Funkcja Busemanna

W topologii geometrycznej funkcje Busemanna są wykorzystywane do badania wielkoskalowej geometrii geodezji w przestrzeniach Hadamarda , aw szczególności rozmaitościach Hadamarda ( po prostu połączone kompletne rozmaitości Riemanna o niedodatniej krzywiźnie). Zostały nazwane na cześć Herberta Busemanna , który je przedstawił; obszernie omówił ten temat w swojej książce „The geometry of geodesics” z 1955 roku.

Definicja i własności elementarne

Niech ${\ Displaystyle (X, d)}$ będzie przestrzenią metryczną . Promień geodezyjny to $.$ na tj. dla wszystkich ${\ Displaystyle t, t '\ w [0, \ infty)}$ ,

{\ Displaystyle d {\ duży (} \ gamma (t), \ gamma (t ') {\ duży}} = {\ duży |} tt '{\ duży |}.}

)

izometrią od „promienia kanonicznego” (zbiór do przestrzeni X .

Biorąc pod uwagę promień γ , funkcja Busemanna ${\ Displaystyle B _ {\ gamma}: X \ do \ mathbb {R}}$ jest zdefiniowana przez

{\ Displaystyle B _ {\ gamma} (x) = \ lim _ {t \ do \ infty} {\ duży (} d {\ duży (} \ gamma (t), x {\ duży )} - t {\ duży )}}

Tak więc, gdy t jest bardzo duże, odległość jest w przybliżeniu równa ${\ Displaystyle B _ {\ gamma} (x) + t}$ $\ duży (} \ gamma (t), x {\ duży)}}$ . Biorąc pod uwagę promień γ , jego funkcja Busemanna jest zawsze dobrze zdefiniowana: rzeczywiście prawa strona F _t ( x ) powyżej dąży punktowo do lewej strony na kompakcie, ponieważ ${\ Displaystyle td (\ gamma (t), x) = d (\ gamma (t), \ gamma (0)) -d ( \ gamma (t), x)}$ jest ograniczona powyżej przez ${\ Displaystyle d (\ gamma (0), x)}$ i nie rośnie, ponieważ jeśli ${\ Displaystyle s \ lek t}$ ,

{\ Displaystyle t-s + d(x,\gamma (s))-d(x,\gamma (t))\geq tsd(\gamma (s),\gamma (t))=0.}

Bezpośrednio z nierówności trójkąta wynika, że

{\ Displaystyle | B _ {\ gamma} (x) -B _ {\ gamma} (y) |\ równoważnik d (x, y)}

tak, że $ciągły$ . Dokładniej, powyższe szacunki pokazują to

Funkcje Busemanna to funkcje Lipschitza ze stałą 1 .

Zgodnie z twierdzeniem Diniego funkcje mają tendencję do ${\ Displaystyle B _ {\ gamma} (x)}$ ${\ Displaystyle F_ {t} (x) = d (x, \ gamma (t)) -t}$ równomiernie na zbiorach zwartych, gdy t dąży do nieskończoności.

Przykład: dysk Poincarégo

Niech będzie dyskiem $jednostkowym$ na płaszczyźnie zespolonej z Poincarégo

{\ displaystyle ds ^ {2} = {4 \, | dz | ^ {2} \ ponad (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}.}

Następnie dla ${\ displaystyle | z| <1}$ i ${\ Displaystyle | \ zeta | = 1}$ , funkcja Busemanna jest dana przez

{\ Displaystyle B _ {\ zeta} (z) = - \ log \ lewo ({1- | z| ^ { 2} \over |z-\zeta |^{2}}\right),}

$0$ have the form $\zeta g_{t}(0)$ where $g_{t}$ is the 1-parameter subgroup of gdzie termin w nawiasach po prawej stronie to jądro Poissona dla dysku jednostkowego i odpowiada radialnej geodezyjnej $początku$ w kierunku $displaystyle$ $\ zeta}$ \ ${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ zeta \ tanh (t/2)}$ . re ${\ Displaystyle d (x, y)}$ ${\ Displaystyle d (z, 0) = d (| z |, 0) = 2 \ nazwa operatora {artanh} (| z |) = \ log \ lewo ({\ tfrac {1 + | z | {1- | z|}} \ prawej)}$ zredukować do , ponieważ metryka jest niezmienna przy przekształceniach Möbiusa w ${\ Displaystyle SU (1,1)}$ ; geodezja do $SU(1,1)$ ,

{\ Displaystyle g_ {t} = {\ rozpocząć {pmatrix} \ cosh ( t/2)&\sinh(t/2)\\\sinh(t/2)&\cosh(t/2)\end{pmacierz}}}

Powyższy wzór również całkowicie określa funkcję Busemanna przez niezmienniczość Möbiusa.

Funkcje Busemanna w przestrzeni Hadamarda

W przestrzeni Hadamarda , gdzie $x, y]}$ funkcja jest wypukła , tj. $]$ na segmentach geodezyjnych ${\ displaystyle$ . Wyraźnie $stosunku$ to, że $(- s jest$ $($ który ${\ Displaystyle F (z (s)) \ równoważnik sF (x) + (1-s) F (y)}$ : to . Dla ustalonej $a$ $\$ , a więc i jej displaystyle $szczególności$ , jeśli promieniem $geodezyjnym$ $jest$ to wypukły Ponieważ funkcja Busemanna $fa$ punktową granicą , $t}}$ {

Funkcje Busemanna są wypukłe w przestrzeniach Hadamarda .
W przestrzeni Hadamarda funkcje zbiegają się równomiernie ${\ Displaystyle F_ {t} (y) = d (y, \ gamma (t)) -t}$ do jednorodnie na dowolnym ograniczonym podzbiorze $X$ $X}$ .

Niech $godz (t) = re (y, γ (t)) - t = fa t (y)$ . Ponieważ $jest sparametryzowana, pierwsze twierdzenie Aleksandrowa dotyczące przestrzeni Hadamarda implikuje, że funkcja g ( t y, γ ()) 2 - t 2 jest$ $długością łuku$ ) wypukła . Stąd dla $0< s < t$

{\ Displaystyle g (s) \ równoważnik (1- {s \ nad t}) g (0) + {s \ ponad t} g (t).}

Zatem

{\ Displaystyle 2sh (s) \ równoważnik (h (s) + s) ^ { 2}-s^{2}=g(s)\leq (1-{s \over t})d(x,y)^{2}+{s \over t}(2th(t)+h( t)^{2})\równ d(x,y)^{2}+2sh(t)+{s \over t}d(x,y)^{2},}

aby

{\ Displaystyle | F_ {s} (y) -F_ {t} (y) | = | h (s) -h (t) | \ równoważnik {1 \ ponad 2} (s ^ {-1} + t ^ {-1})d(x,y)^{2}.}

Przyjmując, że t ma tendencję do ∞, wynika z tego

{\ Displaystyle | F_ {s} (y) -B _ {\ gamma} (y) | \ równoważnik {d (x, y) ^ {2} \ ponad 2 s} }

więc zbieżność jest jednolita na zbiorach ograniczonych.

Zauważ, że powyższa nierówność dla ${\ Displaystyle | F_ {s} (y) -F_ {t} (y) |}$ (wraz z dowodem) dotyczy również segmentów geodezyjnych: jeśli $γ (t)$ jest segmentem geodezyjnym zaczynającym się od $x$ i sparametryzowanym przez długość łuku, to

{\ Displaystyle | d (y, \ Gamma (s)) -sd (y, \ Gamma (t)) + t | \ równoważnik (s ^ {-1} + t ^ {-1}) d (x, y )^{2}.}

Następnie załóżmy, że $x, y$ są punktami w przestrzeni Hadamarda i niech $δ(s)$ będzie geodezyjną przechodzącą przez $x$ z $δ(0) = y$ i $δ(t) = x$ , gdzie $t = d (x, y)$ . Ta geodezja przecina granicę kuli zamkniętej $B (y, r)$ w punkcie $δ(r)$ . Zatem jeśli $d (x, y) > r$ , istnieje punkt $v$ z $re (y, v) = r$ taki, że $re (x, v) = re (x, y) - r$ .

Ten warunek utrzymuje się dla funkcji Busemanna. Stwierdzenie i dowód własności funkcji Busemanna opiera się na podstawowym twierdzeniu o zamkniętych wypukłych podzbiorach przestrzeni Hadamarda, które uogólnia rzut ortogonalny w przestrzeni Hilberta : jeśli $C$ jest zbiorem zamkniętym wypukłym w przestrzeni Hadamarda $X$ , to każdy punkt $x$ w $X$ ma unikalny najbliższy punkt $P (x) \equiv P C (x)$ w $C$ i $d (P (x), P (y)) \leq d (x, y)$ ; ponadto $a = P (x)$ jest jednoznacznie określone przez właściwość, że dla $y$ w $C$ ,

{\ Displaystyle d (x, y) ^ {2} \ geq d (x, a) ^ {2} + d(a,y)^{2},}

tak, że kąt przy $a$ w euklidesowym trójkącie porównawczym dla $a, x, y$ jest większy lub równy $π /2$ .

Jeśli $h$ jest funkcją Busemanna w przestrzeni Hadamarda, to mając $y$ w $X$ i $r > 0$ , istnieje unikalny punkt $v$ z $d(y,v) = r$ taki, że $h(v) = h(y) - r$ . Dla ustalonego $r > 0$ , punkt $v$ jest najbliższym punktem $y$ do zamkniętego wypukłego zbioru $C$ punktów $u$ takich, że $h(u) \leq h(y) - r$ , a zatem zależy w sposób ciągły od $y$ .

Niech $v$ będzie punktem najbliższym $y$ w $C$ . Wtedy $h (v) = h (y) - r$ , więc $h$ jest minimalizowane przez $v$ w $B (y, R)$ , gdzie $R = d (y, v) i v$ jest unikalnym punktem, w którym $h$ jest minimalizowane. Warunek Lipschitza $r = | godz (y) - godz (v)| \leq R.$ _ Aby udowodnić twierdzenie, wystarczy pokazać, że $R = r$ , czyli $d (y, v) = r$ . Z drugiej strony $h$ jest jednostajną granicą dowolnej zamkniętej kuli funkcji $h n$ . Na $B (y, r)$ , są one minimalizowane przez punkty $v n$ z $h n (v n) = h n (y) - r$ . Stąd infimum $h$ na $B (y, r)$ to $h (y) - r$ i $h (v n)$ dąży do $h (y) - r$ . Zatem $h (v n) = h (y) - r n$ z $r n \leq r$ i $r n$ zmierzające w kierunku $r$ . Niech $u n$ będzie najbliższym punktem $y$ gdzie $h (u n) \leq h (y) - r n$ . Niech $R n = re (y, u n) \leq r$ . Wtedy $h (u n) = h (y) - r n$ , i przez warunek Lipschitza na $h$ , $R n \geq r n$ . W szczególności $Rn dąży$ do $r$ . Przechodząc $Rn w$ razie potrzeby do podciągu, można założyć, że $oba rn$ i rosną (do $r$ ). Nierówność dla optymalizacji wypukłej implikuje, że dla $n > m$ .

\ Displaystyle d (u_ {n}, u_ {m}) ^ {2} \ równoważnik R_ {n} ^ {2} -R_ {m} ^ {2} \ równoważnik 2r | R_ {n} -R_ { m}|,}

tak, że $u n$ jest ciągiem Cauchy'ego. Jeśli $u$ jest jego granicą, to $re (y, u) = r$ i $h (u) = h (y) - r$ . Z jednoznaczności wynika, że $u = v$ , a zatem $d (y, v) = r$ , zgodnie z wymaganiami.

Jednolite granice. Powyższy argument dowodzi bardziej ogólnie, że jeśli $0 d (x n, x)$ dąży do nieskończoności i funkcje $0 h n (x) = d (x, x n) - d (x n, x)$ dążą jednostajnie na zbiorach ograniczonych do $h (x)$ , to $h$ jest wypukłe, Lipschitz ze stałą Lipschitza 1 i mając $y$ w $X$ i $r > 0$ , istnieje unikalny punkt $v$ z $d (y, v) = r$ taki, że $h (v) = h (y) - r$ . Z drugiej strony, jeśli ciąg $(x n)$ jest ograniczony, to wszystkie wyrazy leżą w jakiejś zamkniętej kuli i jednostajna zbieżność implikuje, że $(x n)$ jest ciągiem Cauchy'ego, więc zbiega się do pewnego $x \infty$ w $X$ . Więc $h n$ dąży jednostajnie do $0 h \infty (x) = d (x, x \infty) - d (x \infty, x)$ , funkcji tej samej postaci. Ten sam argument pokazuje również, że klasa funkcji, które spełniają te same trzy warunki (być wypukłą, Lipschitza i mieć minima na kulach domkniętych) jest domknięta przy przyjęciu jednostajnych granic na zbiorach ograniczonych.

Komentarz. Zauważ, że ponieważ każdy zamknięty wypukły podzbiór podzbioru Hadamarda przestrzeni Hadamarda jest również przestrzenią Hadamarda, każda zamknięta kula w przestrzeni Hadamarda jest przestrzenią Hadamarda. W szczególności nie musi być tak, że każdy segment geodezyjny jest zawarty w geodezyjnej określonej na całym $R$ lub nawet półnieskończonym przedziale $[0,\infty)$ . Zamknięta kula jednostkowa przestrzeni Hilberta daje wyraźny przykład, który nie jest właściwą przestrzenią metryczną.

Jeśli $h$ jest funkcją wypukłą, Lipschitz ze stałą 1 i $h$ przyjmuje swoje minimum na dowolnej zamkniętej kuli o środku na $y$ o promieniu $r$ w unikalnym punkcie $v$ na granicy z $h(v) = h(y) - r$ , to dla każdego $y$ w $X$ istnieje unikalny promień geodezyjny $δ$ taki, że $δ(0) = y$ i $δ$ przecina każdy domknięty zbiór wypukły $h \leq h(y) - r$ z $r > 0$ w $δ(r)$ , tak że $h(δ(t )) = h(y) - t$ . W szczególności dotyczy to każdej funkcji Busemanna.

Trzeci warunek implikuje, że $h v$ $jest$ najbliższym punktem $y$ $punktów$ zamkniętym wypukłym zbiorze takim , że $(u) \leq h (y) - r$ . Niech $δ(t)$ dla $0 \leq t \leq r$ będzie geodezyjnym łączeniem $y$ z $v$ . Wtedy $k (t) = h (δ(t)) - h (y)$ jest wypukłą funkcją Lipschitza na $[0, r]$ ze stałą Lipschitza 1 spełniającą $k (t) \leq - t$ i $k (0) = 0$ oraz $k (r) = - r$ . Więc $k$ znika wszędzie, bo jeśli $0 < s < r, k (s) \leq - s$ i $| k (s)| \leq s$ . Stąd $h (δ(t)) = h (y) - t$ . Z jednoznaczności wynika, że $δ(t)$ jest punktem najbliższym $y$ w $Ct i że jest to$ jedyny punkt minimalizujący $h$ w $B (y, t)$ . Wyjątkowość implikuje, że te segmenty geodezyjne pokrywają się dla dowolnego $r$ , a zatem $δ$ rozciąga się na promień geodezyjny o określonej właściwości.

Jeśli $h = h γ$ , to promień geodezyjny $δ$ zaczynający się w $y$ spełnia ${\ Displaystyle \ sup d (\ gamma (t), \ delta (t)) < \infty}$ . Jeśli $δ 1$ to kolejny promień zaczynający się w $y$ z ${\ Displaystyle \ sup d (\ delta (t), \ delta _ {1} (t)) < \infty }$ wtedy $δ 1 = δ$ .

Aby udowodnić pierwsze twierdzenie, wystarczy to sprawdzić dla odpowiednio dużego $t$ . W takim przypadku $γ(t)$ i $δ (t - h (y))$ są rzutami $x$ i $y$ na domknięty zbiór wypukły $h \leq - t$ . Dlatego $re (γ(t),δ (t - godz (y))) \leq re (x, y)$ . Stąd $re (γ(t),δ(t)) \leq re (γ(t),δ(t - h (y))) + re (δ (t - h (y)), δ (t)) \leq re (x, y) + | h (y)|$ . Drugie twierdzenie wynika z tego, że $d (δ 1 (t), δ (t))$ jest wypukłe i ograniczone do $[0, \infty)$ , więc jeśli znika w $t = 0$ , musi znikać wszędzie.

Załóżmy, że $h$ jest ciągłą funkcją wypukłą i dla każdego $y$ w $X$ istnieje unikalny promień geodezyjny $δ$ taki, że $δ(0) = y$ i $δ$ przecina każdy domknięty zbiór wypukły $h \leq h(y) - r z r > 0$ w $δ (r)$ , tak że $h(δ(t)) = h(y) - t$ ; wtedy $h$ jest funkcją Busemanna. $h - h δ$ jest funkcją stałą.

Niech $C r$ będzie domkniętym wypukłym zbiorem punktów $z$ z $h (z) \leq - r$ . Ponieważ $X$ $Cr jest$ przestrzenią Hadamarda dla każdego punktu $y$ w $X$ , istnieje unikalny punkt najbliższy $P r (y)$ $y$ w . Zależy w sposób ciągły od $y$ i jeśli $y$ leży poza $C r$ , to $P r (y)$ leży na hiperpowierzchni $h (z) = - r$ — granica ∂ $C r$ z $C r$ — a $P r (y)$ spełnia nierówność optymalizacja wypukła. Niech $δ(s)$ będzie promieniem geodezyjnym rozpoczynającym się w punkcie $y$ .

Napraw $x$ w $X$ . Niech $γ(s)$ będzie promieniem geodezyjnym rozpoczynającym się w punkcie $x$ . Niech $g (z) = h γ (z)$ , funkcja Busemanna dla $γ$ z punktem bazowym $x$ . W szczególności $g (x) = 0$ . Wystarczy pokazać, że $g = h - h (y)1$ . Weźmy teraz $y$ gdzie $h (x) = h (y)$ i niech $δ(t)$ będzie promieniem geodezyjnym rozpoczynającym się w punkcie $y$ odpowiadającym $h$ . Następnie

{\ Displaystyle d (x, y) \ geq d (\ gamma (t), \ delta (t)), \, \, \, d (x, \ delta (t)) ^ {2} \ geq d ( x,\gamma (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2},\,\,\,d(y,\gamma (t))^{ 2}\geq d(y,\delta (t))^{2}+d(\gamma (t),\delta (t))^{2}.}

Z drugiej strony, dla dowolnych czterech punktów $a$ , $b$ , $c$ , $d w przestrzeni Hadamarda$ zachodzi następująca czworoboczna nierówność Reshetnyaka :

{\ Displaystyle | d (a, c) ^ {2} + d (b, d) ^ {2} -d (a, d) ^ {2} -d (b, d) ^ {2} | \ równoważnik 2d(a,b)d(c,d).}

Zakładając $a = x$ , $b = y$ , $c = γ(t)$ , $d = δ(t)$ wynika, że

{\ Displaystyle | d (y, \ gamma (t)) ^ {2} -d (x, \ delta (t)) ^ {2} | \ równoważnik 2d (x, y)^{2},}

aby

{\ Displaystyle | d (y, \ gamma (t)) -d (x, \ gamma (t)) | \ równoważnik 2 {d (x, y) ^ {2} \ nad d (y, \ gamma (t) ))+d(x,\gamma (t))}\leq {d(x,y)^{2} \ponad t}.}

Stąd $godz γ (y) = 0$ . Podobnie $h δ (x) = 0$ . Stąd $h γ (y) = 0$ na płaskiej powierzchni $h$ zawierającej $x$ . Teraz dla $t \geq 0$ i $z$ w $X$ niech $α t (z) = γ 1 (t)$ promień geodezyjny zaczynający się w $z$ . Wtedy $α s + t = α s \circ α t$ i $godz \circ α t = godz - t$ . Co więcej, przez ograniczoność, $d (α t (u), α t (v)) \leq d (u, v)$ . Przepływ $α s$ może być wykorzystany do przeniesienia tego wyniku na wszystkie płaskie powierzchnie $h$ . Dla ogólnego $y 1$ , jeśli $h (y 1) < h (x)$ , weźmy $s > 0$ takie , że $h ( α s (x) ) = h (y 1)$ i ustalimy $x 1 = α s (x)$ . Wtedy $h γ 1 (y 1) = 0$ , gdzie $γ 1 (t) = α t (x 1) = γ(s + t)$ . Ale wtedy $h γ 1 = h γ - s$ , tak że $h γ (y 1) = s$ . Stąd $g (y 1) = s = h ((α s (x)) - h (x) = h (y 1) - h (x)$ , zgodnie z wymaganiami. Podobnie, jeśli $h (y 1) > h (x)$ , weźmy $s > 0$ takie, że $h (α s (y 1)) = h (x)$ . Niech $y = α s (y 1)$ . Wtedy $h γ (y) = 0$ , więc $h γ (y 1) = - s$ . Stąd $g (y 1) = - s = h (y 1) - h (x)$ , zgodnie z wymaganiami.

Wreszcie istnieją warunki konieczne i wystarczające, aby dwie geodezje zdefiniowały tę samą funkcję Busemanna aż do stałej:

$t$ Hadamarda funkcje Busemanna dwóch promieni geodezyjnych $i$ ${\ Displaystyle \ sup _ {t \ geq 0} d (\ gamma _ {1} (t), \ gamma _ {2} (t)) <\ infty }$ się stałą wtedy i tylko wtedy .

Załóżmy najpierw, że $γ$ i $δ$ to dwa promienie geodezyjne, których funkcje Busemanna różnią się o stałą. Przesuwając argument jednej z geodezyjnych o stałą, można przyjąć, że powiedzmy $B γ = B δ = B .$ Niech $C$ będzie domkniętym zbiorem wypukłym, na którym $B (x) \leq - r$ . Wtedy $B (γ(t)) = b γ (γ(t)) = - t$ i podobnie $B (δ(t)) = - t$ . Wtedy dla $s \leq r$ punkty $γ(s)$ i $δ(s)$ mają najbliższe punkty $γ (r)$ i $δ (r)$ w $C$ , tak że $d (γ (r), δ (r)) \leq d (γ (s), δ (s))$ . Stąd $sup t \geq 0 re (γ(t), δ(t)) < \infty$ .

Załóżmy teraz, że $sup t \geq 0 d (γ 1 (t), γ 2 (t)) < \infty$ . Niech $δ i (t)$ będzie promieniem geodezyjnym rozpoczynającym się w $punkcie y$ związanym z $h γ i$ . Wtedy $sup t \geq 0 re (γ ja (t), δ ja (t)) < \infty$ . Stąd $sup t \geq 0 re (δ 1 (t), δ 2 (t)) < \infty$ . Ponieważ $δ 1$ i $δ 2$ zaczynają się od $y$ , wynika z tego , że $δ 1 (t) \equiv δ 2 (t)$ . Przez poprzedni wynik $h γ i$ oraz $h δ i$ różnią się o stałą; więc $h γ 1$ i $h γ 2$ różnią się o stałą.

Podsumowując, powyższe wyniki dają następującą charakterystykę funkcji Busemanna w przestrzeni Hadamarda:

TWIERDZENIE. W przestrzeni Hadamarda następujące warunki funkcji $f$ są równoważne:

$h$ jest funkcją Busemanna.
$h$ jest funkcją wypukłą, Lipschitz ma stałą $1 ,$ a $h$ przyjmuje swoje minimum na dowolnej zamkniętej kuli wyśrodkowanej na $y$ o promieniu $r$ w unikalnym punkcie $v$ na granicy z $h(v) = h(y) - r$ .
$h$ jest ciągłą funkcją wypukłą i dla każdego $y$ w $X$ istnieje unikalny promień geodezyjny $δ$ taki, że $δ(0) = y$ i dla dowolnego $r > 0$ promień $δ$ przecina każdy domknięty zbiór wypukły $h \leq h(y) - r$ w $δ(r)$ .

Bordyfikacja przestrzeni Hadamarda

W poprzednim podrozdziale pokazano, że jeśli $X$ jest przestrzenią Hadamarda i $x 0$ jest punktem stałym w $X$ , to suma przestrzeni funkcji Busemanna znikających w $x 0$ i przestrzeni funkcji $0 h y (x) = d (x, y) - d (x, y)$ jest domknięte przy przyjęciu jednolitych granic na zbiorach ograniczonych. Wynik $ten$ można sformalizować w pojęciu bordyfikacji X . W tej topologii punkty $x n$ dążą do promienia geodezyjnego $γ$ zaczynającego się w $x 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $0 d (x, x n)$ dąży do $\infty$ i dla $t > 0$ dowolnie duży ciąg uzyskany przez wzięcie punktu na każdym segmencie $0 [x, x n]$ w odległości $t$ od $x 0$ dąży do $γ(t)$ .

Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną, bordyfikacja Gromowa można zdefiniować w następujący sposób. Ustal punkt $x 0$ w $X$ i niech $0 X N = B (x, N)$ . Niech $Y = C (X)$ będzie przestrzenią funkcji ciągłych Lipschitza na $X$ , czyli takich , dla których $A | fa (x) - fa (y) | \leq Ad (x, y)$ dla pewnej stałej $A >$ . The space $Y$ can be topologised by the seminorms $|| f || N = sup X N | f |$ , the topology of uniform convergence on bounded sets. The seminorms are finite by the Lipschitz conditions. This is the topology induced by the natural map of $C (X)$ into the direct product of the Banach spaces $C b (X N)$ of continuous bounded functions on $X N$ . It is give by the metric $D (f, g) = Σ 2 - N || f - g || N (1 +|| f - g || N) -1$ .

Przestrzeń $X$ jest osadzona w $Y$ przez wysłanie $x$ do funkcji $0 f x (y) = d (y, x) - d (x, x)$ . Niech $X$ będzie domknięciem $X$ w $Y$ . Wtedy $X$ jest metryzowalny, ponieważ $Y$ jest i zawiera $X$ jako otwarty podzbiór; ponadto bordifikacje wynikające z różnych wyborów punktu bazowego są naturalnie homeomorficzne. Niech $0 godz (x) = (re (x, x) + 1) -1$ . Wtedy $h$ leży w $0 C (X)$ . Jest różny od zera na $X$ i znika tylko w $\infty$ . Stąd rozciąga się na funkcję ciągłą na $X$ ze zerem $X \ X$ . Wynika z tego, że $X \ X$ jest domknięty w $X$ , zgodnie z wymaganiami. Aby sprawdzić, że $0 X = X (x)$ jest niezależne od punktu bazowego, wystarczy pokazać, że $0 k (x) = d (x, x) - d (x, x 1)$ rozciąga się na funkcję ciągłą na $X$ . Ale $k (x) = fa x (x 1)$ , więc dla $g$ w $X$ , $k (g) = g (x 1)$ . Stąd zgodność między kompaktyfikacjami dla x $g przez i g (x1)1$ $x1 0$ jest $dana +$ wysłanie $g$ w $0 X (x)$ do w $X (x1) .$

Kiedy $X$ jest przestrzenią Hadamarda, idealną granicę Gromowa $∂ X = X \ X$ można wyraźnie zrealizować jako „granice asymptotyczne” promieni geodezyjnych za pomocą funkcji Busemanna. Jeśli $x n$ jest nieograniczoną sekwencją w $X$ z $0 h n (x) = d (x, x n) - d (x n, x)$ zmierzającą do $h$ w $Y$ , to $h$ znika w $x 0$ , jest wypukła, Lipschitz ze stałą Lipschitza $1$ i ma minimum $h (y) - r$ na dowolnej kuli zamkniętej $B (y, r)$ . Stąd $h$ jest funkcją Busemanna $B γ$ odpowiadającą unikalnemu promieniowi geodezyjnemu $γ$ rozpoczynającemu się w $x 0$ .

Z drugiej strony $h n$ dąży jednostajnie do $B γ$ na zbiorach ograniczonych wtedy i tylko wtedy, gdy $0 d (x, x n)$ dąży do $\infty$ i dla $t > 0$ dowolnie duży ciąg uzyskany przez wzięcie punktu na każdym odcinku $0 [x, x n]$ w odległości $t$ od $x 0$ dąży do $γ(t)$ . Dla $0 re (x, x n) \geq t$ , niech $x n (t)$ będzie punktem w $0 [x, x n]$ gdzie $0 re (x, x n (t)) = t$ . Załóżmy najpierw, że $h n$ dąży jednostajnie do $B γ na$ $0 B (x, R)$ . Wtedy dla $t \leq R$ , $0 | godz n (γ(t)) - b γ (γ(t))|= re (γ(t), x n) - re (x n, x) + t$ . To jest funkcja wypukła. Znika przy $t = 0$ , a zatem rośnie. Jest więc maksymalizowany w $t = R$ . Więc dla każdego $t$ , $0 | re (γ(t), x n) - re (x n, x) - t |$ dąży do 0. Niech $a = X 0$ , $b = γ(t)$ i $c = x n$ . Wtedy $d (c, a) - d (c, b)$ jest bliskie $d (a, b)$ z $d (c, a)$ dużym. Stąd w euklidesowym trójkącie porównawczym $CA - CB$ jest blisko $AB$ z $CA$ dużym. Więc kąt w $A$ jest mały. Zatem punkt $D$ leżący na $AC$ w tej samej odległości co AB $leży$ blisko punktu $B.$ Stąd, zgodnie z pierwszym twierdzeniem porównawczym dla trójkątów geodezyjnych, $d (x n (t), γ (t))$ jest małe. Odwrotnie załóżmy, że dla ustalonych $t$ i $n$ odpowiednio duże $d (x n (t),γ(t))$ dąży do 0. Wtedy z powyższego $F s (y) = d (y,γ(s)) - s$ spełnia

{\ Displaystyle | F_ {s} (y) -B _ {\ gamma} (y) | \ równoważnik {d (x_ {0}, y) ^ {2} \ ponad 2s},}

wystarczy więc pokazać, że na dowolnym zbiorze ograniczonym $0 h n (y) = d (y, x n) - d (x, x n)$ jest jednostajnie bliskie $F s (y)$ dla wystarczająco dużego $n .$

Dla ustalonej kuli $0 B (x, R)$ ustal $s$ tak , aby $R 2 / s \leq ε$ . Twierdzenie jest zatem bezpośrednią konsekwencją nierówności segmentów geodezyjnych w przestrzeni Hadamarda, ponieważ

{\ Displaystyle | d (y, x_ {n}) -d (y, x_ {0}) -d (y, x_ {n} (s)) + s | \ równoważnik {d (x_ {0}, y )^{2} \over s}\leq \varepsilon .}

Stąd, jeśli $y$ w $0 B (x, R)$ i $n$ jest wystarczająco duże, że $d (x n (s),γ(s)) \leq ε$ , to

{\ Displaystyle | h_ {n} (y) -B_ {\ gamma} (y)|=| d (y, x_ {n}) -d (y, x_ {0}) -B_ {\ gamma} (y )|\równ |d(y,x_{n})-d(y,x_{0})-d(y,x_{n}(s))+s|+d(x_{n}(s) ,\gamma (s))+|F_{s}(y)-B_{\gamma }(y)|\równik 3\varepsilon .}

Funkcje Busemanna na rozmaitości Hadamarda

Załóżmy, że $x, y$ są punktami w rozmaitości Hadamarda i niech $γ (s)$ będzie geodezyjną przechodzącą przez $x$ przy $γ (0) = y$ . Ta geodezja przecina granicę kuli zamkniętej $B (y, r)$ w dwóch punktach $γ(\pm r)$ . Zatem jeśli $d (x, y) > r$ , istnieją punkty $u, v$ z $d (y, u) = d (y, v) = r$ takie, że $| re (x, u) - re (x, v) | = 2 r$ . Przez ciągłość ten warunek utrzymuje się dla funkcji Busemanna:

Jeśli $h$ jest funkcją Busemanna na rozmaitości Hadamarda, to przy danym $y$ w $X$ i $r > 0$ istnieją unikalne punkty $u$ , $v$ gdzie $d(y,u) = d(y,v) = r$ takie, że $h(u ) = h(y) + r$ i $h(v) = h(y) - r$ . Dla ustalonego $r > 0$ punkty $u$ i $v$ zależą w sposób ciągły od $y$ .

Biorąc ciąg $t n$ dążący do $\infty$ i $h n = F t n$ , istnieją punkty $u n$ i $v n$ , które spełniają te warunki dla $h n$ dla wystarczająco dużego $n .$ Przechodząc w razie potrzeby do podciągu, można założyć, że $u n$ i $v n$ dążą do $u$ i $v$ . Dzięki ciągłości punkty te spełniają warunki dla $h$ . Aby udowodnić jednoznaczność, zauważmy, że przez zwartość $h$ przyjmuje swoje maksimum i minimum na $B (y, r)$ . Warunek Lipschitza pokazuje, że wartości $h$ różnią się tam co najwyżej o $2 r$ . Stąd $h$ jest minimalizowane w $v$ i maksymalizowane w $u$ . Z drugiej strony $d (u, v) = 2 r$ oraz dla $u$ i $v$ punkty $v$ i $u$ są punktami unikalnymi w $B (y, r)$ maksymalizującymi tę odległość. Warunek Lipschitza na $h$ natychmiast implikuje, że $u$ i $v$ muszą być unikalnymi punktami w $B (y, r)$ maksymalizacji i minimalizacji $h$ . Załóżmy teraz, że $y n$ dąży do $y$ . Wtedy odpowiednie punkty $u n$ i $v n$ leżą w zamkniętej kuli, więc dopuszczają zbieżne podciągi. Ale przez wyjątkowość $u$ i $v$ każdy taki podciąg musi dążyć do $u$ i $v$ , tak że $u n$ i $v n$ muszą dążyć do $u$ i $v$ , ustanawiając ciągłość.

Powyższy wynik odnosi się bardziej ogólnie do przestrzeni Hadamarda.

Jeśli $h$ jest funkcją Busemanna na rozmaitości Hadamarda, to $h$ jest różniczkowalna w sposób ciągły z $|| dh(y) || = 1$ dla wszystkich $y$ .

Z poprzednich właściwości $h$ , dla każdego $y$ istnieje unikalna geodezyjna γ( t ) sparametryzowana długością łuku z $γ(0) = y$ taka, że $h \circ γ(t) = h (y) + t$ . Ma tę właściwość, że przecina $\partial B (y, r)$ w $t = \pm r$ : w poprzedniej notacji $γ (r) = u$ i $γ (- r) = v$ . Pole wektorowe $V h zdefiniowane$ $przez x, v)$ wektor jednostkowy $w$ y $jest$ , ponieważ $jest$ ciągłą funkcją $y i$ mapy do $(x, exp x v)$ jest dyfeomorfizmem z $TX$ na $X \times X$ według twierdzenia Cartana-Hadamarda . Niech $δ(s)$ będzie inną geodezyjną sparametryzowaną długością łuku do $y$ gdzie $δ(0) = y$ . wtedy $dh \circ δ (0)/ ds =$ ${\ Displaystyle ({\ kropka {\ delta}} (0), {\ kropka {\ gamma}} (0)}}$ . Rzeczywiście, niech $H (x) = h (x) - h (y)$ , aby $H (y) = 0$ . Następnie

{\ Displaystyle | H (\ delta (s)) -H (x) | \ równoważnik d (\ delta (s), x).}

Stosując to dla $x = u$ i $v$ , wynika, że dla $s > 0$

{\ Displaystyle (rd (\ delta (s), u)) / s \ równoważnik (h (\ delta (s)) -h (y)) / s \ równoważnik (d (\ delta (s), v) - r)/s.}

Warunki zewnętrzne mają tendencję do ${\ Displaystyle ({\ kropka {\ delta}} (0), {\ kropka {\ gamma}} (0)}}$ jak $s$ dąży do 0 , więc wyraz środkowy ma taką samą granicę, jak twierdzono. Podobny argument dotyczy $s < 0$ .

Stwierdzenie dotyczące warunków zewnętrznych wynika z pierwszego wzoru wariacyjnego na długość łuku, ale można je wywnioskować bezpośrednio w następujący sposób. Niech ${\ Displaystyle a = {\ kropka {\ delta}} (0)}$ i ${\ Displaystyle b = {\ kropka {\ gamma}} (0)}$ , oba wektory jednostkowe. Następnie dla wektorów stycznych $p$ i $q$ w punkcie $y$ w kuli jednostkowej

{\ Displaystyle d (\ exp _ {y} p, \ exp _ {y} q )=\|pq\|+\varepsilon \max \|p\|^{2},\|q\|^{2}}

z $ε$ jednostajnie ograniczonym. Niech $s = t 3$ i $r = t 2$ . Następnie

{\ Displaystyle (d (\ delta (s), v) -r) / s = (d (\ exp _ {y} (t ^ {3} a), \ exp _ {y} (-t ^ {2} }b))-t^{2})/t^{3}=(\|t^{3}a+t^{2}b\|-t^{2})/t^{3}+ \varepsilon |t|=(\|ta+b\|-1)/t+\varepsilon |t|.}

Prawa strona tutaj ma tendencję do $(a, b)$ , ponieważ $t$ dąży do 0 od tego czasu

{\ Displaystyle {d \ ponad dt} \ | b + ta \||_ {t = 0} = {1 \ ponad 2} \, {d \ ponad dt} \ | b + ta \ | ^ {2} | _{t=0}=(a,b).}

Ta sama metoda działa dla innych terminów.

Stąd wynika, że $C1 h$ $jest$ funkcją z $dh$ dualną do pola wektorowego $Vh,$ tak że $|| dh (y) || = 1$ . Pole wektorowe $Vh jest$ zatem gradientowym polem wektorowym dla $h$ . Geodezja przechodząca przez dowolny punkt to linie przepływu dla przepływu $α t$ dla $V h$ , tak że $α t$ jest przepływem gradientowym dla $h$ .

TWIERDZENIE. Na rozmaitości Hadamarda $X$ następujące warunki funkcji ciągłej $h$ są równoważne:

$h$ jest funkcją Busemanna.
$h$ jest wypukłą funkcją Lipschitza ze stałą 1 i dla każdego $y$ w $X$ istnieją punkty $u \pm$ w odległości $r$ od $y$ takie, że $h(u \pm) = h(y) \pm r$ .
$h$ jest wypukłą funkcją $C 1$ z $|| dh(x) || \equiv 1$ .

Zostało już udowodnione, że (1) implikuje (2).

Powyższe argumenty pokazują mutatis mutandi , że (2) implikuje (3).

Pozostaje zatem pokazać, że (3) implikuje (1). Napraw $x$ w $X$ . Niech $α t$ będzie przepływem gradientowym dla $h$ . Wynika z tego, że $h \circ α t (x) = h (x) + t$ i że $γ (t) = α t (x)$ jest geodezyjną przez $x$ sparametryzowaną długością łuku z $γ (0) = x$ . Rzeczywiście, jeśli $s < t$ , to

{\ Displaystyle | st | = | h (\ alfa _ {s} (x)) -h (\ alfa _ {t} (x)) | \ równoważnik d (\ alfa _ {s} (x), \ alpha _{t}(x))\leq \int _{s}^{t}\|d\alpha _{\tau }(x)/d\tau \|\,d\tau =\int _{ s}^{t}\|dh(\alpha _{\tau }(x))\|\,d\tau =|st|,}

tak, że $re (γ(s),γ(t)) = | s - t |$ . Niech $g (y) = h γ (y)$ , funkcja Busemanna dla $γ$ z punktem bazowym $x$ . W szczególności $g (x) = 0$ . Aby udowodnić (1), wystarczy pokazać, że $g = h - h (x)1$ .

Niech $C (- r)$ będzie domkniętym wypukłym zbiorem punktów $z$ z $h (z) \leq - r$ . Ponieważ $X$ jest przestrzenią Hadamarda dla każdego punktu $y$ w $X$ $, Pr (y)$ istnieje unikalny punkt najbliższy do $y$ w $C (-r)$ . Zależy w sposób ciągły od $y$ i jeśli $y$ leży poza $C (- r)$ , to $P r (y)$ leży na hiperpowierzchni $h (z) = - r$ — granica $\partial C (- r)$ z $C (- r)$ — i geodezyjna od $y$ do $P r (y)$ jest prostopadła do $\partial C (- r)$ . $W αt (y)$ tym przypadku geodezyjnym jest po prostu . Rzeczywiście, fakt, że $α t$ jest przepływem gradientowym $h$ i warunkami $|| dh (y) || \equiv 1$ implikuje, że linie przepływu $α t (y)$ są geodezyjne sparametryzowane przez długość łuku i przecinają krzywe poziomu $h$ prostopadle. Biorąc $y$ gdzie $h (y) = h (x)$ i $t > 0$ ,

{\ Displaystyle d (x, y) \ geq d (\ alfa _ {t} (x), \ alfa _ {t} (y)), \, \, \, d (x, \ alfa _ {t} (y))^{2}\geq d(x,\alpha _{t}(x))^{2}+d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y) )^{2},\,\,\,d(y,\alpha _{t}(x))^{2}\geq d(y,\alpha _{t}(y))^{2} +d(\alpha _{t}(x),\alpha _{t}(y))^{2}.}

Z drugiej strony, dla dowolnych czterech punktów $a$ , $b$ , $c$ , $d w przestrzeni Hadamarda$ zachodzi następująca czworoboczna nierówność Reshetnyaka :

{\ Displaystyle | d (a, c) ^ {2} + d (b, d) ^ {2} -d (a, d) ^ {2} -d (b, d) ^ {2} | \ równoważnik 2d(a,b)d(c,d).}

Zakładając $a = x$ , $b = y$ , $c = α t (x)$ , $d = α t (y)$ wynika, że

{\ Displaystyle | d (y, \ alfa _ {t} (x)) ^ {2} -d (x, \ alfa _ {t} (x)) ^ {2 }|\równik 2d(x,y)^{2},}

aby

{\ Displaystyle | d (y, \ alfa _ {t} (x)) -d (x, \ alfa _ {t} (x)} | \ równoważnik 2 {d (x, y) ^ {2} \ ponad d(y,\alpha _{t}(x))+d(x,\alpha _{t}(x))}\leq {d(x,y)^{2} \ponad t}.}

Stąd $h γ (y) = 0$ na płaskiej powierzchni $h$ zawierającej $x$ . Przepływ $α s$ może być wykorzystany do przeniesienia tego wyniku na wszystkie płaskie powierzchnie $h$ . Ogólnie $y 1$ przyjmujemy $s$ takie, że $h (α s (x)) = h (y 1)$ i ustalamy $x 1 = α s (x)$ . Wtedy $h γ 1 (y 1) = 0$ , gdzie $γ 1 (t) = α t (x 1) = γ(s + t)$ . Ale wtedy $h γ 1 = h γ - s$ , tak że $h γ (y 1) = s$ . Stąd $g (y 1) = s = h ((α s (x)) - h (x) = h (y 1) - h (x)$ , zgodnie z wymaganiami.

Zauważmy, że argument ten można skrócić wykorzystując fakt, że dwie funkcje Busemanna $h γ$ i $h δ$ różnią się o stałą wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie promienie geodezyjne spełniają $sup t \geq 0 d (γ(t),δ(t)) < \infty$ . Rzeczywiście, wszystkie geodezyjne określone przez przepływ $α t$ spełniają ten ostatni warunek, więc różnią się stałymi. Ponieważ wzdłuż dowolnej z tych geodezji $h$ jest liniowe z pochodną 1, $h$ musi różnić się od tych funkcji Busemanna o stałe.

Kompaktowanie właściwej przestrzeni Hadamarda

Eberlein i O'Neill (1973) zdefiniowali zwartość rozmaitości Hadamarda $X$ , która wykorzystuje funkcje Busemanna. Ich konstrukcja, którą można ogólnie rozszerzyć na właściwe (tj. lokalnie zwarte) przestrzenie Hadamarda , daje wyraźną geometryczną realizację zwartości określonej przez Gromowa - poprzez dodanie „idealnej granicy” - dla bardziej ogólnej klasy właściwych przestrzeni metrycznych $X$ , takie, dla których każda zamknięta kula jest zwarta. Zauważ, że ponieważ dowolny ciąg Cauchy'ego jest zawarty w zamkniętej kuli, każda właściwa przestrzeń metryczna jest automatycznie uzupełniana. Idealna granica jest szczególnym przypadkiem idealnej granicy przestrzeni metrycznej. W przypadku przestrzeni Hadamarda zgadza się to z przestrzenią promieni geodezyjnych wychodzących z dowolnego punktu stałego opisanego za pomocą funkcji Busemanna w bordyfikacji przestrzeni.

Jeśli $X$ jest odpowiednią przestrzenią metryczną, kompaktację Gromowa można zdefiniować w następujący sposób. Ustal punkt $x 0$ w $X$ i niech $0 X N = B (x, N)$ . Niech $Y = C (X)$ będzie przestrzenią funkcji ciągłych Lipschitza na $X$ , .e. te, dla których $A | fa (x) - fa (y) | \leq Ad (x, y)$ dla pewnej stałej $A >$ . The space $Y$ can be topologised by the seminorms $|| f || N = sup X N | f |$ , the topology of uniform convergence on compacta. This is the topology induced by the natural map of C(X) into the direct product of the Banach spaces $C (X N)$ . It is give by the metric $D (f, g) = Σ 2 - N || f - g || N (1 + || f - g || N) -1$ .

Przestrzeń $X$ jest osadzona w $Y$ przez wysłanie $x$ do funkcji $0 f x (y) = d (y, x) - d (x, x)$ . Niech $X$ będzie domknięciem $X$ w $Y$ . Wtedy $X$ jest zwarty (metryzowalny) i zawiera $X$ jako otwarty podzbiór; ponadto zagęszczenia wynikające z różnych wyborów punktu bazowego są naturalnie homeomorficzne. Zwartość wynika z twierdzenia Arzelà – Ascoli , ponieważ obraz w $C (X N)$ jest równociągły i jednostajnie ograniczony w normie przez $N$ . Niech $x n$ będzie ciągiem w $X \subset X$ zmierzającym do $y$ w $X \ X$ . Wtedy wszystkie, ale nieskończenie wiele wyrazów musi leżeć poza $X N ,$ ponieważ $X N$ jest zwarty, tak że dowolny podciąg zbiegałby się do punktu w $X N$ ; więc ciąg $x n$ musi być nieograniczony w $X$ . Niech $0 godz (x) = (re (x, x) + 1) -1$ . Wtedy $h$ leży w $0 C (X)$ . Jest różny od zera na $X$ i znika tylko w $\infty$ . Stąd rozciąga się na funkcję ciągłą na $X$ ze zerem $X \ X$ . Wynika z tego, że $X \ X$ jest domknięty w $X$ , zgodnie z wymaganiami. Aby sprawdzić, że zagęszczenie $0 X = X (x)$ jest niezależne od punktu bazowego, wystarczy pokazać, że $0 k (x) = d (x, x) - d (x, x 1)$ rozciąga się na funkcję ciągłą na $X$ . Ale $k (x) = fa x (x 1)$ , więc dla $g$ w $X$ , $k (g) = g (x 1)$ . Stąd zgodność między kompaktyfikacjami dla x $g przez i g (x1)1$ $x1 0$ jest $dana +$ wysłanie $g$ w $0 X (x)$ do w $X (x1) .$

Kiedy $X$ jest rozmaitością Hadamarda (lub bardziej ogólnie właściwą przestrzenią Hadamarda), idealną granicę Gromowa $∂ X = X \ X$ można jawnie zrealizować jako „granice asymptotyczne” geodezji za pomocą funkcji Busemanna. Ustalając punkt bazowy $x 0$ , istnieje unikalna geodezyjna $γ (t)$ sparametryzowana długością łuku taka, że $γ (0) = x 0$ i ${\ Displaystyle {\ kropka {\ gamma}} (0)}$ jest daną jednostką wektor. Jeśli $B γ$ jest odpowiednią funkcją Busemanna, to $B γ$ leży w $0 \partial X (x)$ i indukuje homeomorfizm jednostki $(n - 1)$ -kula na $0 \partial X (x)$ , wysyłając ${\ Displaystyle {\ kropka {\gamma}}(0)}$ do $B γ$ .

Kwazigeodezyka w dysku Poincarégo, CAT(-1) i przestrzeniach hiperbolicznych

Lemat Morse'a-Mostowa

W przypadku przestrzeni o ujemnej krzywiźnie, takich jak dysk Poincarégo, CAT(-1) i przestrzenie hiperboliczne, na ich granicy Gromowa istnieje struktura metryczna. Struktura ta jest zachowana przez grupę quasi-izometrii, które przenoszą promienie geodezyjne do promieni quasi-geodezyjnych. Quasigeodezyka została po raz pierwszy zbadana pod kątem powierzchni zakrzywionych ujemnie - w szczególności hiperbolicznej górnej półpłaszczyzny i dysku jednostkowego - przez Morse'a i uogólniona na ujemnie zakrzywione przestrzenie symetryczne przez Mostowa , w jego pracy nad sztywnością grup dyskretnych . Podstawowym wynikiem jest lemat Morse'a-Mostowa o stabilności geodezji.

Z definicji quasi-geodezyjne Γ określone na przedziale $[a, b]$ gdzie $-\infty \leq a < b \leq \infty$ jest odwzorowaniem $Γ(t)$ w przestrzeń metryczną, niekoniecznie ciągłą, dla której istnieją stałe $λ \geq 1$ i $ε > 0$ takie, że dla wszystkich $s$ i $t$ :

{\ Displaystyle \ lambda ^ {-1} | st | - \ varepsilon \ równoważnik d (\ gamma (s), \ gamma (t)) \ równoważnik \ lambda | st | + \ varepsilon.}

Poniższy wynik jest zasadniczo zasługą Marstona Morse'a (1924).

Lemat Morse'a o stabilności geodezji. W dysku hiperbolicznym istnieje stała $R$ zależna od $λ$ i $ε$ taka, że dowolny quasi-geodezyczny odcinek $Γ$ zdefiniowany na skończonym przedziale $[a, b]$ znajduje się w odległości Hausdorffa $R$ od odcinka geodezyjnego $[Γ(a), Γ (b) ]$ .

Klasyczny dowód na dysk Poincarégo

Klasyczny dowód lematu Morse'a dla dysku jednostkowego Poincarégo lub górnej półpłaszczyzny przebiega bardziej bezpośrednio przy użyciu rzutu ortogonalnego na segment geodezyjny.

Można przyjąć, że Γ spełnia silniejszy warunek „pseudo-geodezyjny”:

{\ Displaystyle \ lambda ^ {-1} | st | - \ varepsilon \ równoważnik d (\ Gamma (s), \ Gamma (t)) \ równoważnik \ lambda | st |.}

$Γ$ można zastąpić ciągłą fragmentaryczną krzywą geodezyjną Δ z tymi samymi punktami końcowymi leżącymi w skończonej odległości Hausdorffa od $Γ$ mniejszej niż $c = (2λ 2 + 1)ε$ : podzielić przedział, w którym $Γ$ jest zdefiniowany, na równe podprzedziały o długości $2λε$ i weź geodezję między obrazami pod $Γ$ punktów końcowych podprzedziałów. Ponieważ $Δ$ jest fragmentarycznie geodezyjna, $Δ$ jest ciągła Lipschitza ze stałą $λ 1$ , $d (Δ(s), Δ (t)) \leq λ 1 | s - t |$ , gdzie $λ 1 \leq λ + ε$ . Dolna granica jest automatyczna w punktach końcowych przedziałów. Z konstrukcji inne wartości różnią się od nich jednostajnie ograniczoną zależnością tylko od $λ$ i $ε$ ; dolna granica nierówności zachodzi poprzez zwiększenie ε przez dodanie dwukrotności tej jednolitej granicy.

Jeżeli $γ$ jest odcinkowo gładkim segmentem krzywej leżącym poza $s$ -sąsiedztwem linii geodezyjnej, a $P$ jest rzutem ortogonalnym na linię geodezyjną, to:

{\ Displaystyle \ ell (P \ circ \ gamma) \ leq {\ ell (\ gamma) \ ponad \ cosh s}.}

Stosując izometrię w górnej połowie płaszczyzny, można założyć, że linia geodezyjna jest dodatnią osią urojoną, w którym to przypadku rzut prostopadły na nią jest określony wzorem P $(z) = i | z |$ i $| z | / Im z = cosh re (z, Pz)$ . Stąd hipoteza implikuje $| γ(t) | \geq cosh(s) Im γ(t)$ , więc że

{\ Displaystyle \ ell (P \ circ \ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {| d \ gamma | \over |\gamma |}\leq \int _{a}^{b}{|d\gamma | \over \cosh(s)\,\Im \gamma }={\ell (\gamma ) \over \cosh(s)}.}

Istnieje stała $h > 0$ zależna tylko od $λ$ i $ε$ taka, że $Γ[a, b]$ leży w $h$ -sąsiedztwie odcinka geodezyjnego $[Γ(a), Γ (b)]$ .

Niech $γ(t)$ będzie linią geodezyjną zawierającą odcinek geodezyjny $[Γ(a),Γ(b)]$ . Wtedy istnieje stała $h > 0$ zależna tylko od $λ$ i $ε$ taka, że $h$ -sąsiedztwo $Γ[a, b]$ leży w $h-$ sąsiedztwie $γ(R)$ . Rzeczywiście dla dowolnego $s > 0$ podzbiór $[a, b]$ dla którego $Γ(t)$ leży poza domknięciem $s$ - sąsiedztwa $γ(R)$ jest otwarty, więc przeliczalna suma przedziałów otwartych $(c, d)$ . Następnie

{\ Displaystyle \ ell (\ Gamma | _ {[c, d] })\leq s_{1}\equiv \lambda ^{2}(2s+\varepsilon )\left(1-{\lambda ^{2} \over \cosh(s)}\right),}

ponieważ lewa strona jest mniejsza lub równa

λ | c - re |

I

{\ displaystyle {| cd | \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2s+d(P\circ \Gamma |_{[c,d]})\leq 2s+{\ lambda |cd| \ponad \cosh(s)}.}

Stąd każdy punkt leży w odległości mniejszej lub równej

s + s 1

z

γ(R)

. Aby wydedukować to twierdzenie, zauważmy, że podzbiór

[a, b]

dla którego

Γ(t)

leży poza domknięciem

s

-sąsiedztwa

[Γ(a),Γ(b)] \subset γ(R)

jest otwarty, więc suma przedziałów

(c, d)

z

Γ (c)

i

Γ (d)

w odległości

s + s 1

od

Γ (a)

lub

Γ (b)

. Następnie

{\ Displaystyle \ ell (\ Gamma | _ {[c, d]}) \ równoważnik s_ { 2}\równoważnik \lambda ^{2}(2(s+s_{1})+\varepsilon ),}

od

{\ displaystyle {| cd | \over \lambda }-\varepsilon \leq d(\Gamma (c),\Gamma (d))\leq 2(s+s_{1}).}

Stąd twierdzenie wynika z przyjęcia dowolnego

h

większego niż

s + s 1 + s 2

.

Istnieje stała $h > 0$ zależna tylko od $λ$ i $ε$ taka, że odcinek geodezyjny $[Γ(a),Γ(b)]$ leży w $h$ -sąsiedztwie $Γ[a, b]$ .

Każdy punkt $Γ[a, b]$ leży w odległości $h$ od $[Γ(a),Γ(b)]$ . Zatem rzut ortogonalny $P$ przenosi każdy punkt $Γ[a, b]$ na punkt w domkniętym zbiorze wypukłym $[ Γ (a), Γ (b)]$ w odległości mniejszej niż $h$ . Ponieważ $P$ jest ciągłe i $Γ[a, b]$ połączone, mapa $P$ musi być na, ponieważ obraz zawiera punkty końcowe $[Γ(a), Γ (b)]$ . Ale wtedy każdy punkt $[Γ(a),Γ(b)]$ znajduje się w odległości $h$ od punktu $Γ[a, b]$ .

Dowód Gromowa na dysk Poincarégo

Uogólnienie lematu Morse'a na przestrzenie CAT (-1) jest często nazywane lematem Morse'a-Mostowa i można je udowodnić przez proste uogólnienie dowodu klasycznego. Istnieje również uogólnienie dla bardziej ogólnej klasy hiperbolicznych przestrzeni metrycznych ze względu na Gromowa. Poniżej podano dowód Gromowa dla dysku jednostkowego Poincarégo; właściwości hiperbolicznych przestrzeni metrycznych są rozwijane w trakcie dowodu, tak że stosuje się mutatis mutandi do CAT(-1) lub hiperbolicznych przestrzeni metrycznych.

Ponieważ jest to zjawisko na dużą skalę, wystarczy sprawdzić, czy dowolne odwzorowania $Δ$ od ${0, 1, 2, ..., N}$ dla dowolnego $N > 0$ do dysku spełniającego nierówności mieszczą się w odległości Hausdorffa $R 1$ segmentu geodezyjnego $[Δ(0),Δ(N)]$ . W takim razie translując można założyć bez utraty ogólności, że $Γ$ jest określone na $[0, r]$ przy $r > 1$ , a następnie, biorąc $N = [r]$ (całkowita część $r$ ), wynik można zastosować do $Δ$ określonego przez $Δ(ja) = Γ (ja)$ . Odległość Hausdorffa między obrazami $Γ$ i $Δ$ jest ewidentnie ograniczona przez stałą $R 2$ zależną tylko od $λ$ i $ε$ .

Teraz okrąg trójkąta geodezyjnego ma średnicę mniejszą niż

δ

, gdzie

δ = 2 log 3

; w rzeczywistości jest ściśle zmaksymalizowany przez idealny trójkąt, gdzie jest równy

2 log 3

. W szczególności, ponieważ wpisanie koła łamie trójkąt, dzieli trójkąt na trzy trójkąty równoramienne, przy czym trzeci bok przeciwległy do wierzchołka pierwotnego trójkąta ma długość mniejszą niż

δ

, wynika z tego, że każdy bok trójkąta geodezyjnego jest zawarty w

δ

- sąsiedztwo pozostałe dwie strony. Prosty argument indukcyjny pokazuje, że wielokąt geodezyjny z

2 k + 2

wierzchołkami dla

k \geq 0

ma każdy bok w sąsiedztwie

(k + 1) δ

pozostałych boków (taki wielokąt powstaje z połączenia dwóch wielokątów geodezyjnych z

2 k - 1 + 1

boki wzdłuż wspólnego boku). Stąd, jeśli

M \leq 2 k + 2

, to samo oszacowanie dotyczy wielokąta o

M

bokach.

Dla

y i = Δ(i)

niech

f (x) = min d (x, y i)

, największy promień zamkniętej kuli o środku

x

, która nie zawiera

y i

w swoim wnętrzu. Jest to funkcja ciągła różna od zera na

[Δ(0),Δ(N)]

, więc osiąga swoje maksimum

h

w pewnym punkcie

x

w tym segmencie. Wtedy

[Δ(0),Δ(N)]

leży w sąsiedztwie

h 1

obrazu

Δ

dla dowolnego

h 1 > h

. Dlatego wystarczy znaleźć górną granicę dla

h

niezależną od

N

.

Wybierz

y

i

z

w segmencie

[Δ(0),Δ(N)]

przed i po

x

przy

d (x, y) = 2 h

i

d (x, z) = 2 h

(lub punkt końcowy, jeśli mieści się w a odległość mniejsza niż

2 h

od

x

). Wtedy mamy

ja, j

z

d (y, Δ (ja))

,

re (z, Δ (j)) \leq godz

. Stąd

d (Δ(i),Δ(j)) \leq 6 h

, więc

| ja - j | \leq 6λ godz + λε

. Z nierówności trójkąta wynika, że wszystkie punkty na odcinkach

[y, Δ(i)]

i

[z, Δ (j)]

znajdują się w odległości

\geq h

od

x

. Zatem istnieje skończona sekwencja punktów rozpoczynająca się w punkcie

y

i kończąca w punkcie

z

, leżąca najpierw na odcinku

[y,Δ(i)]

, a następnie przechodząca przez punkty

Δ(i), Δ(i +1), ... , Δ(j)

, przed wzięciem odcinka

[ Δ (j), z]

. Kolejne punkty

Δ(i), Δ(i +1), ..., Δ(j)

oddalone są od siebie o odległość nie większą niż

λ + ε

i kolejne punkty na odcinkach geodezyjnych mogą być tak dobrane, aby spełniały ten warunek. Minimalna liczba

K

punktów w takiej sekwencji spełnia

K \leq | ja - j | + 3 + 2(λ + ε) -1 godz

. Punkty te tworzą wielokąt geodezyjny, którego jednym z boków jest

[y, z] .

Weźmy

L = [h /δ]

, tak że

(L - 1)δ -

sąsiedztwo

[y, z]

nie zawiera wszystkich pozostałych boków wielokąta. Stąd z powyższego wyniku wynika, że

​​K > 2 L - 1 + 2

. Stąd

{\ Displaystyle 3 + 2 (\ lambda + \ varepsilon) ^ {- 1} h + 6 \ lambda h + \ varepsilon >2^{h/\delta}+2.}

Ta nierówność implikuje, że

h

jest jednostajnie ograniczone, niezależnie od

N

, jak twierdzono.

Jeśli wszystkie punkty

Δ(i)

leżą w obrębie

h 1

[

Δ(0),Δ(N)]

, wynik jest następujący. W przeciwnym razie punkty, które nie mieszczą się w podzbiorach maksymalnych

S = {r, ..., s}

z

r < s

. Zatem punkty w

[Δ(0),Δ(N)]

mają punkt

Δ(i)

z

i

w dopełnieniu

S

w odległości

h 1

. Ale dopełnienie

S = S 1 ∐ S 2

, rozłączny związek z

S 1 = {0, ..., r - 1}

i

S 2 = {s + 1, ..., N}

. Spójność [

Δ(0),Δ(N)]

implikuje, że na odcinku znajduje się punkt

x

, który znajduje się w odległości

h 1

od punktów

Δ(i)

i

Δ (j)

z

i < r

i

j > s

. Ale wtedy

d (Δ(i),Δ(j)) < 2 h 1

, więc

| ja - j | \leq 2λ godz 1 + λε

. Stąd punkty

Δ(k)

dla

k

w

S

leżą w odległości od

[Δ(0),Δ(N)]

mniejszej niż

h 1 + λ | ja - j | + ε \leq godz 1 + λ (2λ godz 1 + λε) + ε \equiv godz 2

.

Rozszerzenie promieni i linii quasi-geodezyjnych

Przypomnijmy, że w przestrzeni Hadamarda, jeśli $[a 1, b 1]$ i $[a 2, b 2]$ są dwoma odcinkami geodezyjnymi, a punkty pośrednie $c 1 (t)$ i $c 2 (t)$ dzielą je w stosunku $t :(1 - t)$ , wtedy $d (do 1 (t), do 2 (t))$ jest funkcją wypukłą $t$ . W szczególności, jeśli $Γ 1 (t)$ i $Γ 2 (t)$ są segmentami geodezyjnymi o jednostkowej prędkości określonej w $[0, R]$ , rozpoczynającymi się w tym samym punkcie, to

{\ Displaystyle d (\ Gamma _ {1} (t), \ Gamma _ {2} (t)} \ równoważnik {t \ nad R} d (\ Gamma _ {1} (R), \ Gamma _ {2 }(R)).}

W szczególności oznacza to, co następuje:

W przestrzeni CAT(–1) $X$ istnieje stała $h > 0$ zależna tylko od $λ$ i $ε$ taka, że każdy promień quasi-geodezyjny znajduje się w ograniczonej odległości Hausdorffa $h$ od promienia geodezyjnego. Podobny wynik dotyczy linii quasi-geodezyjnych i geodezyjnych.

Jeśli $Γ(t)$ jest geodezyjną powiedzmy ze stałą $λ$ i $ε$ , niech $Γ N (t)$ będzie geodezyjną jednostkową prędkością dla odcinka $[Γ(0),Γ(N)]$ . Powyższe oszacowanie pokazuje, że dla ustalonego $R > 0$ i $N$ wystarczająco dużego, $(Γ N)$ jest ciągiem Cauchy'ego w $C ([0, R], X)$ z jednolitą metryką. Tak więc $Γ N$ dąży do promienia geodezyjnego $γ$ równomiernie na kompaktach. Ograniczona odległościami Hausdorffa między $Γ$ a odcinkami $Γ N$ dotyczy również granicznej geodezyjnej $γ$ . Stwierdzenie dla linii quasi-geodezyjnych następuje poprzez przyjęcie $Γ N$ odpowiadającego segmentowi geodezyjnemu $[Γ(- N),Γ(N)]$ .

Twierdzenie Efremowicza-Tikhomirowa

Przed omówieniem przestrzeni CAT (-1) w tej sekcji opisano twierdzenie Efremowicza-Tikhomirovej dla dysku jednostkowego $D$ z metryką Poincarégo. Twierdzi, że quasi-izometrie $D$ rozciągają się na quasi-möbiusowe homeomorfizmy dysku jednostkowego z metryką euklidesową. Twierdzenie to jest prototypem bardziej ogólnej teorii przestrzeni CAT(-1). Ich oryginalne twierdzenie zostało udowodnione w nieco mniej ogólnej i mniej precyzyjnej formie w Efremovich & Tikhomirova (1964) i zastosowane do homeomorfizmów bi-Lipschitza dysku jednostkowego dla metryki Poincarégo; wcześniej, w pośmiertnej pracy Mori (1957) , japoński matematyk Akira Mori udowodnił pokrewny wynik w ramach teorii Teichmüllera , zapewniając, że każdy quasikonformalny homeomorfizm dysku jest ciągły Höldera , a zatem rozciąga się w sposób ciągły do homeomorfizmu koła jednostkowego (znane jest że to rozszerzenie jest quasi-Möbiusem).

Rozszerzenie quasi-izometrii na brzeg

Jeśli $X$ jest dyskiem jednostkowym Poincarégo lub bardziej ogólnie przestrzenią CAT (-1), lemat Morse'a o stabilności quasi-geodezyki implikuje, że każda quasi-izometria X $rozciąga$ się jednoznacznie do granicy. Z definicji dwa samoodwzorowania $f, g$ z $X$ są quasi-równoważne, jeśli $sup X d (f (x), g (x)) < \infty$ , tak że odpowiadające sobie punkty znajdują się w jednostajnie ograniczonej odległości od siebie. Quasi-izometria $f 1$ z $X$ jest samoodwzorowaniem $X$ , niekoniecznie ciągłym, które ma quasi-odwrotność $f 2$ taką, że $f 1 \circ f 2$ i $f 2 \circ f 1$ są quasi-równoważne z odpowiednimi odwzorowaniami tożsamości i takie, że istnieją stałe $λ \geq 1$ i $ε > 0$ takie, że dla wszystkich $x, y$ w $X$ i obu odwzorowaniach

{\ Displaystyle \ lambda ^ {- 1} d (x, y) - \ varepsilon \ równoważnik d (f_ {k} (x), f_ {k} (y)} \ równoważnik \ lambda d (x, y) + \varepsilon.}

Zauważ, że quasi-odwrotności są unikalne aż do quasi-równoważności; tę równoważną definicję można by podać przy użyciu możliwie różnych prawych i lewych quasi-odwrotności, ale z konieczności byłyby one quasi-równoważne; że quasi-izometrie są zamknięte w złożeniu, które aż do quasi-równoważności zależy tylko od klas quasi-równoważności; i że quasi-równoważność modulo quasi-izometrie tworzą grupę.

Ustalając punkt $x$ w $X$ , biorąc pod uwagę promień geodezyjny $γ$ zaczynający się od $x$ , obraz $f \circ γ$ pod quasi-izometrią $f$ jest promieniem quasi-geodezyjnym. Zgodnie z lematem Morse'a-Mostowa znajduje się w ograniczonej odległości od unikalnego promienia geodezyjnego $δ$ zaczynającego się w $x$ . To definiuje odwzorowanie $\partial f$ na granicy $\partial X$ od $X$ , niezależne od klasy quasi-równoważności $f$ , takie że $\partial(f \circ g) = \partial f \circ \partial g$ . Istnieje więc homomorfizm grupy quasi-izometrii w grupę odwzorowań własnych $\partial X$ .

Aby sprawdzić, czy $\partial f$ jest ciągłe, zauważmy, że jeśli $γ 1$ i $γ 2$ są promieniami geodezyjnymi, które są jednakowo blisko $[0, R]$ , w odległości $η$ , to $f \circ γ 1$ i $f \circ γ 2$ leżą w odległości $λη + ε$ na $[0, R]$ , tak że $δ 1$ i $δ 2$ leżą w odległości $λη + ε + 2 h (λ,ε)$ ; stąd w mniejszym przedziale $[0, r]$ , $δ 1$ i $δ 2$ leżą w odległości $(r / R)\cdot[λη + ε + 2 h (λ,ε)]$ przez wypukłość.

W przestrzeniach CAT (-1) dokładniejsza wersja ciągłości stwierdza, że $\partial f$ jest odwzorowaniem quasi-Möbiusa w odniesieniu do naturalnej klasy metryki na $\partial X$ , „metryki wizualne” uogólniające metrykę euklidesową na okręgu jednostkowym i jego przekształca się pod grupą Möbiusa. Te wizualne metryki można zdefiniować za pomocą funkcji Busemanna.

W przypadku dysku jednostkowego teoria Teichmüllera implikuje, że homomorfizm przenosi quasi-konformalne homeomorfizmy dysku na grupę quasi-möbiusowych homeomorfizmów koła (używając np . homomorfizm z grupy quasi-izometrii do grupy quasi-Möbiusa jest suriekcyjny.

W przeciwnym kierunku łatwo jest udowodnić, że homomorfizm jest iniekcyjny. Załóżmy, że $f$ jest quasi-izometrią dysku jednostkowego taką, że $\partial f$ jest tożsamością. Z założenia i lematu Morse'a wynika, że jeśli $γ(R)$ jest linią geodezyjną, to $f (γ(R))$ leży w $h$ -sąsiedztwie $γ(R)$ . Teraz weź drugą linię geodezyjną $δ$ taką, że $δ$ i $γ$ przecinają się prostopadle w danym punkcie $w$ . Wówczas $f (a)$ leży na przecięciu $h$ - sąsiedztw $δ$ i $γ$ . Stosując transformację Möbiusa, można założyć, że $a$ jest początkiem dysku jednostkowego, a geodezja to osie rzeczywista i urojona. Przez wypukłość $h$ -sąsiedztwa tych osi przecinają się w $3h -$ sąsiedztwie początku: jeśli $z$ leży w obu sąsiedztwach, niech $x$ i $y$ będą rzutami ortogonalnymi z $na$ osie $x$ i $y$ ; wtedy $d (z, x) \leq h$ więc biorąc rzuty na oś $y$ , $d (0, y) \leq h$ ; stąd $re (z, 0) \leq re (z, y) + re (y, 0) \leq 2 godz$ . Stąd $d (a, f (a)) \leq 2 h$ , więc $f$ jest quasi-równoważne tożsamości, jak twierdzono.

Współczynnik krzyżowy i odległość między nieprzecinającymi się liniami geodezyjnymi

Biorąc pod uwagę dwa różne punkty $z, w$ na okręgu jednostkowym lub osi rzeczywistej, istnieje jednoznaczna hiperboliczna geodezja $[z, w]$ łącząca je. Jest to określone przez okrąg (lub linię prostą), która przecina okrąg jednostkowy lub oś rzeczywistą prostopadle w tych dwóch punktach. Biorąc pod uwagę cztery różne punkty $a, b, c, d$ na rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej, ich stosunek krzyżowy jest określony przez

{\ Displaystyle (a, b; c, d) = {(ac) (bd) \ ponad (reklama) (bc)}.}

Jeśli $g$ jest zespoloną transformacją Möbiusa , to współczynnik krzyżowy pozostaje niezmienny: $(g (a), g (b); g (c), g (d)) = (a, b : c, d)$ . Ponieważ grupa Möbiusa działa po prostu przechodnio na potrójne punkty, stosunek krzyżowy można alternatywnie opisać jako liczbę zespoloną $z$ w $C \{0,1}$ taką, że $g (a) = 0, g (b) = 1, g (do) = λ, g (re) = \infty$ dla transformacji Möbiusa $g$ .

Ponieważ $a$ , $b$ , $c$ i $d$ wszystkie pojawiają się w liczniku definiującym współczynnik krzyżowy, aby zrozumieć zachowanie współczynnika krzyżowego przy permutacjach $a$ , $b$ , $c$ i $d$ , wystarczy wziąć pod uwagę permutacje, które ustalają $d$ , więc permutuj tylko $a$ , $b$ i $c$ . Współczynnik krzyżowy przekształca się zgodnie z grupą anharmoniczną rzędu 6 generowaną przez transformacje Möbiusa wysyłające $λ$ do $1 - λ$ i $λ -1$ . Pozostałe trzy przekształcenia wysyłają $λ$ do $1 - λ -1$ , do $λ(λ - 1) -1$ i do $(1 - λ) -1$ .

Niech $a, b, c, d$ będą punktami na okręgu jednostkowym lub osi rzeczywistej w tej kolejności. Wtedy geodezyjne $[a, b]$ i $[c, d]$ nie przecinają się, a odległość między tymi geodezyjnymi jest dobrze zdefiniowana: istnieje unikalna linia geodezyjna przecinająca te dwie geodezyjne prostopadle, a odległość jest określona przez długość odcinka geodezyjnego między nimi. Jest to ewidentnie niezmienne w przypadku rzeczywistych transformacji Möbiusa. Aby porównać stosunek krzyżowy i odległość między geodezyjnymi, niezmienniczość Möbiusa pozwala zredukować obliczenia do konfiguracji symetrycznej. Dla $0 < r < R$ , weź $za = - R, b = - r, do = r, re = R$ . Wtedy $λ = (za, b; do, re) = (R + r) 2 /4 rR = (t + 1) 2 /4 t$ gdzie $t = R / r > 1$ . Z drugiej strony geodezyjne $[a, d]$ i $[b, c]$ to półkola w górnej połowie płaszczyzny o promieniu $r$ i $R$ . Geodezja, która przecina je prostopadle, jest dodatnią osią urojoną, więc odległość między nimi jest odległością hiperboliczną między $ir$ i $iR$ , $d (ir, iR) = log R / r = log t$ . Niech $s = log t$ , wtedy $λ = cosh 2 (s /2)$ , aby istniała stała $C > 0$ taka, że jeśli $(a, b; c, d) > 1$ , to

{\ Displaystyle d ([a,d];[b,c])-C\leq \log(a,b;c,d)\leq d([a,d];[b,c])+C,}

ponieważ $log[cosh(x)/exp x)] = log (1 + exp(-2 x))/2$ jest ograniczony z góry iz dołu w $x \geq 0$ . Zauważ, że $a, b, c, d$ są uporządkowane wokół okręgu jednostkowego wtedy i tylko wtedy, gdy $(a, b; c, d) > 1$ .

Bardziej ogólną i precyzyjną interpretację geometryczną współczynnika krzyżowego można uzyskać za pomocą rzutów idealnych punktów na linię geodezyjną; nie zależy to od kolejności punktów na okręgu, a zatem od tego, czy linie geodezyjne się przecinają.

Jeśli $p$ i $q$ są stopami prostopadłych od $c$ i $d$ do linii geodezyjnej $ab$ , to $d(p,q) = | dziennik | (a,b;c,d) ||$ .

Ponieważ obie strony są niezmienne w transformacjach Möbiusa, wystarczy to sprawdzić w przypadku, gdy $a = 0$ , $b = \infty$ , $c = x$ i $d = 1$ . W tym przypadku linia geodezyjna jest dodatnią osią urojoną, prawa strona równa się $| dziennik | x ||$ , $p = | x | i$ ja $q = ja$ . Więc lewa strona równa się $| dziennik | x ||$ . Zauważ, że $p$ i $q$ są również punktami, w których okręgi idealnych trójkątów $abc$ i $abd$ stykają się $ab$ .

Dowód twierdzenia

Homeomorfizm $F$ koła jest quasi-symetryczny, jeśli istnieją stałe $a, b > 0$ takie, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{| F (z_ {1}) -F (z_ {2}) | \over |F(z_{1})-F(z_{3})|}\leq a{|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3 }|^{b}}.}}

Jest to quasi-Möbius, jeśli istnieją stałe $c, d > 0$ takie, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {| (F (z_ {1}), F (z_ {2}); F (z_ {3}), F (z_ {4})} | \ równoważnik c | (z_ { 1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}

Gdzie

{\ Displaystyle \ Displaystyle {(z_ {1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2} -z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}

oznacza stosunek krzyżowy .

Natychmiastowe jest, że quasi-symetryczne i quasi-möbiusowe homeomorfizmy są zamknięte w operacjach inwersji i składania.

Jeśli $F$ jest quasi-symetryczne, to jest również quasi-Möbiusem, gdzie $c = a 2$ i $d = b$ : następuje to przez pomnożenie pierwszej nierówności dla $(z 1, z 3, z 4)$ i $(z 2, z 4, z 3)$ . I odwrotnie, każdy homeomorfizm quasi-Möbiusa $F$ jest quasi-symetryczny. Aby to zobaczyć, można najpierw sprawdzić, że $F$ (a więc $F -1$ ) jest ciągła Höldera . Niech $S$ będzie zbiorem pierwiastków sześciennych jedności, tak że jeśli $a \neq b$ w $S$ , to $| a - b | = 2 grzech π /3 = \sqrt 3$ . Aby udowodnić oszacowanie Höldera, można założyć, że $x - y$ jest jednostajnie małe. Wtedy zarówno $x ,$ jak i $y$ są większe niż ustalona odległość od $a, b$ w $S$ z $a \neq b$ , więc oszacowanie następuje przez zastosowanie nierówności quasi-Möbiusa do $x, a, y, b$ . Aby zweryfikować, że $F$ jest quasi-symetryczny, wystarczy znaleźć jednolitą górną granicę dla $| fa (x) - fa (y) | / | fa (x) - fa (z) |$ w przypadku trójki z $| x - z | = | x - y |$ , równomiernie małe. W $tym$ przypadku punkt $w znajduje się$ w odległości większej niż 1 od $x$ , $yiz$ . Zastosowanie nierówności quasi-Möbiusa do $x$ , $w$ , $yiz daje$ wymaganą górną granicę $.$ Podsumować:

Homeomorfizm koła jest quasi-Möbiusem wtedy i tylko wtedy, gdy jest quasi-symetryczny. W tym przypadku to i jego odwrotność są ciągłe Höldera. Homeomorfizmy quasi-Möbiusa tworzą grupę w składzie.

Aby udowodnić twierdzenie wystarczy udowodnić, że jeśli $F = \partial f$ to istnieją stałe $A, B > 0$ takie, że dla $a, b, c, d$ różne punkty na okręgu jednostkowym

{\ Displaystyle \ Displaystyle {| (F (a), F (b); F (c), F (d)} | \ równoważnik A | (a, b; c, d) | ^ {B}.}}

Zostało już sprawdzone, że $F$ (i jest odwrotna) są ciągłe. Komponując $f$ , a zatem $F$ , w razie potrzeby ze złożoną koniugacją, można dalej założyć, że $F$ zachowuje orientację koła. W tym przypadku, jeśli $a, b, c, d$ są uporządkowane na okręgu, tak samo są obrazy pod $F$ ; stąd oba $(a, b; c, d)$ i $(fa (a), fa (b); fa (c), fa (d))$ są rzeczywiste i większe niż jeden. W tym przypadku

{\ Displaystyle (F (a), F (b); F (c), F (d)} \ równoważnik A (a, b; c, d) ^ {B}.}

Aby to udowodnić, wystarczy pokazać, że $log (F (a), F (b); F (c), F (d)) \leq B log (a, b; c, d) + C$ . Z poprzedniej sekcji wystarczy pokazać $d ([F (a), F (b)],[F (c), F (d)]) \leq P d ([a, b],[c, d]) + P.$ _ Wynika to z faktu, że obrazy pod $f$ z $[a, b]$ i $[c, d]$ leżą w $h$ -sąsiedztwach $[F (a), F (b)]$ i $[F (c), F (d) ]$ ; minimalną odległość można oszacować za pomocą stałych quasi-izometrii dla $f$ zastosowanych do punktów na $[a, b]$ i $[c, d]$ realizując $d ( [a, b], [c, d])$ .

Dostosowując $A$ i $B$ , jeśli to konieczne, powyższa nierówność dotyczy również $F -1$ . Zastępując $a$ , $b$ , $c$ i $d$ ich obrazami pod $F$ , wynika z tego

{\ Displaystyle A ^ {- 1} | (a, b; c, d) | ^ {- B} \ równoważnik | (F (a), F (b); F (c), F (d)) |\leq A|(a,b;c,d)|^{B}}

jeśli $a$ , $b$ , $c$ i $d$ są uporządkowane na okręgu jednostkowym. Stąd te same nierówności są ważne dla trzech cyklicznych poczwórnych $a, b, c, d$ . Jeśli $a$ i $b$ są zamienione, to stosunki krzyżowe są wysyłane do ich odwrotności, więc leżeć między 0 a 1; podobnie, jeśli $c$ i $d$ są zamienione. Jeśli obie pary są zamienione, stosunek krzyżowy pozostaje niezmieniony. Zatem nierówności są ważne również w tym przypadku. Wreszcie, jeśli $b$ i $c$ zostaną zamienione, iloraz krzyżowy zmieni się z $λ$ na $λ -1 (λ - 1) = 1 - λ -1$ , co leży między 0 a 1. Zatem znowu obowiązują te same nierówności. Łatwo sprawdzić, że używając tych przekształceń nierówności są ważne dla wszystkich możliwych permutacji $a$ , $b$ , $c$ i $d$ , tak że $F$ i jego odwrotność są quasi-möbiusowskimi homeomorfizmami.

Funkcje Busemanna i metryki wizualne dla przestrzeni CAT(-1).

Funkcji Busemanna można użyć do określenia specjalnych metryk wizualnych w klasie przestrzeni CAT(-1). Są to kompletne geodezyjne przestrzenie metryczne, w których odległości między punktami na granicy trójkąta geodezyjnego są mniejsze lub równe trójkątowi porównawczemu w hiperbolicznej górnej połowie płaszczyzny lub równoważnie tarczy jednostkowej z metryką Poincarégo. W przypadku dysku jednostkowego metrykę akordową można odzyskać bezpośrednio za pomocą funkcji Busemanna $B γ$ , a specjalna teoria dysku uogólnia się całkowicie na dowolną właściwą przestrzeń CAT(-1) $X$ . Hiperboliczna górna połowa płaszczyzny to przestrzeń CAT (0), ponieważ długości w hiperbolicznym trójkącie geodezyjnym są mniejsze niż długości w euklidesowym trójkącie porównawczym: w szczególności przestrzeń CAT (-1) jest przestrzenią CAT (0), więc teoria funkcji Busemanna i obowiązuje granica Gromowa. Z teorii dysku hiperbolicznego wynika w szczególności, że każdy promień geodezyjny w przestrzeni CAT(-1) rozciąga się do linii geodezyjnej, a przy danych dwóch punktach granicy istnieje unikalny geodezyjny γ, taki, że te punkty $są$ granicami $γ(\pm\infty)$ . Teorię stosuje się równie dobrze do dowolnej przestrzeni CAT( $-κ$ ) z $κ > 0$ , ponieważ powstają one w wyniku skalowania metryki w przestrzeni CAT(-1) o $κ -1/2$ . Na hiperbolicznym dysku jednostkowym $D$ quasi-izometrie $D$ indukują quasi-Möbiusowe homeomorfizmy granicy w sposób funktoralny. Istnieje bardziej ogólna teoria przestrzeni hiperbolicznych Gromowa, podobne stwierdzenie, ale z mniej precyzyjną kontrolą homeomorfizmów granicy.

Przykład: dysk Poincarégo

Zastosowania w teorii perkolacji

probabiliści używali funkcji Busemanna do badania właściwości asymptotycznych w modelach perkolacji pierwszego przejścia i perkolacji ukierunkowanej ostatniego przejścia.

Notatki

Ahlfors, Lars V. (1966), Wykłady o odwzorowaniach quasikonformalnych , Van Nostrand
Ballmann, Werner; Gromow, Michał; Schroeder, Viktor (1985), Manifolds of nonpositive krzywizny , Progress in Mathematics, tom. 61, Birkäuser , ISBN 0-8176-3181-X
Ballmann, Werner (1995), Wykłady o przestrzeniach o niedodatniej krzywiźnie , Seminarium DMV, tom. 25, Birkäuser, ISBN 3-7643-5242-6
Beardon, Alan F. (1983), Geometria grup dyskretnych , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90788-2
Bourdon, Marc (1995), „Struktura zgodna z bordem i flotą geodezyjną d'un CAT (-1) -espace”, Enseign. Matematyka (w języku francuskim), 41 : 63–102
Bourdon, Marc (2009), „Geometria quasi-konforemna i sztywność Mostowa”, Géométries à courbure négative ou nulle, groupes discrets et straightités , Sémin. kongr., tom. 18, soc. Matematyka Francja, s. 201–212
Bridson, Martin R.; Haefliger, André (1999), Przestrzenie metryczne o niedodatniej krzywiźnie , Springer
Busemann, Herbert (1955), Geometria geodezji , Academic Press
Buyalo, Siergiej; Schroeder, Viktor (2007), Elementy geometrii asymptotycznej , Monografie EMS w matematyce , Europejskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-3-03719-036-4
Dal'bo, Françoise; Peigné, Marc; Sambusetti, Andrea (2012), „O horoboundary i geometrii promieni ujemnie zakrzywionych rozmaitości” (PDF) , Pacific J. Math. , 259 : 55–100, arXiv : 1010.6028 , doi : 10.2140/pjm.2012.259.55 , S2CID 7309250 , dodatek.
Damon, Michael; Hanson, Jack (2014), „Funkcje Busemanna i nieskończona geodezja w dwuwymiarowej perkolacji pierwszego przejścia”, Comm. Matematyka fizyka , 325 (3): 917–963, arXiv : 1209.3036 , Bibcode : 2014CMaPh.325..917D , doi : 10.1007/s00220-013-1875-y , S2CID 119589291
Eberlein, P.; O'Neill, B. (1973), „Rozmaitości widzialności”, Pacific J. Math. , 46 : 45–109, doi : 10.2140/pjm.1973.46.45
Jefremowicz, VA ; Tikhomirova, ES (1964), „Ekwimorfizmy przestrzeni hiperbolicznych” , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mata. (po rosyjsku), 28 : 1139–1144
Georgiou, Nikos; Rassoul-Agha, Firas; Seppäläinen, Timo (2016), „Wzory wariacyjne i rozwiązania kocykliczne dla ukierunkowanych modeli polimerowych i perkolacyjnych”, Comm. Matematyka fizyka , 346 (2): 741–779, arXiv : 1311.3016 , Bibcode : 2016CMaPh.346..741G , doi : 10.1007/s00220-016-2613-z , S2CID 5887311
Hoffman, Christopher (2005), „Współistnienie konkurencyjnych modeli wzrostu przestrzennego typu Richardsona”, Ann. Aplikacja Prawdopodobne. , 15 : 739–747, arXiv : math/0405377 , doi : 10.1214/105051604000000729 , S2CID 15113728
Kapovich, Michael (2001), Rozmaitości hiperboliczne i grupy dyskretne , Progress in Mathematics, tom. 183, Birkäuser , ISBN 0-8176-3904-7
Lehto, Olli (1987), Funkcje jednowartościowe i przestrzenie Teichmüllera , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 109, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96310-3
Lurie, J. (2010), Uwagi o teorii przestrzeni Hadamarda (PDF) , Uniwersytet Harvarda , zarchiwizowane z oryginału (PDF) w dniu 8 lipca 2006 r.
Mori, Akira (1957), „O quasi-konformalności i pseudoanalityczności” (PDF) , tłum. Amer. Matematyka soc. , 84 : 56–77, doi : 10.1090/s0002-9947-1957-0083024-5
Morse, HM (1924), „Podstawowa klasa geodezji na dowolnej zamkniętej powierzchni rodzaju większej niż jeden” (PDF) , Trans. Amer. Matematyka soc. , 26 : 25–60, doi : 10.1090/s0002-9947-1924-1501263-9
Mostow, G. Daniel (1973). Silna sztywność przestrzeni lokalnie symetrycznych . Roczniki Studiów Matematycznych . Tom. 78. Princeton University Press. ISBN 978-0-6910-8136-6 . JSTOR j.ctt1bd6kr9 .
Papadopoulos, Athanase (2014), Przestrzenie metryczne, wypukłość i krzywizna niedodatnia , IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej, tom. 6 (wyd. Drugie), Europejskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-3-03719-132-3
Paulin, Frédéric (1996), „Un groupe hyperbolique est déterminé par son bord”, J. London Math. soc. (w języku francuskim), 54 : 50–74, doi : 10.1112/jlms/54.1.50
Ratcliffe, John G. (2006), Podstawy rozmaitości hiperbolicznych , Graduate Texts in Mathematics, tom. 149 (wydanie drugie), Springer, ISBN 978-0387-33197-3
Roe, John (2003), Wykłady z geometrii zgrubnej , seria wykładów uniwersyteckich, tom. 31, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 0-8218-3332-4
Shiohama, Katsuhiro (1984), „Topologia kompletnych rozmaitości niezwartych”, Geometria geodezji i tematy pokrewne , Adv. Stadnina. Czysta matematyka, tom. 3, Holandia Północna , s. 423–450
Shioya, T. (2001) [1994], „Funkcja Busemanna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
Väisälä, Jussi (1984), „Mapy quasi-Möbiusa”, Journal d'Analyse Mathématique , 44 : 218–234, doi : 10.1007/bf02790198 , S2CID 189767039