Grupa stosunkowo hiperboliczna

W matematyce koncepcja grupy hiperbolicznej jest ważnym uogólnieniem koncepcji grupy hiperbolicznej geometrycznej teorii grup . Motywującymi przykładami grup względnie hiperbolicznych są podstawowe grupy kompletnych, niezwartych rozmaitości hiperbolicznych o skończonej objętości.

Intuicyjna definicja

Grupa G jest relatywnie hiperboliczna w stosunku do podgrupy H , jeśli po skróceniu wykresu Cayleya G wzdłuż H - cosets , otrzymany graf wyposażony w zwykłą metrykę grafu staje się przestrzenią δ-hiperboliczną , a ponadto spełnia warunek techniczny co implikuje, że quasi-geodezyjne ze wspólnymi punktami końcowymi przechodzą przez w przybliżeniu ten sam zbiór coset oraz wchodzą i wychodzą z tych coset w przybliżeniu w tym samym miejscu.

Definicja formalna

Biorąc pod uwagę $wykres$ wygenerowaną grupę z Cayleya Γ ( G ) w metrykę ścieżki i podgrupę z G , można skonstruować stożkowy w następujący sposób: Dla każdego coset lewego gH dodaj wierzchołek v ( gH ) do wykresu Cayleya Γ ( G ) i dla każdego elementu x z gH dodaj krawędź e ( x ) o długości 1/2 od x do wierzchołka v ( gH ). Powoduje to, że przestrzeń metryczna może nie być właściwa (tj. zamknięte kule nie muszą być zwarte).

Definicja grupy względnie hiperbolicznej sformułowana przez Bowditcha jest następująca. Mówi się, że grupa G jest hiperboliczna w stosunku do podgrupy H , jeśli stożkowy wykres Cayleya ma właściwości: ${\ Displaystyle {\ hat {\ Gamma}} (G, H)}$

• Jest δ-hiperboliczny i
• jest w porządku : dla każdej liczby całkowitej L każda krawędź należy tylko do skończenie wielu prostych cykli o długości L.

Jeśli spełniony jest tylko pierwszy warunek, to mówi się, że grupa G jest słabo względnie hiperboliczna względem H .

Definicję wykresu Cayleya ze stożkiem można uogólnić na przypadek zbioru podgrup i daje to odpowiednie pojęcie względnej hiperboliczności. Grupę G , która nie zawiera zbioru podgrup, względem których jest względnie hiperboliczna, nazywamy grupą niewzględnie hiperboliczną.

Nieruchomości

• Jeśli grupa G jest względnie hiperboliczna w stosunku do grupy hiperbolicznej H , to sama G jest hiperboliczna.

Przykłady

• Każda grupa hiperboliczna , taka jak grupa swobodna o skończonym rzędzie lub grupa podstawowa powierzchni hiperbolicznej, jest hiperboliczna w stosunku do podgrupy trywialnej.
• Podstawowa grupa kompletnej rozmaitości hiperbolicznej o skończonej objętości jest hiperboliczna w stosunku do jej podgrupy wierzchołkowej. Podobny wynik zachodzi dla dowolnej rozmaitości Riemanna o skończonej objętości ze ściśniętą ujemną krzywizną przekroju .
• Wolna grupa abelowa Z ² rangi 2 jest słabo hiperboliczna, ale nie hiperboliczna w stosunku do podgrupy cyklicznej Z : mimo że wykres ${\ Displaystyle {\ hat {\ Gamma}} (\ mathbb {Z} ^{2},\mathbb {Z} )}$ jest hiperboliczne, nie jest w porządku.
• Grupa klas odwzorowania orientowalnej powierzchni typu skończonego jest albo hiperboliczna (gdy 3 g + n <5, gdzie g to rodzaj , a n to liczba przebić), albo nie jest względnie hiperboliczna.
• Grupa automorfizmu i zewnętrzna grupa automorfizmu wolnej grupy o skończonym rzędzie co najmniej 3 nie są względnie hiperboliczne.

• Michaił Gromow , Grupy hiperboliczne , Eseje z teorii grup, Matematyka. nauka Rez. Inst. Publ., 8, 75-263, Springer, Nowy Jork, 1987.
• Denis Osin , Relatywnie hiperboliczne grupy: wewnętrzna geometria, właściwości algebraiczne i problemy algorytmiczne , arXiv: math/0404040v1 (math.GR), kwiecień 2004.
• Benson Farb, Relatywnie hiperboliczne grupy , Geom. Funkcja Analny. 8 (1998), 810–840.
• Jason Behrstock , Cornelia Druţu , Lee Mosher, Grube przestrzenie metryczne, względna hiperboliczność i quasi-izometryczna sztywność , arXiv: math/0512592v5 (math.GT), grudzień 2005.
• Daniel Groves i Jason Fox Manning, Dehn wypełnia grupy względnie hiperboliczne , arXiv:math/0601311v4 [math.GR], styczeń 2007.