Kategoria stopniowana

Jeśli jest $kategorią$ , to $}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A$ -stopniowana jest kategorią razem do } z funktorem ${\ Displaystyle F \ okrężnica {\ mathcal {C}} \ rightarrow {\ mathcal {A}}}$ .

Monoidy i grupy można traktować jako kategorie z pojedynczym obiektem . Kategoria monoidowa lub grupowa to zatem taka, w której do każdego morfizmu dołączony jest element danej monoidy (odpowiednio grupy), jej stopnia. Musi to być zgodne ze składem w tym sensie, że składy mają klasę produktu.

Definicja

Istnieją różne definicje stopniowanej kategorii, aż do najbardziej abstrakcyjnej podanej powyżej. Bardziej konkretna definicja stopniowanej kategorii abelowej jest następująca:

Niech będzie kategorią $abelową$ $_$ . _ _ _ Niech ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}} = \ {S_ {g}: g \ in \ mathbb {G} \}} będzie zbiorem$ funktorów z do $\ displaystyle {\mathcal {C}}}$ do siebie. Jeśli

${\ Displaystyle S_ {1}}$ jest funktorem tożsamości na ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ,
${\ Displaystyle S_ {g} S_ {h} = S_ {gh}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle g, h \ in \ mathbb {G}}$ i
${\ Displaystyle S_ {g}}$ jest pełnym i wiernym funktorem dla każdego ${\ Displaystyle g \ in \ mathbb {G}}$

mówimy, że jest to kategoria stopniowana $S}})}$ $mathcal {$

Zobacz też