Metoda ciągłości

W matematyce przestrzeni Banacha metoda ciągłości zapewnia wystarczające warunki do wydedukowania odwracalności jednego ograniczonego operatora liniowego z innego, powiązanego operatora.

Sformułowanie

Niech B będzie przestrzenią Banacha , V znormalizowaną przestrzenią wektorową i ( $w [0,1]}}$ ) _ {t \ ograniczone operatory liniowe od B do V . Załóżmy, że istnieje stała C taka, że dla każdego ${\ Displaystyle t \ w [0,1]}$ i każdy ${\ Displaystyle x \ w B}$

{\ Displaystyle ||x||_ {B} \ równoważnik C||L_ {t} (x)||_ {V}.}

Wtedy $suriekcją$ wtedy i tylko wtedy, gdy $również$ .

Aplikacje

Metoda ciągłości jest używana w połączeniu z oszacowaniami a priori, aby udowodnić istnienie odpowiednio regularnych rozwiązań eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych .

Dowód

Zakładamy, że $jest$ $jest$ pokazujemy, że suriekcją.

Dzieląc przedział [0,1] możemy przyjąć, że ${\ Displaystyle || L_ {0} -L_ {1} | | \ równoważnik 1 / (3C)}$ . Ponadto suriektywność implikuje, że $V$ jest izomorficzne z B a zatem przestrzenią Banacha. Hipoteza zakłada, że ${\ Displaystyle L_ {1} (B) \ subseteq V}$ jest zamkniętą podprzestrzenią.

Załóżmy, że ${\ Displaystyle L_ {1} (B) \ subseteq V}$ jest właściwą podprzestrzenią. Lemat Riesza pokazuje $,$ ${\ Displaystyle || y|| _ {V} \ równoważnik 1}$ istnieje że i ${\ Displaystyle \ operatorname {dist} (y, L_ {1} (B))> 2/3}$ . Teraz ${\ Displaystyle y = L_ {0} (x)}$ dla pewnego ${\ Displaystyle x \ w B}$ i ${\ Displaystyle ||x||_ {B}\ równoważnik C||y||_ {V}}$ przez hipotezę. Dlatego