trik Aleksandra

Sztuczka Aleksandra , znana również jako sztuczka Aleksandra , to podstawowy wynik w topologii geometrycznej , nazwany na cześć JW Alexandra .

Oświadczenie

Dwa homeomorfizmy n - wymiarowej kuli $,$$które$ do sfery granicznej , _ _ _

Bardziej ogólnie, dwa homeomorfizmy Dn , które są izotopowe na granicy, są izotopowe ^.

Dowód

Przypadek podstawowy : każdy homeomorfizm, który ustala granicę, jest izotopowy względem tożsamości względem granicy.

fa ${\ Displaystyle f \ dwukropek D ^ {n} \ do D ^ {n}}$ spełnia ${\ Displaystyle f (x)$ , to izotop łączący f z tożsamością jest określony wzorem

${\ Displaystyle J (x, t) = {\ rozpocząć {przypadki }tf(x/t),&{\text{jeśli }}0\równoważnik \|x\|<t,\\x,&{\text{jeśli }}t\równoważnik \|x\|\równoważnik 1 .\end{przypadki}}}$

Wizualnie homeomorfizm jest „wyprostowany” od granicy, „ściskany” $w$ do początku. William Thurston nazywa to „łączeniem wszystkich splotów w jeden punkt”. W oryginalnym 2-stronicowym artykule JW Alexander wyjaśnia, że $​​dla$$każdej$$replikuje$ w innej dysku t ${\ displaystyle t}$$połączy$ jak można się spodziewać, że $\ rightarrow 0}$ się z tożsamością.

Subtelność polega na tym, że „znika”: zarodek $na$$do$ „ $przeskakuje$ z rozciągniętej wersji . Każdy z etapów homotopii można wygładzić (wygładzić przejście), ale homotopia (ogólna mapa) ma osobliwość w punkcie ${\ Displaystyle (x, t) = (0,0 )}$ . To podkreśla, że ​​sztuczka Alexandra jest PL , ale nie gładką.

Przypadek ogólny : izotop na granicy implikuje izotop

Jeśli ${\ Displaystyle f, g \ dwukropek D ^ {n} \ do D ^ {n}}$ to dwa homeomorfizmy, które są zgodne co do ${\ Displaystyle S ^ {n-1 }}$ , wtedy ${\ Displaystyle g ^ {-1} f}$ jest tożsamością na ${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$ , więc mamy izotopię ${\ displaystyle J}$ od tożsamości do ${\ displaystyle g ^ {- 1} f}$ . Mapa $jest$ zatem izotopem od $}$$displaystyle$ do .

Rozszerzenie promieniowe

Niektórzy autorzy używają terminu sztuczka Aleksandra do stwierdzenia, że ​​każdy $}}$ można rozszerzyć $re$ homeomorfizm całej piłki. .

Jest to jednak znacznie łatwiejsze do udowodnienia niż wynik omówiony powyżej: nazywa się to rozszerzeniem promieniowym (lub stożkiem) i jest również prawdziwe fragmentarycznie-liniowo , ale nie płynnie.

Konkretnie, niech będzie homeomorfizmem ${\ Displaystyle f \ okrężnica S ^ {n-1} \ do S ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle F \ dwukropek D ^ {n} \ do D ^ { n}{\text{ gdzie }}F(rx)=rf(x){\text{ dla wszystkich }}r\in [0,1){\text{ i }}x\in S^{n-1 }}$ definiuje homeomorfizm kuli.

Egzotyczne sfery

Niepowodzenie gładkiego rozszerzenia promieniowego i sukces rozszerzenia promieniowego PL dają egzotyczne kule poprzez skręcone kule .

Zobacz też

• Konstrukcja sprzęgająca

•    Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). Warkocze i pokrycia: wybrane tematy . Teksty studenckie London Mathematical Society. Tom. 18. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511613098 . ISBN 0-521-38757-4 . MR 1247697 .
•    Aleksander, JW (1923). „O deformacji komórki n ” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 9 (12): 406–407. Bibcode : 1923PNAS....9..406A . doi : 10.1073/pnas.9.12.406 . PMC 1085470 . PMID 16586918 .