Zasada argumentacji

Prosty kontur C (czarny), zera f (niebieski) i bieguny f (czerwony). Tutaj mamy

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {f' (z) \ponad f(z)}\,dz=4-5.\,}

W analizie złożonej zasada argumentu (lub zasada argumentu Cauchy'ego ) wiąże różnicę między liczbą zer i biegunów funkcji meromorficznej z całką konturową pochodnej logarytmicznej funkcji .

W szczególności, jeśli f ( z ) jest funkcją meromorficzną wewnątrz i na pewnym zamkniętym konturze C , a f nie ma zer ani biegunów na C , to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} {f '(z)

gdzie Z i P oznaczają odpowiednio liczbę zer i biegunów f ( z ) wewnątrz konturu C , przy czym każde zero i biegun są liczone tyle razy, ile wskazuje odpowiednio ich krotność i kolejność . To stwierdzenie twierdzenia zakłada, że kontur C jest prosty, to znaczy bez samoprzecięć i że jest zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Bardziej ogólnie, załóżmy, że f ( z ) jest funkcją meromorficzną na zbiorze otwartym Ω na płaszczyźnie zespolonej i że C jest zamkniętą krzywą w Ω, która unika wszystkich zer i biegunów f i jest skracalna do punktu wewnątrz Ω. Dla każdego punktu z ∈ Ω niech n ( C , z ) będzie liczbą zwojów C wokół z . Następnie

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi ja} }\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C ,B)\,}

gdzie pierwsze sumowanie dotyczy wszystkich zer a f liczonych z ich krotnościami, a drugie sumowanie jest po biegunach b f liczonych z ich rzędami.

Interpretacja całki konturowej

$_$ po konturze _ 2π i razy liczba zwojów ścieżki f ( C ) wokół początku układu współrzędnych, stosując podstawienie w = f ( z ):

} {\ Frac {f '(z)} {f (z)}} \ ,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}

Oznacza to, że jest to i razy całkowita zmiana argumentu f ( z ) , gdy z podróżuje wokół C , co wyjaśnia nazwę twierdzenia; wynika to z

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dz}} \ log (f (z)) = {\ Frac {f '( z)}{f(z)}}}

oraz związek między argumentami a logarytmami.

Dowód zasady argumentacji

Niech z _Z będzie zerem f . Możemy zapisać f ( z ) = ( z − z _Z ) ^k g ( z ) gdzie k jest krotnością zera, a zatem g ( z _Z ) ≠ 0. Otrzymujemy

{\ Displaystyle f' (z) = k (z-z_ {Z} )^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}

I

{\ Displaystyle {f '(z) \ ponad f (z)} = {k \ ponad z-z_ {Z}} + {g' (z) \ ponad g (z)}.}

Ponieważ g ( z _Z ) ≠ 0, wynika z tego, że g' ( z )/ g ( z ) nie ma osobliwości w z _Z , a zatem jest analityczna w z _Z , co implikuje, że reszta f ′ ( z )/ f ( z ) w z _Z wynosi k .

Niech z _P będzie biegunem f . Możemy zapisać f ( z ) = ( z − z _P ) ^{− m} h ( z ) gdzie m jest rzędem biegunów, a h ( z _P ) ≠ 0. Wtedy

{\ Displaystyle f' (z) = - m (z-z_ {P}) ^ {-m-1} h (z) + (z-z_ {P}) ^ {- m} h' (z) \ ,\!.}

I

{\ Displaystyle {f '(z) \ ponad f (z)} = {- m \ ponad z- z_{P}}+{h'(z) \ponad h(z)}}

podobnie jak wyżej. Wynika z tego, że h ′( z )/ h ( z ) nie ma osobliwości w z _P , ponieważ h ( z _P ) ≠ 0, a zatem jest analityczne w z _P . Stwierdzamy, że reszta z f ′( z )/ f ( z ) w z _P wynosi − m .

Łącząc to razem, każde zero z _Z krotności k od f tworzy prosty biegun dla f ′( z )/ f ( z ) z resztą k , a każdy biegun z _P rzędu m od f tworzy prosty biegun dla f ′ ( z )/ fa ( z ) z resztą będącą − m . (Tutaj przez biegun prosty rozumiemy biegun rzędu jeden.) Ponadto można wykazać, że f ′( z )/ f ( z ) nie ma innych biegunów, a zatem nie ma innych reszt.

Z twierdzenia o resztach mamy, że całka po C jest iloczynem 2 πi i sumy reszt. Razem suma k 's dla każdego zera z _Z jest liczbą zer licząc krotności zer, podobnie dla biegunów i tak mamy nasz wynik.

Zastosowania i konsekwencje

Zasadę argumentu można wykorzystać do wydajnego lokalizowania zer lub biegunów funkcji meromorficznych na komputerze. $\ Displaystyle {1 \ ponad 2 \ pi i} \ oint _ {C} {f' (z) \$ ja da wyniki zbliżone do liczby całkowitej; wyznaczając te liczby całkowite dla różnych konturów C można uzyskać informacje o położeniu zer i biegunów. Testy numeryczne hipotezy Riemanna funkcji Riemanna wewnątrz $prostokąta przecinającego$ górną granicę liczby zer krytyczną.

Dowód twierdzenia Rouchégo wykorzystuje zasadę argumentu.

Współczesne książki na temat teorii sterowania ze sprzężeniem zwrotnym dość często wykorzystują zasadę argumentu jako teoretyczną podstawę kryterium stabilności Nyquista .

Konsekwencją bardziej ogólnego sformułowania zasady argumentu jest to, że przy tej samej hipotezie, jeśli g jest funkcją analityczną w Ω, to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi i}} \ oint _ {C} g (z) {\ Frac {f '(z)} {f (z)}} \, dz = \ suma _ {a}n(C,a)g(a)-\suma _{b}n(C,b)g(b).}

Na przykład, jeśli f jest wielomianem mającym zera z ₁ , ..., z _p wewnątrz prostego konturu C , a g ( z ) = z ^k , to

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {2 \ pi ja}} \oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+ \cdots +z_{p}^{k},}

jest potęgowym symetrycznym wielomianem pierwiastków f .

Inną konsekwencją jest obliczenie całki zespolonej:

\ Displaystyle \ oint _ {C} f (z) {g' (z) \ ponad g (z)} \, dz}

dla odpowiedniego wyboru g i f mamy wzór Abla-Plany :

{\ Displaystyle \sum _{n=0}^{\infty}f(n)-\int _{0}^{\infty}f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0 } ^ {\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt\,}

który wyraża związek między sumą dyskretną a jej całką.

Uogólniona zasada argumentacji

Istnieje natychmiastowe uogólnienie zasady argumentacji. Załóżmy, że g jest analityczne w regionie ${\ displaystyle \ Omega}$ . Następnie

\ Displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\suma _{a}g(a) n(C,a)-\suma _{b}g(b)n(C,b)\,}

gdzie pierwsze sumowanie ponownie dotyczy wszystkich zer a f liczonych z ich krotnościami, a drugie sumowanie jest ponownie sumowane po biegunach b f liczonych z ich rzędami.

Historia

Według książki Franka Smithiesa ( Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997, s. 177), Augustin-Louis Cauchy przedstawił twierdzenie podobne do powyższego 27 listopada 1831 r., podczas dobrowolnego wygnania w Turynie (wówczas stolicy Królestwa Piemontu-Sardynii) z dala od Francji. Jednak według tej książki wymieniono tylko zera, a nie bieguny. To twierdzenie Cauchy'ego zostało opublikowane dopiero wiele lat później, w 1874 r., w formie rękopisu, więc jest dość trudne do odczytania. Cauchy opublikował artykuł z omówieniem zarówno zer, jak i biegunów w 1855 roku, dwa lata przed śmiercią.

Zobacz też

Rudin, Walter (1986). Analiza rzeczywista i złożona (serie międzynarodowe z matematyki czystej i stosowanej) . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1 .
Ahlfors, Lars (1979). Analiza zespolona: wprowadzenie do teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7 .
Churchill, Ruel Vance; Brązowy, James Ward (1989). Zmienne złożone i zastosowania . McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-010905-6 .
Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, CR Acad. nauka Paryż 158, 1979–1982.

Linki zewnętrzne

„Argument, zasada” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]