Spawanie konformalne

W matematyce spawanie konforemne ( szycie lub klejenie ) jest procesem w teorii funkcji geometrycznych służącym do wytwarzania powierzchni Riemanna poprzez połączenie dwóch powierzchni Riemanna, z których każda ma usunięty dysk, wzdłuż ich okręgów granicznych. Problem ten można sprowadzić do problemu znalezienia jednowartościowych map holomorficznych f , g dysku jednostkowego i jego dopełnienia na rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej, z których obie dopuszczają ciągłe rozszerzenia domknięcia ich domen, tak że obrazy są komplementarnymi domenami Jordana i takimi, że na okręgu jednostkowym różnią się one o zadany quasi-symetryczny homeomorfizm . Znanych jest kilka dowodów przy użyciu różnych technik, w tym równania Beltramiego , transformaty Hilberta na okręgu i elementarnych technik aproksymacji. Sharon i Mumford (2006) opisują dwie pierwsze metody spawania konforemnego, a także dostarczają obliczeń numerycznych i zastosowań do analizy kształtów w płaszczyźnie.

Spawanie z wykorzystaniem równania Beltramiego

Metoda ta została po raz pierwszy zaproponowana przez Pflugera (1960) .

Jeśli f jest dyfeomorfizmem koła, rozszerzenie Alexandra daje sposób na rozszerzenie f na dyfeomorfizm dysku jednostkowego D :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {F (r, \ teta) = r \ exp [i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

gdzie ψ jest gładką funkcją o wartościach w [0,1], równych 0 blisko 0 i 1 blisko 1, oraz

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f (e ^ {i \ teta}) = e ^ {ig (\ teta)},}}$

gdzie g (θ + 2π) = g (θ) + 2π.

Rozszerzenie F można kontynuować na dowolnym większym dysku | z | < R z R > 1. Odpowiednio w jednostce dysku

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\|\ mu \| _ {\ infty <1, \, \, \, \ mu (z) = F _ {\ overline {z}} / F_ ​​{z}.}}$

Teraz rozszerz μ do współczynnika Beltramiego na całe C , ustawiając go na 0 dla | z | ≥ 1. Niech G będzie odpowiednim rozwiązaniem równania Beltramiego:

${\ Displaystyle \ Displaystyle {G _ {\ overline {z}} = \ mu G_ {z}.}}$

Niech fa ₁ ( z ) = sol ∘ fa ^-1 ( z ) dla | z | ≤ 1 i fa ₂ ( z ) = sol ( z ) dla | z | ≥ 1. Zatem F ₁ i F ₂ są jednowartościowymi holomorficznymi mapami | z | < 1 i | z | > 1 po wewnętrznej i zewnętrznej stronie krzywej Jordana. Rozciągają się one w sposób ciągły do ​​homeomorfizmów _fi okręgu jednostkowego na krzywą Jordana na granicy. Konstrukcyjnie spełniają konforemny warunek spawania :

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f = f_ {1} ^ {-1} \ circ f_ {2}.}}$

Spawanie z wykorzystaniem transformaty Hilberta na okręgu

Wykorzystanie transformaty Hilberta do ustanowienia spawania konforemnego zostało po raz pierwszy zaproponowane przez gruzińskich matematyków DG Mandzhavidze i BV Khvedelidze w 1958 r. Szczegółowy opis został podany w tym samym czasie przez FD Gakhova i przedstawiony w jego klasycznej monografii ( Gakhov (1990) ) .

Niech e _n (θ) = e ^{w θ} będzie standardową bazą ortonormalną L ² ( T ). Niech H ² ( T ) będzie przestrzenią Hardy'ego , zamkniętą podprzestrzenią rozpiętą przez en z n _≥ n ≥ 0. Let P be the orthogonal projection onto Hardy space and set T = 2P - I. The operator H = iT is the Hilbert transform on the circle and can be written as a singular integral operator.

Biorąc pod uwagę dyfeomorfizm f koła jednostkowego, zadaniem jest wyznaczenie dwóch jednowartościowych funkcji holomorficznych

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {- }(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots ,\,\,\,\,\,f_{+}(z)=z+b_ {1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots ,}}$

zdefiniowane w |z| < 1 i |z| > 1 i oba rozciągają się płynnie do okręgu jednostkowego, odwzorowując domenę Jordanii i jej dopełnienie, tak że

${\ Displaystyle \ Displaystyle {f_ {-} (e ^ {i \ teta}) = f_ {+} (f (e ^ {i \ teta})).}}$

Niech F będzie ograniczeniem f ₊ do okręgu jednostkowego. Następnie

${\ Displaystyle \ Displaystyle {TF = -F + 2e ^ {i \ teta}}}$

I

${\ Displaystyle \ Displaystyle {TF \ circ f = F \ circ f.}}$

Stąd

${\ Displaystyle \ Displaystyle {T (F \ circ f) \ circ f ^ {-1} -T (F) = 2F-2e ^ {i \ theta}.}}$

Jeśli V ( f ) oznacza ograniczony operator odwracalny na L ² indukowany dyfeomorfizmem f , to operator

${\ Displaystyle \ Displaystyle {K_ {f} = V (f) PV (f) ^ {- 1} -P}}$

jest zwarty, w rzeczywistości jest dany przez operatora z gładkim jądrem, ponieważ P i T są podane przez pojedyncze operatory całkowe. Powyższe równanie sprowadza się następnie do

${\ Displaystyle \ Displaystyle {(IK_ {f}) F = e ^ {i \ teta}.}}$

Operator I − K _f jest operatorem Fredholma o indeksie zero. Ma zerowe jądro i dlatego jest odwracalny. W rzeczywistości element w jądrze składałby się z pary funkcji holomorficznych na D i D ^c , które mają gładkie wartości brzegowe na okręgu powiązanym przez f . Ponieważ funkcja holomorficzna na D ^c znika w ∞, dodatnie potęgi tej pary również dostarczają rozwiązań, które są liniowo niezależne, co jest sprzeczne z faktem, że I − K _f jest operatorem Fredholma. Powyższe równanie ma zatem unikalne rozwiązanie F , które jest gładkie iz którego f _± można zrekonstruować, odwracając powyższe kroki. Rzeczywiście, patrząc na równanie spełnione przez logarytm pochodnej F , wynika, że ​​F nie ma nigdzie znikającej pochodnej na okręgu jednostkowym. Co więcej F jest jeden do jednego na okręgu, ponieważ jeśli przyjmuje wartość a w różnych punktach z ₁ i z ₂ , to logarytm z R ( z ) = ( F ( z ) − a )/( z - z ₁ ) ( z − z ₂ ) spełniałoby równanie całkowe, o którym wiadomo, że nie ma niezerowych rozwiązań. Biorąc pod uwagę te właściwości na okręgu jednostkowym, wymagane właściwości f _± wynikają zatem z zasady argumentu .

Notatki

• Pfluger, A. (1960), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. soc. , 24 : 401–412
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Odwzorowania kwazikonformalne w płaszczyźnie , Springer-Verlag, s. 92
•   Lehto, O. (1987), Uniwalentne funkcje i przestrzenie Teichmüllera , Springer-Verlag, s. 100–101, ISBN 0-387-96310-3
• Sharon, E.; Mumford, D. (2006), „Analiza 2-D przy użyciu mapowania konformalnego” (PDF) , International Journal of Computer Vision , 70 : 55–75, doi : 10.1007/s11263-006-6121-z , zarchiwizowane z oryginału ( PDF) w dniu 2012-08-03 , pobrane 2012-07-01
•   Gakhov, FD (1990), Problemy z wartościami brzegowymi. Przedruk tłumaczenia z 1966 r ., Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
•   Titchmarsh, EC (1939), Teoria funkcji (wyd. 2), Oxford University Press, ISBN 0198533497