Kategoria stopniowana różnicowo

W matematyce , zwłaszcza w algebrze homologicznej , kategoria stopniowana różniczkowo , często skracana do kategorii dg-category lub DG , jest kategorią różniczkowo ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ , której zbiory morfizmu są wyposażone w dodatkową strukturę modułu stopniowanego .

W szczegółach oznacza to, że morfizmy z dowolnego obiektu ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (A, B)$ do innego obiektu B kategorii są bezpośrednią sumą ZA ,

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {n \ w \ mathbb {Z}} \ operatorname {Hom} _ {n} (A, B)}$

i istnieje różniczka d w tej stopniowanej grupie, tj. dla każdego n istnieje mapa liniowa

${\ Displaystyle d \ dwukropek \ nazwa operatora {Hom} _ {n} (A, B) \ strzałka w prawo \ nazwa operatora {Hom} _ { n+1}(A,B)}$ ,

co musi spełniać ${\ Displaystyle d \ circ d = 0}$ . Jest to równoznaczne z powiedzeniem, że ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (A, B)}$ jest kompleksem współłańcuchowym . Ponadto kompozycja morfizmów ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (A, B) \ czasami \ operatorname {Hom} ( B, C) \ rightarrow \ nazwa operatora {Hom} (A, C)}$ musi być mapą kompleksów, a dla wszystkich obiektów A kategorii wymagana jest ${\ Displaystyle d (\ nazwa operatora {identyfikator} _{A})=0}$ .

Przykłady

• Dowolną kategorię dodatków $)$ kategorię DG, narzucając trywialną ocenę ${\ Displaystyle n \ neq 0}$ n ) i trywialna różnica ( ${\ Displaystyle d = 0}$ ).
• Nieco bardziej $jest$$kompleksów$ . Z definicji ${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C ({\ mathcal {A}}), n} (A, B)}$ to grupa map ${\ Displaystyle A \ rightarrow B [n]}$ , które nie muszą szanować różniczek kompleksów A i B , tj.

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C ({\ mathcal {A}} ),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z}}\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})}$ .

Różniczka takiego morfizmu stopnia n wynosi $n})}$ + fa

${\ Displaystyle f_ {l + 1} \ circ d_ {A} + (-1) ^ {n + 1}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle d_ {A}, d_ {B}}$ są odpowiednio różniczkami A i B . Dotyczy to kategorii kompleksów snopów quasi-spójnych na schemacie nad pierścieniem .

• Kategoria DG z jednym obiektem jest tym samym, co pierścień DG. Pierścień DG nad polem nazywany jest algebrą DG lub algebrą różniczkową stopniowaną .

Dalsze właściwości

Kategorię małych dg-kategorii można wyposażyć w modelową strukturę kategorii , tak że słabymi równoważnościami są te funktory, które indukują równoważność kategorii pochodnych .

Mając dg-kategorię C na pewnym pierścieniu R , istnieje pojęcie gładkości i właściwości C , które sprowadza się do zwykłych pojęć gładkich i właściwych morfizmów w przypadku, gdy C jest kategorią quasi-spójnych snopów na pewnym schemacie X na R .

Stosunek do kategorii triangulowanych

Kategoria DG C nazywana jest wstępnie triangulowaną, jeśli ma funktor zawieszenia i klasę wyróżnionych trójkątów zgodnych z zawieszeniem, tak że jej kategoria homotopii Ho ( $)$ jest kategorią triangulowaną . Mówimy, że triangulowana kategoria T ma wzmocnienie dg C , jeśli C jest kategorią dg przed triangulacją, której kategoria homotopii jest równoważna T . Rozszerzenia dg dokładnego funktora między triangulowanymi kategoriami są definiowane podobnie. Ogólnie rzecz biorąc, nie muszą istnieć wzmocnienia dg triangulowanych kategorii lub funktorów między nimi, na przykład stabilna kategoria homotopii nie wynika w ten sposób z kategorii dg. Istnieją jednak różne pozytywne wyniki, na przykład kategoria pochodna D ( A ) abelowej kategorii A Grothendiecka dopuszcza unikalne wzmocnienie dg.

Zobacz też

• Algebra różniczkowa
• Stopniowane (matematyka)
• Kategoria stopniowana
• derywat

•    Keller, Bernhard (1994), „Wyprowadzanie kategorii DG” , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN 0012-9593 , MR 1258406 , zarchiwizowane z oryginału w dniu 2011-06-05 , pobrane 2011-08-11

Linki zewnętrzne

• http://ncatlab.org/nlab/show/dg-category