Przypuszczenie Calabiego

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej hipoteza Calabiego była hipotezą o istnieniu pewnych rodzajów metryk riemannowskich na pewnych zespolonych rozmaitościach , postawioną przez Eugenio Calabiego ( 1954 , 1957 ). Udowodnił to Shing-Tung Yau ( 1977 , 1978 ), który częściowo za swój dowód otrzymał Medal Fieldsa i Nagrodę Oswalda Veblena . Jego praca, głównie analiza eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego , znanego jako złożone równanie Monge-Ampère'a , była wpływowym wczesnym wynikiem w dziedzinie analizy geometrycznej .

Dokładniej, przypuszczenie Calabiego potwierdza rozwiązanie wskazanego problemu krzywizny Ricciego w ramach ustawienia metryk Kählera na zamkniętych zespolonych rozmaitościach. Zgodnie z teorią Cherna-Weila forma Ricciego każdej takiej metryki jest zamkniętą różniczkową formą 2 , która reprezentuje pierwszą klasę Cherna . Calabi przypuszczał, że dla każdej takiej postaci różniczkowej R istnieje dokładnie jedna metryka Kählera w każdej klasie Kählera , której formą Ricciego jest R . (Niektóre zwarte rozmaitości zespolone nie dopuszczają żadnych klas Kählera, w którym to przypadku przypuszczenie jest bezsensowne).

W szczególnym przypadku, gdy znika pierwsza klasa Cherna, oznacza to, że każda klasa Kählera zawiera dokładnie jedną metrykę Ricciego-płaską . Są one często nazywane rozmaitościami Calabiego – Yau . Jednak termin ten jest często używany przez różnych autorów w nieco inny sposób - na przykład niektóre zastosowania mogą odnosić się do złożonej rozmaitości, podczas gdy inne mogą odnosić się do złożonej rozmaitości wraz z określoną metryką Ricciego-płaskiego Kählera.

Ten szczególny przypadek można równoważnie uznać za kompletną teorię istnienia i niepowtarzalności metryk Kählera-Einsteina o zerowej krzywiźnie skalarnej na zwartych rozmaitościach zespolonych. Przypadek niezerowej krzywizny skalarnej nie jest szczególnym przypadkiem hipotezy Calabiego, ponieważ „prawa strona” problemu Kählera – Einsteina zależy od „nieznanej” metryki, umieszczając w ten sposób problem Kählera – Einsteina poza dziedziną przepisując krzywiznę Ricciego. Jednak analiza Yau złożonego równania Monge-Ampère'a w rozwiązywaniu hipotezy Calabiego była wystarczająco ogólna, aby również rozwiązać istnienie metryk Kählera-Einsteina ujemnej krzywizny skalarnej. Trzeci i ostatni przypadek dodatniej krzywizny skalarnej został rozwiązany w 2010 roku, częściowo dzięki wykorzystaniu hipotezy Calabiego.

Zarys dowodu hipotezy Calabiego

Calabi przekształcił hipotezę Calabiego w nieliniowe równanie różniczkowe cząstkowe złożonego typu Monge-Ampère i wykazał, że to równanie ma co najwyżej jedno rozwiązanie, ustanawiając w ten sposób wyjątkowość wymaganej metryki Kählera.

Yau udowodnił hipotezę Calabiego, konstruując rozwiązanie tego równania metodą ciągłości . Obejmuje to najpierw rozwiązanie łatwiejszego równania, a następnie wykazanie, że rozwiązanie łatwego równania może być w sposób ciągły deformowane do rozwiązania trudnego równania. Najtrudniejszą częścią rozwiązania Yau jest udowodnienie pewnych oszacowań a priori dla pochodnych rozwiązań.

Transformacja hipotezy Calabiego do równania różniczkowego

$Załóżmy$ że $jest$ zwartą rozmaitością z formą Kählera . Zgodnie z ${\ Displaystyle \ częściowe {\ bar {\ częściowe}}}$ -lemma , każda inna forma Kählera w tej samej klasie kohomologii de Rham ma postać

${\ Displaystyle \ omega + dd '\ varphi}$

dla jakiejś płynnej funkcji $,$ unikalnej $.$ do dodania stałej Hipoteza Calabiego jest zatem równoważna następującemu problemowi:

Niech $\ displaystyle \ varphi}$$wartości$ gładką funkcją na $1.$ istnieje gładka funkcja rzeczywista ; z

${\ Displaystyle (\ omega + dd' \ varphi) ^ {m} = e ^ {f} \ omega ^ {m}} i φ {$

\ $\ varfi }$ ; jest unikalny aż do dodania stałej.

Jest to równanie złożonego typu Monge-Ampère dla pojedynczej funkcji ${\ displaystyle \ varphi}$ . Jest to szczególnie trudne do rozwiązania równanie różniczkowe cząstkowe, ponieważ jest nieliniowe w kategoriach najwyższego rzędu. Łatwo go rozwiązać, gdy $0}$ { \ $.$ Ideą metody ciągłości jest pokazanie, że można ją rozwiązać dla wszystkich, $pokazując,$$domknięty$ zbiór, dla którego można ją rozwiązać, jest zarówno otwarty, jak i Ponieważ zbiór, $dla którego$$\ displaystyle f}$ go rozwiązać, nie jest pusty, a zbiór wszystkich jest , oznacza to, że można go rozwiązać dla wszystkich ${$ .

Mapa od gładkich funkcji do gładkich funkcji biorących ${\ displaystyle \ varphi}$ do zdefiniowanej przez ${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle F = (\ omega + dd'\ varphi) ^ {m} / \ omega ^ {m}}$

nie jest ani iniekcyjne, ani suriekcyjne. Nie jest iniekcyjne, ponieważ dodanie stałej do $nie$$i$ się nie jest surjektywne, ponieważ musi być dodatnie i mieć średnią wartość 1. Rozważamy więc $\ displaystyle F}$ mapa ograniczona do funkcji ${$$displaystyle \ varphi$ jest izomorfizmem na zbiorze dodatnim z średnia wartość 1. Calabi i Yau udowodnili, że jest to rzeczywiście izomorfizm. Odbywa się to w kilku krokach, opisanych poniżej.

Unikalność rozwiązania

Udowodnienie, że rozwiązanie jest unikalne, polega na pokazaniu, że jeśli

${\ Displaystyle (\ omega + dd'\ varphi _ {1}) ^ {m} = (\ omega + dd'\ varphi _{2})^{m}}$

wtedy φ ₁ i φ ₂ różnią się o stałą (więc muszą być takie same, jeśli oba są znormalizowane do średniej wartości 0). Calabi udowodnił to, pokazując, że średnia wartość

${\ Displaystyle | d (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) | ^ {2}}$

jest podane przez wyrażenie, które wynosi co najwyżej 0. Ponieważ jest to oczywiście co najmniej 0, musi wynosić 0, więc

${\ Displaystyle d (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) = 0}$

co z kolei powoduje, że φ ₁ i φ ₂ różnią się o stałą.

Zbiór F jest otwarty

Udowodnienie, że zbiór możliwych F jest otwarty (w zbiorze funkcji gładkich o średniej wartości 1) polega na wykazaniu, że jeśli możliwe jest rozwiązanie równania dla pewnego F , to możliwe jest rozwiązanie go dla wszystkich dostatecznie bliskich F . Calabi udowodnił to, używając twierdzenia o funkcji uwikłanej dla przestrzeni Banacha : aby to zastosować, głównym krokiem jest wykazanie, że linearyzacja powyższego operatora różniczkowego jest odwracalna.

Zbiór F jest domknięty

Jest to najtrudniejsza część dowodu, którą wykonał Yau. Załóżmy, że F jest w domknięciu obrazu możliwych funkcji φ. Oznacza to, że istnieje ciąg funkcji φ ₁ , φ ₂ , ... taki, że odpowiednie funkcje F ₁ , F ₂ ,... zbiegają się do F , a problemem jest pokazanie, że jakiś podciąg φs jest zbieżny do rozwiązanie φ. W tym celu Yau znajduje pewne granice a priori dla funkcji φ _i i ich wyższych pochodnych w terminach wyższych pochodnych log( f _i ). Znalezienie tych granic wymaga długiej sekwencji twardych szacunków, z których każdy nieznacznie poprawia się w stosunku do poprzedniego oszacowania. Granice otrzymane przez Yau wystarczą, aby pokazać, że wszystkie funkcje φ _i leżą w zwartym podzbiorze odpowiedniej przestrzeni funkcji Banacha, więc możliwe jest znalezienie podciągu zbieżnego. Ten podciąg zbiega się do funkcji φ z obrazem F , co pokazuje, że zbiór możliwych obrazów F jest domknięty.

•   Thierry Aubin , Nonlinear Analysis on Manifolds, Monge-Ampère Equations ISBN 0-387-90704-1 Daje to dowód hipotezy Calabiego i wyników Aubina dotyczących metryk Kählera-Einsteina.
•    Bourguignon, Jean-Pierre (1979), „Premières formes de Chern des variétés kählériennes compactes [d'après E. Calabi, T. Aubin et ST Yau]”, Séminaire Bourbaki, 30e année (1977/78) , notatki z wykładów z matematyki ., tom. 710, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 1–21, doi : 10.1007/BFb0069970 , ISBN 978-3-540-09243-8 , MR 0554212 Daje to przegląd prac Aubina i Yau.
• Calabi, E. (1954). „Przestrzeń metryk Kählera” (PDF) . W Gerretsen, Johan CH; De Groot, Johannes (red.). Materiały z Międzynarodowego Kongresu Matematyków, 1954. Tom II . Amsterdam: North-Holland Publishing Co., s. 206–207.
•     Calabi, Eugenio (1957). „O rozmaitościach Kählera ze znikającą klasą kanoniczną”. W Fox, RH ; Spencer, DC ; Tucker, AW (red.). Geometria algebraiczna i topologia . Sympozjum ku czci S. Lefschetza. Seria matematyczna Princeton. Tom. 12. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 78–89. doi : 10.1515/9781400879915-006 . ISBN 9781400879915 . MR 0085583 . Zbl 0080.15002 .
•   Dominic D. Joyce Compact Manifolds with Special Holonomy (Oxford Mathematical Monographs) ISBN 0-19-850601-5 Daje to uproszczony dowód hipotezy Calabiego.
•      Yau, Shing Tung (1977), „Przypuszczenie Calabiego i kilka nowych wyników w geometrii algebraicznej”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 74 (5): 1798–1799, Bibcode : 1977PNAS ... 74,1798 Y , doi : 10.1073/pnas.74.5.1798 , ISSN 0027-8424 , MR 0451180 , PMC 431004 , PMID 16592394
•   Yau, Shing Tung (1978), „O krzywiźnie Ricciego zwartej rozmaitości Kählera i złożonym równaniu Monge-Ampère'a. I”, Communications on Pure and Applied Mathematics , 31 (3): 339–411, doi : 10,1002 / cpa .3160310304 , MR 0480350

Linki zewnętrzne

• Yau, Shing Tung (2009), „rozmaitość Calabi-Yau”, Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ...4.6524Y , doi : 10.4249/scholarpedia.6524