i ma stałą krzywiznę przekroju $k$ .

Zobacz też

Twierdzenie Gromowa o zwartości (geometria) - On, gdy zbiór zwartych rozmaitości Riemanna o danym wymiarze jest stosunkowo zwarty

Ambrose, W. Twierdzenie Myersa. Duke Matematyka. J. 24 (1957), 345–348.
Cheng, Shiu Yuen (1975), „Twierdzenia o porównaniu wartości własnych i ich zastosowania geometryczne”, Mathematische Zeitschrift , 143 (3): 289–297, doi : 10.1007 / BF01214381 , ISSN 0025-5874 , MR 0378001
do Carmo, poseł (1992), geometria riemannowska , Boston, Massachusetts: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
Myers, SB (1941), „Riemannowskie rozmaitości z dodatnią średnią krzywizną”, Duke Mathematical Journal , 8 (2): 401–404, doi : 10.1215 / S0012-7094-41-00832-3