Problem Minkowskiego
W geometrii różniczkowej problem Minkowskiego , nazwany na cześć Hermanna Minkowskiego , wymaga konstrukcji ściśle wypukłej zwartej powierzchni S , której krzywizna Gaussa jest określona. Dokładniej, wejściem do problemu jest ściśle dodatnia funkcja rzeczywista ƒ zdefiniowana na kuli, a powierzchnia, która ma być skonstruowana, powinna mieć krzywiznę Gaussa ƒ ( n ( x )) w punkcie x , gdzie n ( x ) oznacza normalną do S w x . Eugenio Calabi stwierdził: „Z geometrycznego punktu widzenia [problem Minkowskiego] to kamień z Rosetty , z którego można rozwiązać kilka powiązanych problemów”.
Ogólnie rzecz biorąc, problem Minkowskiego wymaga, aby warunki konieczne i wystarczające dla nieujemnej miary borelowskiej na kuli jednostkowej S n-1 były miarą pola powierzchni ciała wypukłego w . Tutaj miara pola powierzchni S K wypukłego ciała K jest przesunięciem do przodu (n-1) -wymiarowej miary Hausdorffa ograniczonej do granicy K za pomocą mapy Gaussa . Problem Minkowskiego został rozwiązany przez Hermanna Minkowskiego , Aleksandra Daniłowicza Aleksandrowa , Wernera Fenchela i Børge Jessena : miara Borela μ na kuli jednostkowej jest miarą pola powierzchni ciała wypukłego wtedy i tylko wtedy, gdy μ ma środek ciężkości na początku i nie jest skoncentrowany na wielkiej podsferze. Ciało wypukłe jest wtedy jednoznacznie określone przez μ aż do translacji.
Stwierdzono, że problem Minkowskiego, pomimo wyraźnego pochodzenia geometrycznego, pojawia się w wielu miejscach. Problem radiolokacji można łatwo sprowadzić do problemu Minkowskiego w euklidesowej przestrzeni 3 : przywrócenie kształtu wypukłego na danej krzywiźnie powierzchni Gaussa. Odwrotny problem dyfrakcji krótkofalowej sprowadza się do problemu Minkowskiego. Problem Minkowskiego jest podstawą matematycznej teorii dyfrakcji , jak również fizycznej teorii dyfrakcji.
W 1953 roku Louis Nirenberg opublikował rozwiązania dwóch długotrwałych otwartych problemów, problemu Weyla i problemu Minkowskiego w euklidesowej przestrzeni 3. Rozwiązanie problemu Minkowskiego przez L. Nirenberga było kamieniem milowym w globalnej geometrii. Został wybrany pierwszym laureatem Medalu Cherna (w 2010 r.) za rolę w sformułowaniu współczesnej teorii nieliniowych eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych, w szczególności za rozwiązanie problemu Weyla i problemów Minkowskiego w euklidesie 3- przestrzeń.
AV Pogorelov otrzymał Nagrodę Państwową Ukrainy (1973) za rozwiązanie wielowymiarowego problemu Minkowskiego w przestrzeniach euklidesowych. Pogorelov rozwiązał problem Weyla w przestrzeni Riemanna w 1969 roku.
Wspólna praca Shing-Tung Yau z Shiu-Yuen Chengiem dostarcza pełnego dowodu na wielowymiarowy problem Minkowskiego w przestrzeniach euklidesowych. Shing-Tung Yau otrzymał Medal Fieldsa na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Warszawie w 1982 roku za pracę z zakresu globalnej geometrii różniczkowej i eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych , zwłaszcza za rozwiązanie tak trudnych problemów, jak hipoteza Calabiego z 1954 roku i problem Hermanna Minkowskiego w przestrzeniach euklidesowych dotyczących Problem Dirichleta dla rzeczywistego równania Monge-Ampère'a .
Dalsza lektura
- Herbert Busemann (1959) Minkowski i pokrewne problemy dla wypukłych powierzchni z granicami , Michigan Mathematical Journal 6: 259–66 MR 0108829 za pośrednictwem Project Euclid