Geometryczna akcja grupowa

W matematyce , szczególnie w geometrycznej teorii grup , geometryczne działanie grupowe jest pewnym rodzajem działania dyskretnej grupy w przestrzeni metrycznej .

Definicja

W geometrycznej teorii grup geometria to dowolna właściwa geodezyjna przestrzeń metryczna . Działanie skończenie wygenerowanej grupy G na geometrię X jest geometryczne , jeśli spełnia następujące warunki:

1. Każdy element G działa jak izometria X .
2. Działanie jest współzwarte , tzn. przestrzeń ilorazowa X / G jest przestrzenią zwartą .
3. Działanie jest właściwie nieciągłe , a każdy punkt ma skończony stabilizator .

Wyjątkowość

Jeśli grupa G działa geometrycznie na dwie geometrie X i Y , to X i Y są quasi-izometryczne . Ponieważ każda grupa działa geometrycznie na swoim własnym wykresie Cayleya , każda przestrzeń, na której G działa geometrycznie, jest quasi-izometryczna względem wykresu Cayleya G.

Przykłady

Hipoteza Cannona głosi, że każda grupa hiperboliczna z 2-sferą w nieskończoności działa geometrycznie na hiperboliczną 3-przestrzeń.

•   Działo, James W. (2002). „Teoria grup geometrycznych”. Podręcznik topologii geometrycznej . Holandia Północna. s. 261–305. ISBN 0-444-82432-4 .