Szacunki Schaudera

W matematyce oszacowania Schaudera są zbiorem wyników uzyskanych przez Juliusza Schaudera ( 1934 , 1937 ) dotyczących regularności rozwiązań liniowych, jednostajnie eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych . Szacunki mówią, że gdy równanie ma odpowiednio gładkie wyrazy i odpowiednio gładkie rozwiązania, to norma Höldera rozwiązania można kontrolować pod kątem norm Höldera dla wyrazów współczynnikowych i źródłowych. Ponieważ szacunki te zakładają hipotetycznie istnienie rozwiązania, nazywane są szacunkami a priori .

Istnieje zarówno wynik wewnętrzny , dający warunek Höldera dla rozwiązania w domenach wewnętrznych oddalonych od granicy, jak i wynik graniczny , dający warunek Höldera dla rozwiązania w całej dziedzinie. Pierwsza granica zależy tylko od wymiaru przestrzennego, równania i odległości do granicy; ta ostatnia zależy również od gładkości granicy.

Szacunki Schaudera są niezbędnym warunkiem stosowania metody ciągłości do udowodnienia istnienia i regularności rozwiązań problemu Dirichleta dla eliptycznych PDE. Wynik ten mówi, że gdy współczynniki równania i charakter warunków brzegowych są wystarczająco gładkie, istnieje gładkie klasyczne rozwiązanie PDE.

Notacja

Szacunki Schaudera podano w postaci ważonych norm Höldera; zapis będzie zgodny z zapisem podanym w tekście D. Gilbarga i Neila Trudingera ( 1983 ).

Najwyższa norma funkcji ciągłej jest dana przez ${\ Displaystyle f \ in C (\ Omega)}$

${\ Displaystyle | f | _ {0; \ Omega} = \ sup _ {x \ in \ Omega} | f (x) |}$

Dla funkcji, która jest ciągła Höldera z wykładnikiem $alfa} (\ Omega)}$$)$ { \ Displaystyle jest dany przez

${\ Displaystyle [f] _ {0, \ alfa; \ Omega} = \ sup _ {x, y \ in \ Omega} {\ Frac {| f (x) -f (y) |} {| xy | ^ {\alfa}}}.}$

Suma tych dwóch jest pełną normą Höldera f

${\ Displaystyle | f | _ {0, \ alfa; \ Omega} = | f | _ {0; \ Omega} + [f] _ {0, \ alfa; \ Omega} = \ sup _ {x \ w \ Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|xy|^{\alpha }}}.}$

Dla funkcji różniczkowalnych u konieczne jest uwzględnienie norm wyższego rzędu, obejmujących pochodne. Normą w przestrzeni funkcji o k pochodnych ciągłych ${\ Displaystyle C ^ {k} (\ Omega)}$ dana przez do

${\ Displaystyle | u | _ {k; \ Omega} = \ suma _ {| \ beta | \ równoważnik k} \ sup _ {x \ in \ Omega} | D ^ {\ beta} u (x) |}$

gdzie ${\ displaystyle \ beta}$ obejmuje wszystkie multi-wskaźniki odpowiednich zamówień. Dla funkcji z k -tego rzędu, które są ciągłe z wykładnikiem, odpowiednią półnormę podaje ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle [u] _ {k, \ alfa; \ Omega} = \ sup _ {\ stackrel {x, y \ in \ Omega} {|\ beta | = k}} {\ Frac {| D ^ { \beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alfa }}}}$

co daje pełną normę

${\ Displaystyle | u | _ {k, \ alfa; \ omega} = | u | _ {k; \ omega} + [u] _ {k, \ alfa; \ omega} = \ suma _ {| \ beta | \leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k} }{\frac {|D^{\beta}u(x)-D^{\beta}u(y)|}{|xy|^{\alfa}}}.}$

W przypadku szacunków wewnętrznych normy są ważone według odległości do granicy

${\ Displaystyle d_ {x} = d (x, \ częściowe \ Omega)}$

podniesione do tej samej potęgi co pochodna, a półnormy są ważone przez

${\ Displaystyle d_ {x, y} = \ min (d_ {x}, d_ {y})}$

podniesiony do odpowiedniej potęgi. Wynikowa ważona norma wewnętrzna dla funkcji jest dana przez

${\ Displaystyle | u | _ {k, \ alfa; \ omega} ^ {*} = | u | _ {k; \ omega} ^ {*} + [u] _ {k, \ alfa; \ omega} ^ {*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+ \sup _{\stackrel {x,y\in \Omega}{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha}}{\frac {|D^{\beta}u(x )-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alfa }}}}$

Czasami konieczne jest dodanie „dodatkowych” potęg wagi, oznaczonych przez

${\ Displaystyle | u | _ {k, \ alfa; \ omega} ^ {(m)} = | u | _ {k; \ omega} ^ {(m)} + [u] _ {k, \ alfa; \Omega }^{(m)}=\suma _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\ beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac { |D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|xy|^{\alfa }}}.}$

Sformułowanie

Sformułowania w tej sekcji pochodzą z tekstu D. Gilbarga i Neila Trudingera ( 1983 ).

Kosztorysy wnętrz

Rozważ ograniczone rozwiązanie w domenie do eliptycznej różniczki cząstkowej drugiego rzędu ${\ Displaystyle u \ w C ^ {2, \ alfa} (\ Omega$$}$ równanie

${\ Displaystyle \ suma _ {i, j} a_ {i, j} (x) D_ {i} D_ {j} u (x) + \ suma _ {i} b_ {i} (x) D_ {i} u(x)+c(x)u(x)=f(x)}$

gdzie termin źródłowy spełnia ${\ Displaystyle f \ w C ^ {\ alfa} (\ Omega)}$ . Jeśli istnieje taka stała $Displaystyle$ ​​są one ściśle eliptyczne, $a_ {i, j}}$

${\ Displaystyle \ suma a_ {i, j} (x) \ xi _ {i} \ xi _ {j} \ geq \ lambda | \ xi | ^ {2}} dla$ wszystkich ${\ Displaystyle x \ w \ Omega, \ xi \ w \ mathbb {R} ^ {n}}$

a wszystkie odpowiednie współczynniki norm są ograniczone inną stałą ${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle | a_ {i, j} | _ {0, \ alfa; \ Omega}, | b_ {i} | _ {0, \ alfa; \ Omega} ^ {(1)}, | c | _ { 0,\alfa ;\Omega }^{(2)}\równik \Lambda .}$

Wtedy ważona norma u jest kontrolowana przez supremum u i normę Holdera f : do ${\ displaystyle C ^ {2, \ alpha}$

${\ Displaystyle | u | _ {2, \ alfa; \ Omega} ^ {*} \ równoważnik C (n, \ alfa, \ lambda, \ Lambda) (| u | _ {0, \ Omega} + | f | _{0,\alfa ;\Omega}^{(2)}).}$

Szacunki brzegowe

Niech będzie domeną (to znaczy o dowolnym punkcie na granicy domeny, po której można zrealizować powierzchnię graniczną do $2$$alfa}}$ odpowiedni obrót współrzędnych, jako $2 ,$$}$ , z danymi granicznymi Dirichleta, które pokrywają się z funkcją, która do również co najmniej ${\ Displaystyle C ^ {2, \ alfa}}$ . Następnie, z zastrzeżeniem analogicznych warunków na współczynnikach, jak w przypadku oszacowania wewnętrznego, nieważona norma Holdera u jest kontrolowana przez nieważone normy terminu źródłowego, dane brzegowe i najwyższą normę u :

${\ Displaystyle | u | _ {2, \ alfa; \ Omega} \ równoważnik C (n, \ alfa, \ lambda, \ Lambda, \ Omega) (| u | _ {0, \ Omega} + | f | _ {0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\częściowo \Omega}).}$

Gdy rozwiązanie u spełnia zasadę maksimum , pierwszy wyraz po prawej stronie można odrzucić.

Źródła

•   Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu , Nowy Jork: Springer, ISBN 3-540-41160-7
•   Schauder, Juliusz (1934), „Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung”, Mathematische Zeitschrift (w języku niemieckim), Berlin, Niemcy: Springer-Verlag, tom. 38, nie. 1, s. 257–282, doi : 10.1007/BF01170635 , S2CID 120461752 MR 1545448
• Schauder, Juliusz (1937), „Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen” (PDF) , Studia Mathematica (w języku niemieckim), Lwów, Polska: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, tom. 5, s. 34–42

Dalsza lektura

•   Kurant, Ryszard ; Hilbert, David (1989), Metody fizyki matematycznej , tom. 2 (1. wydanie angielskie), Nowy Jork: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4
•    Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe , Nowy Jork: Courant Institute of Mathematical Sciences , ISBN 0-9658703-0-8 , OCLC 38168365 MR 1669352